ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2204
Скачиваний: 4
145
величин
X
1
, X
2
, . . . , X
n
с общей функцией распределения
F
(
x
)
. Эмпирическая функ-
ция распределения определяется равенством:
ˆ
F
(
x
) =
1
n
|{
k
:
X
k
6
x
}|
.
(2)
Известно, что
ˆ
F
(
x
)
является состоятельной асимптотически нормальной оценкой
для
F
(
x
)
; ЭФР при
n
→ ∞
сходится к броуновскому мосту ([1], [2]):
ˆ
F
(
x
)
→
F
(
x
) +
w
0
(
F
(
x
))
√
n
.
(3)
Выберем некоторый набор “уровней”
Y
1
, Y
2
, . . . , Y
M
(
Y
1
< Y
2
<
· · ·
< Y
M
, M >
2)
.
Заменяя в (1) функцию распределения
F
(
x
)
ее эмпирической оценкой
ˆ
F
(
x
)
, запишем
(приближенное) равенство:
F
0
Y
i
−
a
b
∼
= ˆ
F
(
Y
i
)
.
Предполагая
F
0
(
x
)
монотонно возрастающей, запишем:
Y
i
−
a
b
=
F
−
1
0
( ˆ
F
n
(
Y
i
)) =
g
i
,
где
F
−
1
0
- функция, обратная к
F
0
, и обозначено для краткости
g
i
=
F
−
1
0
( ˆ
F
(
Y
i
))
,
получаем соотношения
Y
i
−
a
b
=
g
i
,
которые преобразуем в систему равенств:
a
+
b
g
i
−
Y
i
= 0
,
i
= 1
,
2
, . . . , M.
Значения
a, b
наилучшим образом удовлетворяющие этой системе, ищем методом
наименьших квадратов
M
X
i
=1
(
a
+
b
g
i
−
Y
i
)
2
→
min,
и решая соответстувующую систему двух линейных уравнений, получаем решение
в явном виде:
ˆ
b
=
Y
g
−
Y
g
g
2
−
(
g
)
2
,
ˆ
a
=
Y
−
ˆ
b
g
.
(4)
Здесь введены условные обозначения вида
Z
=
1
M
P
M
i
=1
Z
i
,
например
,
g
2
=
1
M
P
M
i
=1
g
2
i
.
2.
Статистические свойства оценок
Асимптотические свойства оценок сформулированы в виде теоремы.
Теоре-
ма 1
. Предположим, что функция распределения
F
(
x
)
непрерывно дифференци-
руема, причем плотность
p
(
x
) =
F
0
(
x
)
не обращается в 0 в выбранных точках
Y
1
, Y
2
, . . . , Y
M
:
p
(
Y
i
)
>
0
. Тогда оценки параметров масштаба и положения, опре-
деляемые формулой (4) являются состоятельными, т.е. при
n
→ ∞
P
n
|
b
−
ˆ
b
|
>
o
→
0
(
∀
>
0)
,
(аналогично для
a
) и асимптотически нормальными оценками: при
n
→ ∞
распре-
деление оценки
ˆ
b
имеет вид
ℵ
b,
σ
2
b
n
, соответственно для оценки
ˆ
a
асимптотичесое
распределение есть нормальное распределение
ℵ
a,
σ
2
a
n
. Асимптотические диспер-
сии этих оценок могут быть представлены в виде:
σ
2
b
=
P
M
i,j
=1
f
b
i
f
b
j
σ
ij
,
σ
2
a
=
P
M
i,j
=1
f
a
i
f
a
j
σ
ij
,
(5)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
146
где
f
b
i
=
b
2
M S
2
Y
(
Y
i
−
Y
)
p
0
(
Y
i
)
,
f
a
i
=
b
M p
0
(
Y
i
)
(
Y
i
−
Y
)(
Y
i
−
a
)
S
2
Y
−
1
,
(6)
S
2
Y
обозначает
S
2
Y
=
Y
2
−
(
Y
)
2
, а матрица
{
σ
ij
}
имеет вид:
σ
2
i
=
σ
ii
=
F
(
Y
i
)(1
−
F
(
Y
i
))
,
σ
ij
=
F
(
Y
i
)(1
−
F
(
Y
j
))
, i < j,
σ
ij
=
F
(
Y
j
)(1
−
F
(
Y
i
))
, i > j.
(7)
Идея доказательства теоремы представлена в Приложении.
3.
