ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2135
Скачиваний: 4
210
1.
Прямая задача
1.1.
Постановка краевой задачи
Пусть
Ω
⊂
R
2
— ограниченная односвязная область с липшицевой границей
Γ
,
Ω
c
≡
R
2
\
Ω
,
n
— нормальный вектор, ориентированный наружу, определённый почти
всюду на
Γ
. Хорошо известно, что двумерная прямая задача рассеяния акустических
волн описывается двумерным уравнением Гельмгольца
4
u
+
k
2
u
= 0
в
Ω
c
,
(1)
в данном случае с импедансным граничным условием, моделирующим покрытие
границы области специальными материалами:
∂u
∂n
+
ikλu
= 0
на
Γ
.
(2)
Здесь
u
=
u
inc
+
u
s
, где
u
inc
— падающая волна,
u
s
— рассеянная препятствием
Ω
волна,
λ
— поверхностный импеданс границы
Γ
,
k
— положительное волновое
число. Кроме того, рассеянная волна
u
s
должна удовлетворять условию излучения
Зоммерфельда на бесконечности
lim
r
→∞
√
r
(
∂u
s
∂r
−
iku
s
) = 0
.
(3)
Прямая задача рассеяния (1)–(3) сформулирована и исследована в [7], где доказана
единственность решения в случае
λ
=
const
>
0
. Эта задача рассматривается в
неограниченной области, поэтому она непригодна для численного решения. Далее
будет показано, что эту задачу можно свести к эквивалентной задаче в ограниченной
области.
1.2.
Функциональные пространства
Введём некоторые функциональные пространства, которые будут использовать-
ся в дальнейшем. Введём круг
B
R
радиуса
R
, содержащий
Ω
, положим
Ω
e
= Ω
c
∩
B
R
.
Ω
e
— ограниченная область в
R
2
с границей
∂
Ω
e
= Γ
∪
Γ
R
, где
Γ
R
=
∂B
R
. Будем ис-
пользовать обычное пространство Соболева
H
1
(Ω
e
)
, состоящее из комплекснознач-
ных или вещественнозначных скалярных функций, заданных в
Ω
e
, и пространства
следов,
H
1
/
2
(
∂
Ω
e
)
и
H
1
/
2
(Γ
0
)
, где
Γ
0
— часть
∂
Ω
e
. Помимо
H
1
/
2
(Γ
0
)
будем исполь-
зовать его подпространство
H
1
/
2
0
(Γ
0
)
, состоящее из таких и только таких функ-
ций
v
∈
H
1
/
2
(Γ
0
)
, продолжение нулем
˜
v
которых на всю границу
∂
Ω
e
принадле-
жит
H
1
/
2
(
∂
Ω
e
)
. Обозначим через
H
−
1
/
2
(Γ
0
)
пространство
H
1
/
2
0
(Γ
0
)
∗
, сопряжённое
к
H
1
/
2
0
(Γ
0
)
. Нормы в пространствах
H
1
(Ω
e
)
,
H
1
/
2
(Γ
0
)
и
H
−
1
/
2
(Γ
0
)
обозначим че-
рез
k · k
1
,
Ω
e
,
k · k
1
/
2
,
Γ
0
и
k · k
−
1
/
2
,
Γ
0
. Пусть
Q
— произвольное подмножество в
Ω
e
.
Скалярные произведения и нормы в
L
2
(
Q
)
будем обозначать через
(
·
,
·
)
Q
и
k · k
Q
соответственно. В случае
Q
= Ω
e
полагаем
k · k
Ω
e
=
k · k
,
(
·
,
·
)
Ω
e
= (
·
,
·
)
. Скалярные
произведения и нормы в
L
2
(Γ
0
)
обозначим через
(
·
,
·
)
Γ
0
и
k · k
Γ
0
. Положим
L
∞
λ
0
(Γ) =
{
λ
∈
L
∞
(Γ) :
λ
(
x
)
>
λ
0
на
Γ
}
,
H
s
λ
0
(Γ) =
{
λ
∈
H
s
(Γ) :
λ
(
x
)
>
λ
0
на
Γ
}
. Определим
следующее подпространство
H
1
(Ω
e
)
:
H
1
(∆
,
Ω
e
) =
{
v
:
v
∈
H
1
(Ω
e
)
,
∆
v
∈
L
2
(Ω
e
)
}
,
наделённое нормой
k
v
k
2
H
1
(∆
,
Ω
e
)
=
k
v
k
2
1
,
Ω
e
+
k
∆
v
k
2
.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
211
Известно [6], что для любой функции
u
∈
H
1
(∆
,
Ω
e
)
существует первый след
γ
1
u
:=
∂u/∂n
|
∂
Ω
e
∈
H
−
1
/
2
(
∂
Ω
e
)
и сужение первого следа
∂u/∂n
|
Γ
R
∈
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
. Для опи-
сания падающих полей введём пространство
H
inc
=
H
inc
(Ω
e
) :=
{
v
∈
H
1
(Ω
e
) : ∆
v
+
k
2
v
= 0
в смысле распределений
}
.
