ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2162
Скачиваний: 4
120
упорядоченная фаза кластеризации). Пусть первый кластер состоит из
k
, а второй
соответственно из
N
−
k
субпопуляций, таким образом, что динамика каждой суб-
популяции в пределах кластеров
n
x
(1)
n
, x
(2)
n
, . . . , x
(
k
)
n
o
и
n
x
(
k
)
n
, x
(
k
+1)
n
, . . . , x
(
N
)
n
o
(
при
n
→ ∞
)
(3)
будет синхронна (как минимум с захватом частоты и фазы) со всеми находящимися
в нем популяциями. То есть динамика
x
(1)
n
попарно синхронна с каждым, составля-
ющим этот кластер, элементом
x
(
i
)
n
(
i
= 2
,
3
, . . . , k
), а
x
(
k
+1)
n
синхронен каждому
x
(
i
)
n
(
i
=
k
+ 2
, k
+ 3
, . . . , N
), но между собой
x
(1)
n
и
x
(
k
+1)
n
не синхронны. Для опреде-
ления является ли данный кластер устойчивым достаточно проследить эволюцию
динамики системы (1) или (2) в зависимости он начального распределения особей
по ареалу, т.е. начальных значений фазовых переменных
x
(
i
)
0
(
i
= 1
,
2
, . . . , N
). Если
зафиксировать ее достаточно близкую, к какому либо из возможных для данной
системы кластеров, то после серии итераций траектория останется в пределах этого
кластера, либо покинет его. Это покажет, настолько удачно была выбрана эта точ-
ка и какому бассейну она принадлежит. С другой стороны, не имеет значения из
какой части бассейна притяжения её брать (быть может, кроме границы бассейна) –
траектория системы сойдется к данному кластеру, т.е. выбор начальной точки ока-
зывается достаточно произвольным. Тогда если знать, какие фазы кластеризации
возможны для данной системы и данной размерности, то можно попытаться опреде-
лить области устойчивости возможных кластеров в параметрическом пространстве
и построить их бассейны притяжения. Рассмотрим эволюцию системы отображения
(1) из начальной точки вида:
x
0
=
n
X
0
=
x
(1)
0
=
. . .
=
x
(
k
)
0
, Y
0
=
x
(
k
+1)
0
=
. . .
=
x
(
N
)
0
|
X
0
6
=
Y
0
o
,
(4)
которая по своему виду близка к кластеру вида (3). После
τ >
0
итераций образ
точки (4) будет
x
τ
=
n
x
(1)
τ
, x
(2)
τ
, . . . , x
(
N
)
τ
o
, полученные фазовые переменные могут
образовать кластеры вида (3) и тогда можно говорить, что точка
x
0
выбрана из
бассейна притяжения данного кластера, либо будет получены другие кластеры дру-
гого размера и числа заполнения. Тогда, что бы построить бассейны притяжения
данного кластера можно оценить близость начального
x
0
и достигаемого простран-
ственного распределения
x
τ
. В качестве такой удобно воспользоваться коэффициент
детерминации:
r
2
n
=
r
2
(
x
0
,
x
n
)
(
n
=
τ, τ
+ 1
, . . . , τ
+
d
)
,
(5)
где
x
0
соответствует набору фазовых переменных в начальный момент времени, а
x
n
соответствует наборам после
τ, τ
+ 1
, ..., τ
+
d
итераций, взятым на устойчивом
аттракторе, а
d
– максимальная длина цикла, достигаемая одной из фазовых пе-
ременных. В случае квазипериодической динамики достаточно рассмотреть набор
x
n
на одном полном обороте фазовой кривой. В результате вычисления (5) будет
получено
d
оценок
r
2
n
, из которых выбирается самый минимальный:
R
2
= min
r
2
n
.
(6)
В случае если, полученный коэффициент
R
2
достаточно близок к 1, то достигае-
мая системой (1) динамика в каждый момент времени с точностью до постоянно-
го множителя совпадает с начальным своим состоянием и при данных значениях
параметров данный режим существует, а значит, что данная начальная точка при-
надлежит бассейну притяжения подобных кластеров. Если же он близок нулю, то
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
121
между этими состояниями нет сходства, и для данных значений параметров дан-
ной фазы кластеризации не существует, либо начальная точка не принадлежит
бассейну таких кластеров. Рассмотрим полученные таким образом бассейны при-
тяжения для модельного ареала квадратной формы и
N
= 36
. Зафиксируем кла-
стер в виде (4) и будем варьировать значения
X
0
=
x
(1)
0
=
x
(2)
0
=
. . .
=
x
(18)
0
и
Y
0
=
x
(19)
0
=
x
(20)
0
=
. . .
