ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2157
Скачиваний: 4
150
1.
Постановка задачи сопряжения
Рассмотрим в
R
3
область
Ω
, удовлетворяющую следующему условию: (i)
Ω
–
ограниченная область в
R
3
типа шарового слоя с внутренностью
Ω
i
, внешностью
Ω
∞
e
и криволинейной в общем случае липшицевой границей
Γ
i
∪
Γ
e
, состоящей из
двух компонент: внутренней
Γ
i
и внешней
Γ
e
. Области
Ω
и
Ω
∞
e
заполнены жидкими
средами с разными плотностями,
ρ
= const
и
ρ
e
= const
,
p
и
p
e
– звуковое давление
в
Ω
и
Ω
∞
e
соответственно. Границу
Γ
i
будем считать абсолютно жесткой. Предпо-
ложим, что во внешности
Ω
∞
e
области
Ω
возникло поле
p
inc
. Поскольку область
Ω
является препятствием для поля
p
inc
, то падение этого поля на
Ω
приводит к появ-
лению в области
Ω
входящего поля
p
, а в области
Ω
e
– появления рассеянного поля
p
s
. Задача определения полей
p
в
Ω
и
p
s
в
Ω
∞
e
играет важную роль в теоретической
акустике. Математически она сводится к задаче нахождения поля
p
в
Ω
и внешнего
поля
p
e
=
p
inc
+
p
s
в
Ω
∞
e
путем решения следующей задачи сопряжения:
∆
p
+
k
2
ηp
=
−
f
в
Ω
,
∆
p
e
+
k
2
p
e
= 0
в
Ω
∞
e
,
(1)
p
=
p
e
,
1
ρ
∂p
∂n
=
1
ρ
e
∂p
e
∂n
на
Γ
e
,
1
ρ
∂p
∂n
=
g
на
Γ
i
,
(2)
∂p
s
(
x
)
∂r
−
ikp
s
(
x
) =
o
(
r
−
1
)
при
r
=
|
x
| → ∞
.
(3)
Здесь
k
– постоянное волновое число,
η
=
η
(
x
)
– переменный индекс рефракции в
Ω
,
f
– плотность объемных источников в
Ω
, (3) имеет смысл условия излучения Зоммер-
фельда в
R
3
, функция
g
описывает плотность поверхностных источников звукового
поля на внутренней границе
Γ
i
области
Ω
, которая играет роль поверхностной антен-
ны, являющейся источником дополнительного звукового поля в области
Ω
. Введем
шар
B
R
радиуса
R
с границей
Γ
R
, содержащий
Ω
. Положим
Ω
e
= Ω
∞
e
∩
B
R
. Ни-
же будем использовать пространства
H
1
(Ω)
,
H
1
(Ω
e
)
,
L
2
(Ω)
,
L
2
(
Q
)
,
L
2
(Γ
i
)
,
L
2
(Γ
r
)
,
H
1
/
2
(Γ
R
)
,
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
,
H
s
(Ω)
, s >
0
и
L
∞
(Ω)
с нормами
k · k
1
,
Ω
,
k · k
1
,
Ω
e
,
k · k
Ω
,
k · k
Q
,
k · k
Γ
i
,
k · k
Γ
r
,
k · k
1
/
2
,
Γ
R
,
k · k
−
1
/
2
,
Γ
R
,
k · k
s,
Ω
и
k · k
L
∞
(Ω)
соответственно. Здесь
Q
⊂
Ω
e
–
произвольное открытое подмножество,
Γ
r
⊂
Ω
e
– сфера радиуса
r < R
, содержащая
Ω
. Положим
L
∞
η
0
(Ω) =
{
η
∈
L
∞
(Ω) :
η
>
η
0
>
0
в
Ω
}
. Также введем простран-
ство
H
1
(∆
,
Ω
e
) =
{
v
∈
H
1
(Ω
e
) : ∆
v
∈
L
2
(Ω
e
)
}
, наделенное нормой
k
v
k
2
H
1
(∆
,
Ω
e
)
=
k
v
k
2
1
,
Ω
e
+
k
∆
v
k
2
Ω
e
, и пространство
H
inc
=
v
∈
H
1
(∆
,
Ω
e
) : ∆
v
+
k
2
v
= 0
в
Ω
e
}
. По-
следнее служит для описания сужений падающих волн на область
Ω
e
. Для произ-
вольной пары функций
p
∈
H
1
(Ω)
, p
e
∈
H
1
(Ω
e
)
положим
P
= (
p, p
e
)
. Введем в
рассмотрение гильбертово пространство
V
=
H
1
(Ω)
×
H
1
(Ω
e
)
, состоящее из пар
P
= (
p, p
e
)
с нормой
|
[
P
]
|
2
=
k
p
k
2
1
,
Ω
+
k
p
e
k
2
1
,
Ω
e
, и оператор “скачка”
γ
e
:
V
→
H
1
/
2
(Γ
e
)
через границу
Γ
e
формулой
γ
e
P
= [
P
]
|
Γ
e
≡
p
e
|
Γ
e
−
p
|
Γ
e
для
P
≡
(
p, p
e
)
∈
V.
