ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2158
Скачиваний: 4
110
Указанные предельные теоремы позволяют обосновать многие популярные модели
неоднородных хаотических процессов, протекающих в сложных системах, имеющие
вид дисперсионно-сдвиговых смесей нормальных законов типа (1). При этом смеши-
вающее обобщенное гамма-распределение в модели (1) естественно связывается с
флуктуациями интенсивностей потоков информативных событий. Основываясь на
описываемых в докладе аналитических и асимптотических свойствах представите-
лей семейства обобщенных гамма-распределений и предельных теоремах для сумм
независимых случайных величин как теоретико-вероятностной формализации прин-
ципа неубывания неопределенности в сложных системах [3], можно утверждать, что
семейство обобщенных дисперсионных гамма-распределений является
практически
универсальным для многих прикладных задач.
Список литературы
1.
Королев В. Ю., Соколов И. А.
Скошенные распределения Стьюдента, дисперсион-
ные гамма-распределения и их обобщения как асимптотические аппроксимации //
Информатика и ее применения, 2012. Т. 6. Вып. 1. С. 2–10.
2.
Stacy E. W.
A generalization of the gamma distribution // Annals of Mathematical
Statistics, 1962. Vol. 33. P. 1187–1192.
3.
Gnedenko B. V., Korolev V. Yu.
Random Summation: Limit Theorems and Applications.
– Boca Raton: CRC Press, 1996.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 681.3.06+519.68
ОБ ОПЕРАТОРЕ ТРАНСЛЯЦИИ
С.В. Крутикова
ВЦ ДВО РАН
Россия, 680000, Хабаровск, Ким Ю Чена 65
E-mail:
KrutikovaSV@gmail.com
А.А. Каширин
ВЦ ДВО РАН
Россия, 680000, Хабаровск, Ким Ю Чена 65
E-mail:
elomer@mail.ru
Е.Р. Кириченко
ВЦ ДВО РАН
Россия, 680000, Хабаровск, Ким Ю Чена 65
E-mail:
Kirichenko@ccfebras.ru
Ключевые слова:
интегральные уравнения, быстрые методы, оператор
трансляции, FMM
В статье описывается реализация метода граничных интегральных урав-
нений с использованием быстрых методов семейства FMM (Fast Multipole
Method). Особое внимание уделено реализации оператора трансляции. Рас-
сматриваются прямой метод вычисления коэффициентов и интегральная
форма оператора трансляции.
Введение
Научные вычисления являются сложной прикладной задачей, требующей раз-
личного рода программно - прикладных средств и большого опыта. Но для решения
реальных практических задач также требуются и быстрые алгоритмы, способные
обеспечивать требуемую точность решения за приемлемое время. Среди подобных
задач выделим задачу Дирихле для уравнения Гельмгольца. Одним из методов,
успешно применяемых для ее решения, является метод граничных интегральных
уравнений. Была поставлена и решена задача реализации данного метода с исполь-
зованием быстрых методов решения семейства FMM (Fast Multipole Method) [1] в
параллельной среде исполнения на кластере ВЦ ДВО РАН [2].
1.
Постановка задачи
Рассмотрим трехмерное евклидово пространство
R
3
с ортогональной системой
координат
ox
1
x
2
x
3
. Пусть в этом пространстве имеется замкнутая поверхность
Γ
,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
112
разделяющая его на внутреннюю область
Ω
i
и внешнюю область
Ω
e
=
R
3
\
¯
Ω
i
.
Сформулируем исходную внешнюю задачу Дирихле. [3]
Задача 1.
Найти функцию
u
e
(
x
)
∈
H
1
(Ω
e
)
, удовлетворяющую уравнению Гельмгольца
∆
u
e
+
k
2
e
u
e
= 0
,
x
∈
Ω
e
,
(1)
граничному условию
γu
e
(
x
) =
f
(
x
)
,
x
∈
Γ
,
(2)
и условию излучения на бесконечности
∂u
e
/∂
|
x
| −
ik
e
u
e
=
o
(
|
x
|
−
1
)
,
|
x
| → ∞
.
(3)
Здесь
∆ =
∇
2
— оператор Лапласа,
∇
= (
∂/∂x
1
, ∂/∂x
2
, ∂/∂x
3
)
,
k
e
— волновое число,
Im
(
k
e
)
>
0
,
γu
— след на
Γ
функции
u
из
H
1
(Ω
e
)
,
f
∈
H
1
/
2
(Γ)
— известная функция.