=
x
(36)
0
, вычисляя минимальный коэффициент детерми-
нации (6). На рис. 2 показана карта величины
R
2
на плоскости
(
X
0
, Y
0
)
, где чер-
ному цвету соответствует очень близкое к нулю ее значение, белым областям, где
R
2
очень близок к 1. Для примера на рис. 2 так же показаны примеры возника-
ющих кластеров. На рис. 2
д
показаны кластеры подобные изначально заданному
кластеру
n
X
0
=
x
(1)
0
=
. . .
=
x
(18)
0
, Y
0
=
x
(19)
0
=
. . .
=
x
(36)
0
o
, в динамике которых от-
мечается захват частоты и фазы, однако полного равенства амплитуд не наблюда-
ется. В областях, отмеченных на рис. 2
а
оттенками серого формирование таких
кластеров оказывается не возможным и реализуются другие их виды, отличающие-
ся разным числом заполнения (рис. 2
б-г
) и даже разным числом самых кластеров
(рис. 2
в
). Надо отметить, что наиболее информативно полными являются бассейны
10
5
0
5
10
X
0
Y
0
x
n
(
i
)
x
n
(
i
)
x
n
(
i
)
i
0
12
24
36
4
1
x
n
(
i
)
i
0
12
24
36
4
1
x
n
(
i
)
x
n
(
i
)
i
0
12
24
36
4
1
x
n
(
i
)
x
n
(
i
)
i
0
12
24
36
4
1
(
а
)
(
в
)
(
б
)
(
г
)
(
д
)
Рис. 2.
(
а
) Бассейны притяжения кластеров, (
б
)-(
г
) кластеры, возникающие
в них при
a
= 12
и
m
= 0
.
025
полностью синхронных режимов динамики, показанные черным цветом на рис. 2
а
.
Эти области при фиксированных значениях параметров модели оказываются инва-
риантны относительно фиксируемого в данной методике кластера
x
0
=
{
X
0
, Y
0
}
,
относительно которого и прослеживается близость начального
x
0
и достигаемого
пространственного распределения
x
τ
. Бассейны притяжения всех возможные фаз
кластеризации могут быть получены как попарное пересечение дополнений областей
фазового пространства, в которых реализуется та или иная фаза кластеризация.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
122
Выводы
Рассмотрен простейший случай, когда образуются две группировки рядом сто-
ящих локальных популяций или кластеров. Показано, что в случае равенства двух
этих кластеров, их бассейны притяжения (т.е. области фазового пространства в ко-
торых реализуются эти фазы кластеризации) совпадают с бассейнами притяжения
противофазного режима в системе из двух связанных логистических отображений,
рассмотренных ранее [2]. Бассейн притяжения полностью синхронной динамики
всех локальных очагов в этом случаи полностью совпадает с аналогичной областью
в системе из двух связанных логистических отображений.
Исследования проведены
при финансовой поддержке РФФИ (региональный проект 11-01-98512-р_восток_а)
и ДВО РАН (конкурсные проекты 12-I-П28-02, 12-II-СО-06-019, 12-II-СУ-06-007).
Список литературы
1.
Безручко Б.П., Прохоров М.Д. Селезнев Е.П. Виды колебаний, мультистабильность
и бассейны притяжений аттракторов симметрично связанных систем с удвоением
периода // Изв. вузов, ПНД, Том 10, № 10. – 2002 г. – с 47 – 67.
2.
Кулаков М.П., Фрисман Е.Я. Синхронизация 2-циклов в системе симметрично свя-
занных популяций, запас–пополнение в которых описывается функцией Рикера //
Изв. вузов, ПНД. 2010, Т. 18, № 6, С. 25-41. 1974. № 5. С. 82-94.
3.
Kaneko K. Clustering, coding, switching, hierarchical, ordering, and control in network
of chaotic elements // Physica D. 1990. Vol. 41, № 2, p. 137-172.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 574.34, 530.182
ИССЛЕДОВАНИЕ УСЛОВИЙ
СИНХРОНИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ
ЧИСЛЕННОСТЕЙ
МИГРАЦИОННО-СВЯЗАННЫХ
СООБЩЕСТВ В СИСТЕМЕ
«РЕСУРС-ПОТРЕБИТЕЛЬ»
Е.В. Курилова
Институт комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН
Россия, 679016, Еврейская АО, г. Биробиджан, ул. Шолом-Алейхема, д.4
E-mail:
katkurilova@mail.ru
Ключевые слова:
синхронизация колебаний, фазовый портрет
Для изучения основных закономерностей развития взаимосвязанных со-
обществ, заселяющих соседние регионы, представлена модификация мате-
матической модели динамики численности двух сообществ типа «ресурс-
потребитель», связанных миграциями потребителя. Проведено исследова-
ние полученной модели, выполнено качественное описание поведения моде-
ли, определены условия синхронизации колебаний рассматриваемых сооб-
ществ, изучено влияние миграционного взаимодействия между сообщества-
ми на динамику каждой популяции.