Введем
также ядро
X
= Ker
γ
e
≡ {
P
= (
p, p
e
)
∈
V
:
γ
e
P
= 0
}
.
2.
Сведение к эквивалентной краевой задаче в
ограниченной области
Сведем задачи (1)–(3) к эквивалентной краевой задаче, рассматриваемой в огра-
ниченной области
B
R
. Введем отображение Дирихле–Неймана
T
:
H
1
/
2
(Γ
R
)
→
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
, где
˜
u
– решение внешней задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
151
∆
u
+
k
2
u
= 0
в
Ω
∞
e
\
B
R
с условием
u
|
Γ
R
=
h
. Задача (1)–(3) эквивалентна краевой
задаче (1), (2), рассматриваемой в ограниченной области
Ω
∪
Ω
e
при следующем
граничном условии для
p
s
:
∂p
s
∂n
=
T p
s
на
Γ
R
.
(4)
Для краткости на последнюю задачу будем ссылаться как на задачу 1.
3.
Разрешимость задачи сопряжения
Пусть
S
∈
X
– произвольная функция. Умножим первое уравнение в (1), рас-
сматриваемое в области
Ω
, на
S/ρ
, второе уравнение в (1), рассматриваемое в
Ω
e
,
– на
S/ρ
e
, где
S
∈
X
, проинтегрируем по
Ω
либо по
Ω
e
и применим формулу Гри-
на по
Ω
либо по
Ω
e
. Складывая полученные тождества и используя два последних
граничных условия в (2), приходим к следующему тождеству:
a
η
(
P, S
) =
h
F, S
i ≡ h
f
inc
, S
i
+
ρ
−
1
Z
Ω
f Sdx
+
Z
Γ
i
g
Sdσ
∀
S
∈
X.
(5)
Здесь
a
η
:
X
×
X
→
C
и
F
:
X
→
C
– полуторалинейная и антилинейная формы,
определяемые формулами
a
η
(
P, S
) =
a
0
(
P, S
) +
a
(
η
;
P, S
)
, a
(
η
;
P, S
) =
−
k
2
ρ
−
1
Z
Ω
ηP Sdx,
(6)
a
0
(
P, S
) =
ρ
−
1
Z
Ω
∇
P
· ∇
Sdx
+
ρ
−
1
e
Z
Ω
e
(
∇
P
· ∇
S
−
k
2
P S
)
dx
−
ρ
−
1
e
Z
Γ
R
T
(
P
)
Sdσ,
(7)
h
f
inc
, S
i
=
−
ρ
−
1
e
Z
Γ
R
T p
inc
Sdσ
+
ρ
−
1
e
Z
Γ
R
∂p
inc
∂n
Sdσ.
(8)
Решение
P
∈
X
задачи (5) будем называть слабым решением задачи 1.
4.
Основные результаты
Основной целью является анализ обратных экстремальных задач для модели
(1). Эти задачи состоят в минимизации определенных функционалов качества, за-
висящих от состояния (акустического поля
P
= (
p, p
e
)
∈
X
) и неизвестных функций
(управлений), удовлетворяющих уравнению состояния (5). В качестве управлений
выберем функции
η
и
g
. Основное отличие между ними состоит в том, что
η
имеет
смысл распределенного, причем мультипликативного, управления, нелинейно входя-
щего в уравнение состояния (5), тогда как
g
является граничным управлением типа
плотности источников, линейно входящим в (5). Будем предполагать, что управле-
ния
η
и
g
могут изменяться в некоторых множествах
K
1
и
K
2
, причем выполня-
ются следующие условия: (j)
K
1
⊂
H
s
η
0
(Ω) =
{
η
∈
H
s
(Ω) :
η
>
η
0
>
0
}
, s >
3
/
2
,
K
2
⊂
L
2
(Γ
i
)
– непустые выпуклые замкнутые множества;
f
∈
L
2
(Ω)
– заданные
функции. Полагая
K
=
K
1
×
K
2
,
u
= (
η,
g
)
, введем оператор
G
:
X
×
K
× H
inc
→
X
∗
формулой
h
G
(
P, u, p
inc
)
, S
i
=
a
η
(
P, S
)
−
F
(
S
)
и запишем слабую формулировку (5)
задачи 1 в виде уравнения
G
(
P, u, p
inc
) = 0
. Пусть
I
:
X
→
R
— произвольный (пока)
функционал качества. Рассмотрим экстремальную задачу
J
(
P, u
)
≡
α
0
2
I
(
P
)+
α
1
2
k
η
k
2
s,
Ω
+
α
2
2
k
g
k
2
Γ
I
→
inf
,
(
P, u
)
∈
X
×
K, G
(
P, u, p
inc
) = 0
.
