ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2127
Скачиваний: 4
25
решения поставленной задачи локации, например, с помощью индикатора неодно-
родности (3) для заданного направления проектирования
ω
P
= (0
,
0
,
1)
мы найдем
границу
∂D
3
множества
D
3
и, таким образом, сможем утверждать, что область
G
3
находится внутри цилиндра
C
P
с образующей, которая перемещается вдоль на-
правляющей
∂D
3
параллельно вектору
ω
P
= (0
,
0
,
1)
. Тем самым, горизонтальные
координаты области
G
3
в известном смысле можно считать найденными. Однако,
сказать на каком расстоянии от плоскости
P
находится
G
3
по полученной инфор-
мации о местоположении границы
∂D
3
мы не можем. Выберем теперь единичный
вектор
ω
Q
так, чтобы он был не коллинеарен вектору
ω
P
и плоскость
Q
−
ортого-
нальную вектору
ω
Q
. В предположениях аналогичных тем, которые делались для
плоскости
P
, можно построить индикатор неоднородности
I
(
r
) =
|∇
∗
r
f
(
r, ω
Q
)
|
, с его
помощью найти границу проекции области
G
3
на плоскость
Q
и далее построить
цилиндр
C
Q
с образующей, параллельной вектору
ω
Q
. Нетрудно видеть, что пересе-
чение
C
P
∩
C
Q
будет содержать область
G
3
и при подходящем выборе угла между
ω
P
и
ω
Q
даст достаточно хорошее представление о пространственном положении
области
G
3
в
R
3
.
2.
Численные эксперименты
Продемонстрируем выполнение алгоритма на следующем численном экспери-
менте, применительно к пассивному радиационному поиску придонных включений.
Для большей наглядности в подобласть
G
2
было помещено еще одно включение -
выпуклая ограниченная область
G
4
не пересекающаяся с включением
G
3
. Таким
образом, область
G
была шаром радиуса
σ
= 30
см с центром в начале коорди-
нат. Подобласть
G
1
=
{
r
∈
G
:
r
3
>
−
0
.
1
σ
}
и заполнялась водой,
G
2
=
{
r
∈
G
:
r
3
6
−
0
.
1
σ
}
и заполнялась илом,
G
3
был шар радиусом
0
.
05
σ
с центром в
точке
(
−
0
.
05
σ,
−
0
.
05
σ,
−
0
.
4
σ
)
, а
G
4
был трехосный эллипсоид с центром в точке
(0
,
0
,
−
0
.
15
σ
)
и полуосями
l
1
= 0
.
1
σ, l
2
= 0
.
15
σ, l
3
= 0
.
05
σ
.
G
3
и
G
4
заполня-
лись алюминием. На поверхности области
G
задавалось входящее в нее излучение
h
(
r, ω
) = 1
, которое в нашем случае можно интерпретировать как радиационный
фон. Предполагается, что пассивное зондирование океана происходит на энергии
100
кЭв. Соответствующие данные для коэффициентов ослабления и рассеяния на
этой энергии для воды, ила и алюминия вычислялись на основе данных из таблиц
[5]. Для удобства численных расчетов в качестве
D
0
брался квадрат со стороной
0
.
6
σ
. Он покрывался равномерной сеткой, содержащей
N
r
×
N
r
узлов, в которых
численно находилось решение уравнения (1) для трех различных направлений век-
тора
ω
:
ω
1
= (0
,
0
,
1)
,
ω
2
= (0
.
5
,
0
,
√
3
/
2)
,
ω
3
= (
√
2
/
2
,
0
,
√
2
/
2)
. Таким образом,
ω
i
образовывали с осью
r
1
углы
ϕ
i
в 90, 60 и 45 градусов соответственно. Квадрат
D
0
каждый раз позиционировался таким образом, что всегда был ортогонален
ω
i
,
а его центр лежал в плоскости
r
3
= 0
. Мы полагали
J
(
r, ω
) = 0
в области G. Для
нахождения решения уравнения (1) на множестве
D
0
×
ω
i
использовалась одна из
версий метода Монте-Карло, называемая методом сопряженных блужданий. Число
учитываемых актов рассеяния при этом бралось 8, а число траекторий 50000. По-
сле нахождения функции
f
(
r, ω
i
)
в узлах сетки вычислялась также функция
I
(
r
)
,
определяемая формулой (3). Величина
N
r
в расчетах равнялась
101
. Результаты
вычисления функции
f
(
r, ω
i
)
и
I
(
r
)
представлены в графическом виде на рис. 1.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
26
(a)
(b)
(c)
(d)
Рис. 1.
Результаты численного эксперимента:
(a)
– значения функции
f
(
r, ω
1
)
в узлах сетки, покрывающей квадрат
D
0
(прямая видимость);
(b)
– значения индикатора
I
(
r
)
при
ϕ
= 90
◦
;
(c)
– значения индикатора
I
(
r
)
при
ϕ
= 60
◦
;
(d)
– значения индикатора
I
(
r
)
при
ϕ
= 45
◦
;
Из рисунков видно, что с уменьшением угла
ϕ
i
качество реконструкции границ
включений ухудшается. Это происходит потому что с уменьшением
ϕ
i
увеличивает-
ся расстояние от включений
G
3
, G
4
до квадрата
D
0
. В целом, предлагаемый метод
локации годится лишь для сред сравнительно небольшой оптической толщины.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты №№ 13-07-00318-а, 12-07-00689-a,
12-07-000550-a, 12-07-00302-а, 11-08-00641-а), Президиума РАН (проект 4.3 Програм-
мы № 15), ОНИТ РАН (проект 2.3 текущей Программы фундаментальных научных
исследований).