Введение
С начала 20 века активно развивается динамическая теория биологических по-
пуляций, в рамках которой исследуются закономерности изменения численности
особей взаимодействующих биологических видов, в частности, условия возникнове-
ния устойчивых колебаний. Для описания динамики таких популяций необходимо
использовать нелинейные модели, учитывающие основные факторы их развития
(рождаемость, смертность, межвидовые взаимодействия, миграция). Первое глубо-
кое математическое исследование моделей биологических сообществ, включающих
в себя несколько популяций различных видов, и изучение закономерностей динами-
ки их взаимодействия дано в работе Лотки-Вольтерра. Основная особенность этой
модели состоит в том, что на основе очень упрошенных представлений о закономер-
ностях развития биологических систем, было выведено заключение о качественном
характере поведения таких сообществ - о наличии в системе колебаний плотности по-
пуляций [2]. Продолжением исследований порожденных работами Вольтера и Лотка
являются модели, полученные включением в исходную различных дополнительных
факторов: эффект насыщения хищника, ограниченность ресурсов жертвы и хищни-
ка даже при избытке жертвы и т.п.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
124
1.
Модель миграционно-связанных сообществ
Работа посвящена определению условий синхронизации колебаний численности
сообществ, особи которых заселяют соседние регионы, а так же изучению влияния
миграционного взаимодействия между сообществами на динамику каждой популя-
ции. Исследование основывается на модели Базыкина [1], являющейся одним из
продолжений работ Вольтерра. В рассмотрение при этом вводятся два новых по
отношению к исходной модели фактора: нелинейный характер размножения попу-
ляции жертвы при малых плотностях популяции, насыщение хищника, внутриви-
довая конкуренция в популяции жертвы, вызываемая ограниченностью ресурсов и
миграция хищника:
˙
x
1
=
ax
1
K
−
x
1
K
−
bx
1
y
1
1+
Ax
1
˙
y
1
=
−
cy
1
+
dx
1
y
1
1+
Ax
1
+
my
2
−
my
1
˙
x
2
=
ax
2
K
−
x
2
K
−
bx
2
y
2
1+
Ax
2
˙
y
2
=
−
cy
2
+
dx
2
y
2
1+
Ax
2
+
my
1
−
my
2
(1)
где
a
- скорость размножения популяции жертвы в отсутствии хищника,
f
=
a/K
- коэффициент внутривидовой конкуренции жертв (самолимитирование),
b
- удель-
ная скорость потребления популяцией хищника популяции жертвы при единичной
плотности обеих популяций,
c
- естественная смертность хищника
d/b
- коэффициент
переработки потребленной хищником биомассы жертвы в собственную биомассу,
A
-
коэффициент насыщения хищника,
m
- коэффициент миграции хищника. В исход-
ной записи система (1) содержит семь независимых параметров. Заменой перемен-
ных:
x
=
c
d
u
,
y
=
a
b
v
,
t
=
τ
a
приходим к системе уравнений с четырьмя параметрами:
˙
u
1
=
u
1
−
u
1
v
1
1+
αu
1
−
εu
2
1
˙
v
1
=
−
γv
1
+
γu
1
v
1
1+
αu
1
+
βv
2
−
βv
1
˙
u
2
=
u
2
−
u
2
v
2
1+
αu
2
−
εu
2
2
˙
v
2
=
−
γv
2
+
γu
2
v
2
1+
αu
2
+
βv
1
−
βv
2
(2)
где
α
=
Ac
d
- коэффициент насыщения хищника,
ε
=
c
Kd
- коэффициент самоли-
митирования (конкуренция жертв),
γ
=
c
a
- относительная скорость роста, рав-
ная отношению скорости гибели хищника и скорости прироста жертвы,
β
=
m
a
−
−
относительная доля миграции, равная отношению доли мигрантов хищника и ско-
рости прироста жертвы.
2.
Исследование синхронизации колебаний
численности
Система (2) состоит из двух подсистем идентичных модели Базыкина, связан-
ных между собой коэффициентом миграции потребителя. Выберем фиксированные
значения параметров
ε
= 0
.
12
,
α
= 0
.
45
,
γ
= 0
.
5
, которые соответствуют решениям
подсистем, лежащим на предельном цикле. Сравним поведение этих двух траекто-
рий (циклов) на плоскостях
(
u
1
, v
1
)
и
(
u
2
, v
2
)
при изменении параметра связи
β
. Рас-
смотрим следующие начальные условия:
u
1
(0) = 0
.
153
,
v
1
(0) = 1
.
080
,
u
2
(0) = 6
.
764
,
v
2
(0) = 0
.
772
, соответствующие максимальным и минимальным значениям числен-
ности жертвы
u
на предельных циклах системы (2). В случае, когда рассматри-
ваемые сообщества слабо связаны друг с другом (относительная доля миграции
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.