ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2164
Скачиваний: 4
130
Вычисления
В результате мы получили для каждой точки
a
6
v
6
b
формулу для восста-
новления в ней функции распределения
F
(
v
)
≈
E
v
a
−
0
Φ
0
(
z
)
Φ
1
(
z
)
=
X
a
6
x<v
Φ
0
(
x
)
Φ
0
1
(
x
)
+
1
2
Φ
0
(
v
)
Φ
0
1
(
v
)
(9)
с абсолютной погрешностью, оцениваемой величиной
1
2
Φ
0
(
v
)
Φ
0
1
(
v
)
. Прежде, чем приме-
нять описанную схему к вычислению функции распределения верхней лестничной
высоты, необходимо решить задачу вычисления моментов этой случайной величи-
ны. Для этого был разработан алгоритм и написан код на языке программирова-
ния
Fortran
для вычисления n-мерного вектора решений уравнения Фробениуса
x
1
+ 2
x
2
+
. . .
+
x
n
=
n
в целых неотрицательных числах. Были составлены про-
граммы, реализованные на языках Fortran, C++ и в математическом пакете, для
счета значений производных сложной функции по формуле Бруно
d
m
dt
m
g
f
(
t
)
=
m
!
X
{
jk
j
}
m
1
g
(
ν
m
)
(
y
)
y
=
f
(
t
)
m
Y
j
=1
1
k
j
!
f
(
j
)
(
t
)
j
!
k
j
,
(10)
где
ν
m
=
k
1
+
k
2
+
· · ·
+
k
m
, а суммирование производится по наборам решений уравне-
ния Фробениуса порядка m [8]. Используя (10), в [5] получена формула вычисления
моментов лестничных высот
Z
+
для шага с распределением
N
(0
, σ
2
)
, которая при
σ
= 1
,
m >
0
имеет вид
b
m
+1
≡
E
Z
m
+1
+
=
(
m
+ 1)!
√
2
X
{
jk
j
}
m
1
m
Y
j
=1
1
k
j
!
g
j
j
!
k
j
.
(11)
Явный вид для величин
g
j
выводится из работы В.И. Лотова [7]
g
i
=
−
(
i
−
1)!
cos
πi
4
2
i
−
1
iπ
i/
2
∞
X
n
=1
1
n
i/
2
,
i
>
3;
(12)
g
1
=
K
√
2
π
,
K
:
n
X
m
=1
1
√
m
= 2
√
n
−
K
+
O
(
1
√
n
);
(13)
g
2
=
1
4
.
Приближенные значения функции распределения верхней лестничной высоты в слу-
чае стандартного нормального распределения шага были найдены для 16 и 26 вы-
численных моментов в равноотстоящих точках. В каждом случае посчитаны теоре-
тические границы абсолютных погрешностей, график которых изображен на рис.
1.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
131
n
=
18
n
=
26
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.05
0.10
0.15
Рис. 1.
Границы погрешностей
Как видно, уменьшение границ погрешности происходит довольно медленно. В рабо-
те [4] Н.Я. Сонин показал, что для восстановления функции распределения нормаль-
ной случайной величины характер убывания погрешности примерно равен
1
/n
, где
n
- число известных моментов. Следовательно, чтобы уменьшить ее до 0.05, требу-
ется вычислить около 400 моментов. При этом, с увеличением порядка повышается
ресурсоемкость вычислений, как для нахождения наборов решений соответствую-
щих уравнений Фробениуса, так и вычислений определителей из формул (6) – (8).
Для последующих высокопроизводительных расчетов на кластере был написан ал-
горитм вычисления моментов исследуемого распределения на языке программиро-
вания Fortran, но, оказалось, что метод Чебышева чувствителен к количеству знача-
щих цифр и полученные корни многочлена
Φ
1
(
z
)
не удовлетворяли следующим свой-
ствам, доказанным в [3]. Все корни должны быть вещественными и чередоваться с
корнями для функций, полученных при меньшем числе известных моментов. Стан-
дарт Fortran поддерживает формат не более, чем двойной расширенной точности,
что недостаточно. Использовать числа произвольной точности с плавающей запя-
той и целые числа с любым числом значащих цифр позволяет библиотека MPIR для
языка программирования C++ [9]. C ее помощью был разработан новый алгоритм
для вычисления моментов с высокой точностью с учетом особенностей библиотеки и
использованием решений уравнений Фробениуса, полученных ранее. Моменты высо-
ких порядков снова требуют высокопроизводительных вычислений, соответственно,
необходимо использовать библиотеку MPIR на кластере и портировать программу
для LINUX-платформы.