Исследование свойств оценок
Для иллюстрации свойств полученных оценок были выбраны три типа распре-
делений: распределение Гаусса, Коши и Лапласа. Функция распределения
F
(
x
)
и
соответствующая ей плотность
p
(
x
) =
F
0
(
x
)
при значениях параметров масштаба
и положения равных
a, b
получаются из “стандартных” распределений
F
0
(
x
)
, p
0
(
x
)
,
соответствующих
a
= 0
, b
= 1
в соответствии с формулой (1). Уровни
Y
i
выбира-
лись разделенными равными значениями вероятности:
F
(
Y
i
) =
i/
(
M
+ 1)
, то есть,
вероятности всех интервалов (
Y
i
−
1
, Y
i
) одинаковые и равны
1
/
(
M
+ 1)
; например,
при
M
= 3
каждая вероятность будет равна
1
/
4
. Поскольку распределения здесь
симметричны относительно 0, то при таком выборе уровней
Y
i
будет
Y
= 0
, а значит
S
2
Y
=
1
M
P
M
i
=1
Y
2
i
и формулы для дисперсии приобретают вид:
σ
2
b
=
b
4
M
2
S
2
y
M
X
i,j
=1
Y
i
Y
j
i
M
+1
1
−
j
M
+1
p
0
(
Y
i
)
p
0
(
Y
j
)
.
Все вычисления проводились в пакете MatLab с использованием встроенных функ-
ций. Характер зависимости асимптотической дисперсии от числа уровней М пред-
ставлен на рисунке 1. Кроме асимптотических свойств исследовались также свой-
Рис. 1.
Зависимость дисперсии от количества уровней
M
ства распределений оценок
ˆ
a,
ˆ
b
для выборок конечной длины (
n <
∞
). Рассмот-
рен частный случай двух уровней (
M
= 2
), когда
ˆ
a
= (
Y
2
g
1
−
Y
1
g
2
)
/
(
g
1
−
g
2
)
,
ˆ
b
=
(
Y
1
−
Y
2
)
/
(
g
1
−
g
2
)
.
Здесь также учитывалась вероятность вырождения оценок (при
M
= 2
оценки не существуют если одна из
g
i
=
±∞
или
g
1
=
g
2
). Совместное
распределение
ˆ
F
(
Y
1
)
и
ˆ
F
(
Y
2
)
может быть записано в виде:
p
ij
=
P
ˆ
F
(
Y
1
) =
i
n
,
ˆ
F
(
Y
2
) =
j
n
=
n
!
F
i
(
Y
1
)(
F
(
Y
2
)
−
F
(
Y
1
))
(
j
−
i
)
i
!(
j
−
i
)!(
n
−
j
)!(1
−
F
(
Y
2
))
(
n
−
j
)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
147
для
i
= 0
, . . . , n
;
j
=
i . . . n
; с нулевой вероятностью
p
ij
= 0
для всех остальных пар
i, j
. Имея такое распределение мы можем получить совместное распределение для
двух случайных переменных
g
1
=
F
−
1
0
( ˆ
F
(
Y
1
))
,
g
2
=
F
−
1
0
( ˆ
F
(
Y
2
))
, и затем вывести
распределение для случайной величины
ˆ
b
= (
Y
1
−
Y
2
)
/
(
g
1
−
g
2
)
- оценки параметра
масштаба для
M
= 2
. Набор возможных значений
ˆ
b
определяется соответствующим
набором значений
ˆ
F
(
Y
1
)
и
ˆ
F
(
Y
2
)
. На рисунке 2 представлена аппроксимация плот-
ностей распределения вероятностей оценки параметра масштаба для распределения
Коши с истинными значениями параметров
a
= 0
и
b
= 1
(длина выборки
n
рав-
на соответственно
20
и
100
). Вероятности получить вырожденную оценку в этих
случаях равны соответственно
6
,
34
∗
10
−
3
и
6
,
41
∗
10
−
13
.
Рис. 2.
Аппроксимация плотностей распределения вероятностей
ˆ
b
Заключение
Предложен простой в вычислительном отношении универсальный метод постро-
ения оценок параметров положения и масштаба для вероятностных распределений.
Выведенные формулы и реализованные алгоритмы позволяют исследовать свойства
оценок для разных типов распределений, а также при нарушении условий Теоремы
(например, при засорении экспериментальной выборки). Полезным свойством оце-
нок является наличие в них параметров ("уровней"), которые находятся в распо-
ряжении пользователя. Благодаря возможности выбора таких параметров в алго-
ритме, оценки могут быть полезны во многих прикладных задачах, связанных со
статистическим анализом наблюдений и управлением.
Список литературы
1.
Боровков А. А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
2.
Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.
3.
Закс Ш. Теория статистических выводов. М.: Мир, 1975.
Приложение
К доказательству теоремы.