Список литературы
1.
Аниконов Д.С., Ковтанюк А.Е., Прохоров И.В. Использование уравнения переноса
в томографии. Москва. Логос. 2000. С. 3-223.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
27
2.
Anikonov D.S., Nazarov V.G., Prokhorov I.V. Algorithm of finding a body projection
within an absorbing and scattering medium. // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems.
2011. Volume 18, Issue 8, P. 885-893.
3.
Аниконов Д.С., Назаров В.Г., Прохоров И.В. Задача одноракурсного зондирования
неизвестной среды. // Сиб. журн. индустр. матем. 2011. Т.14. №2(46). С. 9-16.
4.
Аниконов Д.С., Назаров В.Г, Задача двуракурсной томографии. // ЖВМиМФ. 2012.
Т.52, №3. С. 372-378.
5.
Hubbell J.H., Seltzer S.M. Tables of X-ray mass attenuation coefficients and mass energy-
absorption coefficients 1Kev to 20 Mev for elements Z = 1 to 92 and 48 addslional
substances of dosimetric interest. // NISTIR, 5632, 1995.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 519.685
ДЕКЛАРАТИВНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
МЕТОДОВ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ И ПОИСК ПРИМЕНИМОГО
МЕТОДА
И.Л. Артемьева
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
aginor@inbox.ru
Р.А. Ескин
Дальневосточный федеральный университет
Россия, 690091, Владивосток, Суханова, 8
E-mail:
iartemeva@mail.ru
Ключевые слова:
параллельные вычисления, MPI, OpenCL, численное
моделирование
В работе рассматривается декларативное представление методов числен-
ного решения задач математического моделирования и алгоритм поиска
применимого метода решения по данному декларативному представлению.
Предлагаемый подход декларативного описания метода решения использу-
ется в программной системе численного моделирования для параллельных
вычислительных систем с расширяемым множеством методов решения.
Введение
Моделирование в современном мире применяется для широкого круга задач. На
математической модели основывается компьютерная модель, представляющая фи-
зический процесс. Компьютерное моделирование реальных процессов требует боль-
шого объема вычислений, таким образом, проблема ускорения вычисления является
актуальной[1]. Использование параллельных вычислений является единственным
способом повышения мощности вычислительной системы. В работе [2] предложе-
на концепция системы численного моделирования для параллельных вычислитель-
ных систем с расширяемым множеством методов решения. Ядром системы является
языковой транслятор, переводящий высокоуровневую модель в код на языке про-
граммирования низкого уровня для параллельной вычислительной системы. Про-
цесс трансляции осуществляется в три этапа: лексический и синтаксический анализ
модели; анализ задачи; генерация низкоуровневого кода для параллельной вычис-
лительной системы.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
29
Декларативное представление метода
численного решения задачи
На этапе анализа происходит переход от спецификации задачи к численной схе-
ме решения задачи. Для сопоставления задаче метода ее решения применяется ме-
ханизм преобразований. Преобразование – это декларативное представление метода
решения задачи. Задача преобразования – поставить в соответствие задаче наиболее
эффективный метод её решения. Преобразование состоит из контекстного условия
и набора трансформаций (к одной задаче может быть применим более чем один
метод решения, каждому методу соответствует своя трансформация). Контекстное
условие представляет собой схему задачи. Трансформация представляет собой схе-
му решения задачи. КУ состоит из шаблона задачи и дополнительных условий.
Шаблон задачи определяет общую структуру задачи, к которой может быть приме-
нено данное преобразование. Шаблон задачи задается в виде непустого множества
формул. Применимость метода решения не всегда следует только из структуры за-
дачи – может потребоваться дополнительный анализ свойств задачи. Поэтому круг
решаемых задач ограничивают также дополнительные условия. Дополнительные
условия задаются в виде множества формул, истинность их конъюнкции вкупе с
соответствием шаблона задачи обуславливает применимость преобразования. Зада-
ние трансформации состоит в задании функции эффективности трансформации и
схемы решения. Результатом функции эффективности является вещественное поло-
жительное число; результат зависит от свойств решаемой задачи. Функция эффек-
тивности используется для выбора трансформации из набора – чем больше значение
функции для конкретной задачи, тем эффективней связанная с ней схема. Схема
решения представляет собой запись численной схемы решения задачи на абстракт-
ном языке параллельного программирования, который с одной стороны, является
достаточно простым, чтобы обеспечить эффективную трансляция на любой язык
программирования для параллельной вычислительной системы, и, с другой сторо-
ны, обеспечивает достаточный набор средств для выражения любой параллельной
численной схемы. Множество абстрактных имен функции эффективности и схемы
решения должно быть подмножеством абстрактных имен контекстного условия для
обеспечения применимости интерпретации контекстного условия к трансформации.
Расширяемое множество методов решения в системе обеспечивается за счет наличия
банка преобразований. Во время этапа анализа задачи происходит поиск и интерпре-
тация применимого преобразования из банка преобразований, то есть выбор приме-
нимого преобразования и составление численной схемы решения из преобразования
и спецификации задачи.
Поиск применимого метода решения
Выбор применимого преобразования из банка преобразований является задачей
перебора – контекстное условие каждого преобразования из банка должно быть ин-
терпретировано и сравнено со спецификацией задачи. Если сравнение после интер-
претации успешно, тогда преобразование применимо. Интерпретация и сравнение
производятся с использованием помеченных деревьев разбора спецификации зада-
чи и контекстного условия. Разметка дерева содержит информацию о зависимостях
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.