Список литературы
1.
Tch´
ebycheff P.
Sur les valeurs limites des integrales. – Journ. de math. pures et appl.
1874, II serie, XIX, p. 157-160. (Русский перевод А.М. Ляпунова в Собр. соч. П.Л.
Чебышева под ред. А.А. Маркова и Н.Я. Сонина. Том II. СПб. 1907. C. 183-185.)
2.
Чебышев П.Л.
О представлении предельных величин интегралов посредством инте-
гральных вычетов. – Приложение к LI тому Записок Импер. Акад. наук, №4. СПб.
1885.
3.
Чебышев П.Л.
Об интегральных вычетах, доставляющих приближенные величины
интегралов. – Приложение к LV тому Записок Импер. Акад. наук, №2. СПб. 1887.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
132
4.
Сонин Н.Я.
О точности определения предельных величин интегралов. – Записки
Импер. Акад. наук. 1892, т. 69, кн.1, с. 1-30.
5.
Нагаев С.В.
Точные выражения для моментов лестничных высот. – Сибирский ма-
тематический журнал. 2010, т. 51, № 4, с. 848-870.
6.
Джоунс У., Трон В.
Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. –
М.: Мир, 1985.
7.
Lotov V.I.
On some boundary crossing problems for Gaussian random walks. – Ann.
Probab. 1996, v. 24, no. 4, p. 2154-2171.
8.
Roman S.
The Formula of Faa di Bruno. – Amer. Math. Monthly. 1980, 87, p. 805-809.
9.
T. Granlund, the GMP Development Team
The Multiple Precision Integers and Rationals
Library. – Edition 2.6.0, 2012.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 517.95
О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ ТРЕХМЕРНОЙ
ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
АНИЗОТРОПНОЙ АКУСТИКИ НА ОСНОВЕ
ПАКЕТА FREEFEM++
О.С. Ларькина
Дальневосточный Федеральный Университет
Россия, 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8
E-mail:
larkina-olga@rambler.ru
Ключевые слова:
уравнение Гельмгольца, задача рассеяния, неоднород-
ная среда, обратная задача.
В данной работе рассматривается задача маскировки материального тела,
ставится задача сопряжения, вводится слабая формулировка. Разрабатыва-
ется алгоритм решения прямой задачи при помощи пакета FreeFem.
Введение
В последнее время появляется все больше работ, в которых исследуются свой-
ства нерассеивающих, или как их еще называют – маскировочных, оболочек (см.
например [1, 2, 3]). В указанных работах доказано существование таких оболочек
и установлено, что необходимым условием их существование является анизотропия
исходной среды. Поскольку невозможно построить такую оболочку на практике [4],
то логично заменить задачу точной маскировки материального тела на задачу при-
ближенной маскировки для модели акустики изотропной неоднородной среды. В
математическом плане последняя задача сводится к обратной экстремальной зада-
че для указанной модели акустики. Необходимой частью решения экстремальной
задачи является рассмотрение прямой задачи сопряжения. В данной работе раз-
рабатывается алгоритм решения задач рассеяния звуковых волн на анизотропном
препятствии. Для решения использован метод конечных элементов (МКЭ), на его
основе разработан алгоритм, проведены вычислительные эксперименты в случае,
когда препятствие представляет собой нерассеивающую оболочку.
1.
Краткие сведения об уравнениях акустики
анизотропной среды
Рассмотрим область
Ω
пространства
R
3
, заполненную жидкой анизотропной
средой. Хорошо известно (см., например, [2]), что уравнения распространения зву-
ковых волн в такой среде описываются соотношениями
∇
p
=
−
iωρ
0
˜
ρ
(
x
)
v
+
ρ
0
˜
ρ
F
,
−
iωp
=
λ
0
λ
(
x
)div
v
.