Решение задачи 1 будем искать в виде потенциала простого слоя
u
e
(
x
) = (
S
e
q
e
)(
x
)
≡ h
G
e
(
x,
·
)
, q
e
i
Γ
,
x
∈
Ω
e
,
(4)
G
e
(
x, y
) = exp(
ik
e
|
x
−
y
|
)
/
(4
π
|
x
−
y
|
)
.
(5)
Ядром данного интегрального оператора являются фундаментальное решение урав-
нения Гельмгольца, поэтому
u
e
удовлетворяет уравнению (1) и условию излучения
(3). Эта функция будет решением задачи 1, если подобрать плотность
q
e
так, что-
бы
u
e
удовлетворяла граничному условию (2). Таким образом, задача 1 сводится к
граничному тождеству
h
S
e
q
e
, µ
i
=
h
f, µ
i
Γ
∀
µ
∈
H
−
1
/
2
(Γ)
.
(6)
Оператор в левой части (6) представляет собой интегральный оператор Фредголь-
ма I рода со слабой особенностью в ядре. Применяемый метод численного решения
представляет собой развитие методики, предложенной и впервые апробированной в
работе [4]. Кратко опишем общую схему его реализации. Построим покрытие поверх-
ности
Γ
системой
{
Γ
m
}
M
m
=1
окрестностей узловых точек
x
0
m
∈
Γ
, лежащих внутри
сфер радиусов
h
m
с центрами в
x
0
m
, и обозначим через {
ϕ
m
} подчиненное ему раз-
биение единицы. В качестве
ϕ
m
будем использовать функции
ϕ
m
(
x
) =
ϕ
0
m
(
x
)
M
X
k
=1
ϕ
0
k
(
x
)
!
−
1
,
ϕ
0
m
(
x
) =
(
1
−
r
2
m
h
2
m
3
,
r
m
< h
m
,
0
,
r
m
>
h
m
,
где
x
∈
Γ
,
r
m
=
|
x
−
x
0
m
|
,
ϕ
m
∈
C
1
(Γ)
при
Γ
∈
C
r
+
β
,
r
+
β >
1
. Приближенные
решения будем искать на сетке
{
x
m
}
,
x
m
=
1
¯
ϕ
m
Z
Γ
xϕ
m
d
Γ
,
¯
ϕ
m
=
Z
Γ
ϕ
m
d
Γ
,
узлами которой являются центры тяжестей функций
ϕ
m
. Будем предполагать, что
для всех
m
= 1
,
2
, . . . , M
выполняются неравенства
0
< h
0
6
|
x
m
−
x
n
|
, m
6
=
n, n
= 1
,
2
, . . . , M,
h
0
6
h
m
6
h, h
h
0
6
q
0
<
∞
,
где
h
,
h
0
– положительные числа, зависящие от
M
,
q
0
не зависит от
M
. Вместо
заданной на
Γ
неизвестной функции
q
будем искать обобщенную функцию
qδ
Γ
, дей-
ствующую по правилу
(
qδ
Γ
, η
)
R
3
=
h
q, η
i
Γ
∀
η
∈
H
1
(
R
3
)
.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
113
Приближать эту функцию будем выражением
q
(
x
)
δ
Γ
(
x
)
≈
M
X
n
=1
q
n
¯
ϕ
n
ψ
n
(
x
)
,
где
q
n
– неизвестные коэффициенты,
ψ
n
(
x
) = (
πσ
2
n
)
−
3/2
exp
−
(
x
−
x
n
)
2
σ
2
n
, σ
2
n
=
0
.
5 ¯
ϕ
n
.
После того, как решение уравнения найдено, для восстановления решения
функции
u
в точке
y
∈
Ω
e
достаточно посчитать сумму следующего вида:
u
(
y
) =
M
X
n
=1
G
(
y, x
n
)
·
¯
ϕ
n
·
q
n
,
x
n
∈
Γ
.
(7)
Наиболее ресурсоемкой частью вычислений при решении интегральных уравнений
является матрично-векторное умножение. В этом случае, необходимо заменять его
на более экономичную схему, которая бы учитывала конкретные особенности зада-
чи. Подобное решение предлагают быстрые методы. Для восстановления решения
краевой задачи по уже известным решениям интегральных уравнений используют
семейство методов FMM.
2.
Описание метода
Особенностью метода Single level FMM является появление
оператора транс-
ляции
, необходимого для вычисления взаимодействия между блоками. С помощью
данного метода сумму (7) можно посчитать в виде:
u
(
y
β
) =
X
x
α
∈
R
+
n
Q
α
G
(
y
β
−
x
α
) +
X
x
(
s
)
n
∗
u
n
(
y
β
)
,
y
β
∈
R
n
.