(9)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
152
Здесь
α
0
, α
1
и
α
2
– неотрицательные параметры. В качестве функционала качества
будем рассматривать один из следующих:
I
1
(
P
) =
k
P
−
p
d
k
2
Q
=
Z
Q
|
P
−
p
d
|
2
dx, I
2
(
P
) =
Z
Γ
r
|
P
−
p
d
|
2
dσ.
(10)
Здесь функция
p
d
∈
L
2
(
Q
)
(либо
p
d
⊂
L
2
(Γ
r
)
) моделирует измеренное в некоторой
подобласти
Q
⊂
Ω
e
или на сфере
Γ
r
⊂
Ω
e
распределение акустического поля. При
p
d
=
p
inc
функционал
I
1
(либо
I
2
) имеет смысл квадрата
L
2
– нормы рассеяного
поля
p
s
по
Q
(либо по
Γ
r
). Введем множество
Z
ad
=
{
(
P, u
)
∈
X
×
K
:
G
(
P, u, p
inc
) =
0
, J
(
P, u
)
<
∞}
допустимых пар
(
P, u
)
для задачи (9). Cправедливы следующие
теоремы.
Теорема 1.
Пусть при выполнении условий (i), (j),
p
inc
∈ H
inc
,
I
:
X
→
R
– слабо полунепрерывный снизу функционал, множество
Z
ad
не пусто,
α
0
>
0
, причем
α
1
>
0
,
α
2
>
0
и функционал
I
ограничен снизу либо
α
1
>
0
,
α
2
>
0
, а
K
1
и
K
2
– ограниченные множества. Тогда задача (9) имеет по крайней
мере одно решение
(
P, u
)
∈
X
×
K
.
Теорема 2.
Пусть при выполнении условий
(i), (j) пара
( ˆ
P ,
ˆ
u
)
∈
X
×
K
является решением задачи (9), причем функционал
I
непрерывно дифференцируем по
P
в точке
ˆ
P
. Тогда существует единственный
ненулевой множитель Лагранжа
R
∈
X
, который удовлетворяет комплексному
уравнению Эйлера-Лагранжа
a
0
(Ψ
, R
) +
a
(ˆ
η
; Ψ
, R
) =
−
(
α
0
/
2)
h
I
0
P
( ˆ
P
)
,
Ψ
i ∀
Ψ
∈
X,
(11)
и справедлив принцип минимума, эквивалентный вариационным неравенствам
α
1
(ˆ
η, η
−
ˆ
η
)
s,
Ω
+ Re
a
(
η
−
ˆ
η
; ˆ
P , R
)
>
0
∀
η
∈
K
1
,
(12)
α
2
(ˆ
g
,
g
−
ˆ
g
)
Γ
i
−
Re((
g
−
ˆ
g
)
, R
)
Γ
i
>
0
∀
g
∈
K
2
.
(13)
Прямая задача (5), тождество (11), имеющее смысл сопряженной задачи для сопря-
женного состояния
R
∈
X
, и вариационные неравенства (12), (13) образуют
систему
оптимальности
для задачи управления (9). Она описывает необходимые условия
экстремума для задачи (9). Доказательство приведенных выше теорем см. [15]. В
настоящей момент разрабатывается численный алгоритм решения рассматриваемой
задачи, основанный на использовании построенной системе оптимальности и паке-
та FreeFem++ [16] предназначенного для численного решения дифференциальных
уравнений в частных производных. Анализу сходимости алгоритма и обсуждение
результатов вычислительных экспериментов будет посвящена отдельная статья ав-
тора.
Список литературы
1.
S.A. Cummer, D. Schurig One path to acoustic cloaking // New J. Phys. 2007. V. 9.
P. 45.
2.