Броуновский мост
w
0
(
t
)
имеет нормальное рас-
пределение с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией
Ew
0
(
t
i
)
w
0
(
t
j
) =
t
i
(1
−
t
j
)
,
0
< t
i
< t
j
<
1
,
(8)
что следует из представления
w
0
(
t
) =
w
(
t
)
−
tw
(
t
)
, где
w
(
t
)
- стандартный вине-
ровский процесс, у которого сечения имеют совместное нормальное распределение
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
148
с нулевым математического ожидания
Ew
(
t
i
) = 0
и ковариационной функцией
Ew
(
t
i
)
w
(
t
j
) =
min
(
t
i
, t
j
)
. Асимптотические распределения для оценок
ˆ
a,
ˆ
b
могут
быть получены на основе Теоремы об асимптотической нормальности функции от
случайных величин ([1]): если случайные величины
ξ
ni
, i
= 1
,
2
, . . . , M
имеют сов-
местное асимптотическое нормальное
M
-мерное распределение, со средним векто-
ром
m
1
, . . . , m
M
и ковариационной матрицей:
{
σ
ij
}
,
σ
ii
=
σ
2
i
, а
f
(
ξ
n
1
, . . . , ξ
nk
)
-
заданная дифференцируемая функция, тогда распределение случайной величины
(
f
(
ξ
n
1
, . . . , ξ
nk
)
−
f
(
m
1
, . . . , m
M
))
/
(
σ/
√
n
)
стремится при
n
→ ∞
к стандартному
нормальному
ℵ
(0
,
1)
. Здесь обозначено
σ
2
=
M
X
i,j
=1
f
i
f
j
σ
ij
,
f
i
=
∂f
(
m
1
, . . . , m
M
)
∂m
i
,
i
= 1
,
2
, . . . , M.
Следует положить
ξ
ni
= ˆ
F
(
Y
i
)
. Тогда получаются необходимые соотношения для
асимптотических математических ожиданий
m
i
=
E
(
ξ
ni
) =
F
(
Y
i
)
и формулы для
асимптотической ковариационной матрицы, если применить Теорему об асимптоти-
ческой нормальности к функции
f
(
ξ
1
, . . . , ξ
M
) =
Y
g
−
Y
g
g
2
−
g
2
.
(9)
Поскольку асимптотически
g
(
m
i
) =
g
(
F
(
Y
i
)) =
F
−
1
0
(
F
0
((
Y
i
−
a
)
/b
)) = (
Y
i
−
a
)
/b
, то
имеем
f
(
m
1
, . . . , m
M
) =
1
M
P
M
i
=1
Y
i
Y
i
−
a
b
−
Y
1
M
P
M
i
=1
Y
i
−
a
b
1
M
P
M
i
=1
(
Y
i
−
a
b
)
2
−
(
1
M
P
M
i
=1
Y
i
−
a
b
)
2
=
b
Y
2
−
(
Y
)
2
Y
2
−
(
Y
)
2
=
b.
Это и означает, что при
n
→ ∞
распределение оценки
ˆ
b
есть
ℵ
b,
σ
2
b
n
, а значит,
ˆ
b
сходится к
b
по вероятности, и
ˆ
b
- состоятельная асимптотически нормальная оценка.
Для функции
f
из (9) величины
f
i
, принимают вид:
f
i
=
b
2
g
0
(
m
i
)
/
(
M S
2
y
)(
Y
i
−
Y
)
.
Поскольку
g
- обратная функция к функции распределения, то ее производная
g
0
(
m
i
) = 1
/
(
p
0
(
Y
i
))
, отсюда и следует выражение для асимптотической дисперсии
оценки
ˆ
b
в виде формулы (5), (6). Аналогичным образом, доказывается несмещен-
ность и асимптотическая нормальность для оценки
ˆ
a
.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 517.958
АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ
НЕРАССЕИВАЮЩЕЙ ОБОЛОЧКИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ АКУСТИКИ
А.В. Лобанов
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
alekslobanov1@mail.ru
Ключевые слова:
уравнение Гельмгольца, задача рассеяния, неоднород-
ная среда, обратная задача, единственность, оценки устойчивости.
Исследуются обратные задачи для уравнения Гельмгольца, описывающего
акустическое рассеяние на трехмерном включении. С помощью оптимиза-
ционного метода указанные задачи сводятся к обратным экстремальным за-
дачам, в которых роль управлений играют переменный индекс рефракции
и плотность граничных источников звукового поля. Излагаются некоторые
результаты, полученные при ее теоретическом и практическом исследова-
нии.
Введение
В последние годы большое внимание уделяется исследованию обратных задач
для моделей акустического и электромагнитного рассеяния на неоднородных вклю-
чениях. С помощью оптимизационного метода указанные задачи сводятся к обрат-
ным экстремальным задачам для указанных моделей. К необходимости решения та-
кого типа задач приводят, в частности, задачи маскировки материальных объектов
в жидких средах (см., например, [1, 2, 3, 4]). В цитируемых работах доказано су-
ществование маскировочных оболочек, причем установлено, что необходимым усло-
вием их существования является условие анизотропии исходной среды. Поскольку
реализовать полученные решения на практике пока не представляется возможным
(см. подробнее об этом в обзоре [5]), то естественной альтернативой к такому подходу
выступает замена задачи точной маскировки материального тела задачей прибли-
женной маскировки для модели акустики изотропной неоднородной среды. В мате-
матическом плане последняя задача сводится к обратной экстремальной задаче. В
качестве функционального ограничения в ней выступает используемая модель рас-
сеяния акустических волн, а роль функционала качества может играть квадрат нор-
мы рассеянного искомой оболочкой поля. В данной работе рассматривается близкая
обратная экстремальная задача для трехмерной модели акустического рассеяния.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.