(1)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
134
Ниже нас будет интересовать случай, когда среда является однородной и изотроп-
ной вне некоторой ограниченной области
Ω
, так что
λ
(
x
) = 1
,
˜
ρ
(
x
) =
I
в области
Ω
e
=
R
3
\
Ω
. Замыкание
Ω
такой области
Ω
будем называть носителем анизотропно-
сти среды, а саму среду, занимающую все пространство
R
3
, будем называть локаль-
но анизотропной. Как обычно в акустике, исключим колебательную скорость
v
из
уравнений (1). Для этого, применим обратный тензор
ρ
−
1
и оператор
div
к первому
уравнению в (1). Будем иметь
div(
ρ
−
1
∇
p
) =
−
iωρ
0
div
v
+
ρ
0
div
F
=
−
ω
2
ρ
0
λ
0
λ
p
+
ρ
0
div
F
.
(2)
Введем величины
c
0
=
p
λ
0
/ρ
0
, k
0
=
ω/c
0
, k
2
0
=
ω
2
ρ
0
λ
0
, f
=
−
ρ
0
div
F
.
(3)
Учитывая (3), перепишем (2) в виде следующего уравнения
Lp
≡
div(
ρ
−
1
∇
p
) +
k
2
0
λ
p
=
−
f,
(4)
описывающего по построению распределение поля
p
звукового давления в неодно-
родной анизотропной среде в пространстве
R
3
. На само уравнение (1) ниже мы
будем ссылаться как на
обобщенное уравнение Гельмгольца
. Наряду с величиной
λ
будем использовать величину
η
= 1
/λ
, обратную к
λ
. (Будем ссылаться на нее как
на индекс рефракции). С использованием
η
уравнение (1) можно переписать в виде
Lp
≡
div(
ρ
−
1
∇
p
) +
k
2
0
ηp
=
−
f.
(5)
Ниже мы будем рассматривать случай, когда область анизотропии
Ω
имеет вид сфе-
рического слоя с внутренней и внешней границами
Γ
i
и
Γ
e
(см. рис. 1). Будем пред-
полагать, как в [2], что в сферической системе координат
r
,
θ
,
ϕ
пара
˜
ρ
и
λ
зависит
только от
r
, причем тензор
˜
ρ
является диагональным и имеет вид
˜
ρ
= diag(
ρ
1
, ρ
2
, ρ
2
)
.
Здесь функция
ρ
1
(
r
)
характеризует изменение плотности в направлении изменения
переменной
r
, тогда как
ρ
2
(
r
)
характеризует изменение плотности в ортогональных
направлениях (см. [2], где используются обозначения
ρ
1
=
ρ
r
,
ρ
2
=
ρ
ϕ
=
ρ
θ
). Ни-
же на четверку
(Ω
, ρ
1
, ρ
2
, λ
)
будем ссылаться как на
анизотропную акустическую
оболочку
. Отметим, что уравнение для давления
p
должно выполняться во всех точ-
ках
x
∈
R
3
, в которых параметры
ρ
1
, ρ
2
и
λ
обладают определенной гладкостью
(например,
ρ
1
∈
C
1
(
R
3
)
,
ρ
2
∈
C
0
(
R
3
)
,
λ
∈
C
0
(
R
3
)
). Если же в пространстве
R
3
присутствует поверхность
S
, на которой некоторые из функций
ρ
1
и
ρ
2
либо их про-
изводные терпят разрыв, то в точках поверхности
S
должны выполняться условия
непрерывности звукового поля
(
p,
v
)
, имеющие вид
[
p
]
S
= 0
,
[
v
·
n
]
S
≡
[(
ρ
−
1
∇
p
)
·
n
]
S
= 0
.
(6)
Здесь
n
– единичный вектор внешней нормали к поверхности
S
,
[
p
]
S
(либо
[
v
·
n
]
S
)
обозначает скачок давления
p
(либо нормальной компоненты
v
·
n
) через поверх-
ность
S
.
2.
Существование нерассеивающей
оболочки в
R
3
Пусть
Ω =
{
x
∈
R
3
:
a <
|
x
|
< b
}
, где
a
и
b
— положительные числа. В
работе [3] показано, что если выбрать непрерывную на полуоси
[0
,
∞
)
функцию
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.