Cummer S.A., Popa B.I., Schurig D. et al. Scattering theory derivation of a 3D acoustic
cloaking shell// Phys. Rev. Letters. 2008. V. 100. P. 024301.
3.
Романов В.Г. Обратная задача дифракции для уравнений акустики // Доклады АН.
2010. Т. 431, С. 319-322.
4.
Алексеев Г.В., Романов В.Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболо-
чек для модели анизотропной акустики// Сиб. журн. индустр. матем. 2012. Т. 15,
№ 2. C. 1–6.
5.
Дубинов А.Е., Мытарева Л.А. Маскировка материальных тел методом волнового
обтекания // Успехи физ. наук. 2010. Т. 180, № 5. С. 475–501.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
153
6.
Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Теоретический анализ экстремальных задач гранич-
ного управления для уравнений Максвелла // Сиб. журн индустр. матем. 2011. Т.
14, № 1. С. 3–16.
7.
Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В., Романов В.Г. Оценки устойчивости решений задач
граничного управления для уравнений Максвела при смешанных граничных усло-
виях // Доклады АН. 2012. Т. 447, № 1 . C. 7–12.
8.
Алексеев Г.В. Оптимизация в задачах маскировки материальных тел методом вол-
нового обтекания // Доклады АН. 2013. Т. 449, № 6. C. 1–5.
9.
Alekseev G.V. Cloaking via impedance boundary condition for the 2-D Helmholtz
equation // Applicable Analysis. 2013. DOI:10.1080/00036811.2013.768340.
10.
Beilina L., Klibanov M.V., A globally convergent numerical method for a coefficient
inverse problem // SiAM J. Sci. Comp. 2008. V. 31. P. 478–509.
11.
Beilina L., Klibanov M.V. A new approximate mathematical model for global convergence
for a coefficient inverse problem with backscattering data // J. Inverse Ill-Posed Problems.
2012. V. 20. P. 513–565.
12.
Colton D., Kress R. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory. 2nd Edition.
Springer-Verlag. Berlin. 2013.
13.
Алексеев Г.В. Задачи управления для стационарных уравнений магнитной гидроди-
намики // Доклады АН. 2004. Т. 395, № 3. C. 322–325.
14.
Иоффе А.Д., Тихомиров В.М.
Теория экстремальных задач. М.: Наука.
15.
http://www.freefem.org/.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 519.688
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
МАГНИТНОГО УДЕРЖАНИЯ ПЛАЗМЫ
В ТОКАМАКЕ
Н.В. Малявин
Дальневосточный федеральный университет
Россия, 690091, Владивосток, Октябрьская 27
E-mail:
nikitamalyavin@gmail.com
Ключевые слова:
математическое моделирование, компьютерное моде-
лирование, плазма, токамак, Current hole, метод конечных элементов,
FreeFem++
Рассматриваются стационарная и нестационарная модели магнитного удер-
жания плазмы в токамаке. Исследуются возможности пакета для численно-
го решения дифференциальных уравнений в частных производных на осно-
ве метода конечных элементов FreeFem++. Проведены компьютерное моде-
лирование и визуализация процесса с использованием FreeFem++.
Введение
Перспективы развития энергетики XXI века в настоящее время связывается с
решением проблемы управляемого термоядерного синтеза. Теоретические и практи-
ческие исследования в этой области ведутся с 50-х годов прошлого века. Первые экс-
периментальные результаты с положительным КПД были получены в Китае в 2007
году [1]. Существует несколько подходов к осуществлению управляемого термоядер-
ного синтеза, но наиболее хорошо исследованным и перспективным является синтез
с использованием Токамака. Токамак (тороидальная камера с магнитными катушка-
ми) - тороидальная установка для удержания плазмы с помощью магнитных полей
[2]. Цель данной работы – компьютерное моделирование состояния плазмы в Тока-
маке на основе метода конечных элементов. В качестве моделей, описывающих со-
стояние плазмы, рассматриваются стационарная и нестационарная модели. В каче-
стве стационарной модели взята модель равновесия Соловьёва на основе уравнения
Грэда-Шафранова [3]. Нестационарная модель основана на упрощённой модели маг-
нитной гидродинамики для случая цилиндрической симметрии. В рамках проведён-
ного моделирования исследуется явление, известное в литературе как “Current Hole”
[4]: с течением времени плотность тока в центре полоидального сечения токамака
принимает значения близкие к нулю. Программная реализация метода конечных
элементов осуществляется с помощью открытого пакета FreeFem++ [5]. Изучает-
ся возможность использования параллельных вычислений в пакете FreeFem++ при
численной реализации изучаемых задач.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.