(8)
Здесь
u
n
(
y
) =
p
−
1
X
n
0
=0
n
0
X
m
0
=
−
n
0
C
(
nm
)
m
0
n
0
R
m
0
n
0
(
y
−
y
(
r
)
m
∗
)
,
n
= 1
, . . . , K
s
.
(9)
Коэффициенты
C
(
nm
)
m
0
n
0
могут быть найдены с использованием
оператора трансля-
ции S|R типа
C
(
nm
)
m
0
n
0
= (
S
|
R
)(
t
nm
)
C
(
n
)
m
0
n
0
,
t
nm
=
y
(
r
)
m
∗
−
x
(
s
)
n
∗
.
3.
Оператор трансляции
Для решения уравнения Гельмгольца коэффициенты оператора трансляции бу-
дем искать в виде разложения функций
S
m
n
(
t
)
:
(
S
|
R
)
m
0
m
n
0
n
(
t
) =
∞
X
n
00
=0
n
00
X
m
00
=
−
n
00
(
s
|
r
)
m
00
m
0
m
n
00
n
0
n
(
t
)
S
m
00
n
00
(
t
)
.
(10)
Коэффициенты
(
s
|
r
)
назовем структурными коэффициентами трансляции. Суще-
ствуют несколько способов реализации вычислений оператора трансляции: прямой
метод, в интегральной форме, диагонализация оператора трансляции и некоторые
другие [5]. В рамках данной статьи рассматриваются первые два метода.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
114
3.1.
Прямой метод вычисления оператора трансляции
Структурные коэффициенты
(
s
|
r
)
m
00
m
0
m
n
00
n
0
n
будем находить численно. Не вдаваясь
в подробности, отметим, что они связаны с
коэффициентами Клебша-Жордана
или
символом Вигнера
[1]. Символ Вигнера может быть посчитан как
E
m
1
m
2
m
j
1
j
2
j
!
= 4
π
4
π
(2
j
+ 1)(2
j
1
+ 1)(2
j
2
+ 1)
1
/
2
2
π
Z
0
dϕ
×
π
Z
0
Y
m
j
(
θ, ϕ
)
Y
m
1
j
1
(
θ, ϕ
)
Y
m
2
j
2
(
θ, ϕ
) sin
θdθ.
(11)
С учетом этих определений можем найти структурные коэффициенты трансляции
с использованием символа Вигнера:
(
s
|
r
)
m
00
m
0
m
n
00
n
0
n
=
(2
n
+ 1)(2
n
0
+ 1)(2
n
00
+ 1)
4
π
1
/
2
i
n
0
+
n
00
−
n
E
m
−
m
0
−
m
00
n
n
0
n
00
!
.
(12)
Подставляя данные соотношения в (10) найдем значения коэффициентов трансля-
ции. При численном расчете коэффициентов трансляции данным методом слож-
ность вычислений составит
O
(
p
4
)
, где
p
– число слагаемых при аппроксимации.
Поэтому прямой метод вычисления коэффициентов трансляции на практике не ис-
пользуется.
3.2.
Метод вычисления оператора трансляции в
интегральной форме
С помощью данного метода можно найти коэффициенты оператора трансляции
по формуле
(
S
|
R
)
mm
0
nn
0
(
t
) =
p
X
n
00
=0
(2
n
00
+ 1)
i
n
00
h
n
00
(
k
t
)
i
n
−
n
0
Z
S
u
P
n
t
·
s
t
Y
m
0
n
0
(
s
)
Y
−
m
n
(
s
)
dS
(
s
)
.
(13)
Метод вычисления коэффициентов оператора трансляции в интегральной форме яв-
ляется более быстрым по сравнению с прямым методом. Его сложность составляет
O
(
p
3
)
. Поэтому данный метод пригоден к использованию на практике. Существует
ряд методов, позволяющих высчитывать коэффициенты трансляции быстрее, на-
пример, метод диагонализации трансляций, имеющий асимптотическую сложность
O
(
p
2
)
[5]. Однако применимость подобных методов не всегда оправдана.
4.
Результаты работы
Важным аспектом работы является оператор трансляции в методе SLFMM,
так как именно на его вычисление расходуются основные ресурсы программы. Реа-
лизованные методы FMM выполняются несколько медленее исходного метода при
одинаковой погрешности. Данный факт отображен на рис. 1. Рассмотрим рис. 1.
Видим, что время вычислений в значительной степени зависит от выбора метода ре-
ализации оператора трансляции. При вычисление коэффициентов прямым методом
скорость работы программы примерно в 1.5 раза ниже, чем в случае с интегральной
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.