Ясно, что
H
inc
⊂
H
1
(∆
,
Ω
e
)
. Поэтому для любого падающего поля
u
inc
∈ H
inc
существуют следы (нормальные компоненты)
∂u
inc
/∂n
и
∂u
inc
/∂n
|
Γ
R
. Более того,
из теорем о следах следует, что выполнены следующие оценки:
k
v
k
Γ
6
C
1
k
v
k
H
1
(Ω
e
)
,
k
v
k
1
/
2
,
Γ
R
6
C
1
k
v
k
H
1
(Ω
e
)
∀
v
∈
H
1
(Ω
e
)
,
k
∂v
∂n
k
−
1
/
2
,
Γ
R
6
C
1
k
v
k
H
1
(Ω
e
)
∀
v
∈ H
inc
.
(4)
Здесь и далее
C
1
, C
2
,
... обозначают константы, зависящие от
Ω
, R
и, может быть,
k
1.3.
Задача в ограниченной области
Известно [7, 8], что задача (1)–(3) может быть сведена к эквивалентной за-
даче, но рассматриваемой уже в ограниченной области
Ω
e
= Ω
c
∩
B
R
. С этой
целью вводится отображение Дирихле-Неймана
T
:
H
1
/
2
(Γ
R
)
→
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
. По
определению оператор
T
отображает любую функцию
h
∈
H
1
/
2
(Γ
R
)
в функцию
∂
˜
u/∂n
∈
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
, где
˜
u
решение внешней задачи Дирихле для оператора Гельм-
гольца
∆˜
u
+
k
2
˜
u
= 0
в
Ω
c
\
B
R
во внешности
B
R
с условием
˜
u
|
Γ
R
=
h
. Хорошо извест-
но, что
T
∈ L
(
H
1
/
2
(Γ
R
)
, H
−
1
/
2
(Γ
R
))
, причём
k
T
k
=
k
T
k
L
(
H
1
/
2
(Γ
R
)
,H
−
1
/
2
(Γ
R
))
6
C
2
Более того, существует оператор
T
0
∈ L
(
H
1
/
2
(Γ
R
)
, H
−
1
/
2
(Γ
R
))
, такой что
T
−
T
0
яв-
ляется компактным оператором, действующим из
H
1
/
2
(Γ
R
)
в
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
,
k
T
0
k
6
C
0
2
и
h
T
0
v, v
i
Γ
R
6
0
для любого
v
∈
H
1
/
2
(Γ
R
)
. Задача (1)–(3), рассматриваемая в неогра-
ниченной области, эквивалентна задаче (1), (2), рассматриваемой в ограниченной
области
Ω
e
при следующем граничном условии для рассеянного поля
u
s
на
Γ
R
:
∂u
s
/∂n
=
T u
s
на
Γ
R
.
(5)
Будем ссылаться на задачу (1), (2), (5) как на задачу 1.
1.4.
Вариационная формулировка
Пусть
u
inc
∈ H
inc
. Умножим уравнение (1) на функцию
φ
где
φ
∈
H
1
(Ω
e
)
,
проинтегрируем по
Ω
e
и применим формулу Грина. Будем иметь
Z
Ω
e
(
∇
u
· ∇
φ
−
k
2
uφ
)
dx
=
Z
Γ
∂u
∂n
φdσ
+
Z
Γ
R
∂u
∂n
φdσ
∀
φ
∈
H
1
(Ω
e
)
(6)
где
φ
обозначает комплексно сопряжённую к
φ
функцию. Используя граничное усло-
вие (2), соотношение
u
=
u
i
+
u
s
и (5) имеем
Z
Γ
∂u
∂n
φdσ
=
−
ik
Z
Γ
uφdσ,
Z
Γ
R
∂u
∂n
φdσ
=
Z
Γ
R
T uφdσ
−
Z
Γ
R
T u
inc
φdσ
+
Z
Γ
R
∂u
inc
∂n
φdσ.
(7)
Здесь и далее интегралы по
Γ
R
обозначают отношение двойственности между про-
странствами
H
1
/
2
(Γ
R
)
и
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
. Учитывая (7) перепишем (6) в виде
a
λ
(
u, φ
) =
h
f, φ
i ∀
φ
∈
H
1
(Ω
e
)
,
h
f, φ
i
=
−
Z
Γ
R
T u
inc
φdσ
+
Z
Γ
R
∂u
inc
∂n
φdσ.
(8)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
212
Здесь
a
λ
(
u, φ
) :=
a
0
(
u, φ
) +
ik
(
λu, φ
)
Γ
где
a
λ
(
·
,
·
)
и
(
λ
·
,
·
) :
H
1
(Ω
e
)
×
H
1
(Ω
e
)
→
C
полуторалинейные формы, где
a
0
(
u, φ
) :=
Z
Ω
e
∇
u
· ∇
φdσ
−
k
2
Z
Ω
e
uφdσ
−
Z
Γ
R
T uφdσ,
(
λu, φ
)
Γ
:=
Z
Γ
λuφdσ.
(9)
Назовём решение
u
∈
H
1
(Ω
e
)
задачи (8) слабым решением задачи 1. Пусть
λ
∈
L
∞
λ
0
(Γ)
,
λ
0
>
0
. Используя классические теоремы о следах, теоремы вложения и (4),
имеем
|h
f, φ
i|
6
(
k
T
kk
u
inc
k
1
/
2
,
Γ
R
+
k
∂u
inc
∂n
k
−
1
/
2
,
Γ
R
)
k
φ
k
1
/
2
,
Γ
R
6
6
C
3
k
u
inc
k
1
,
Ω
e
k
φ
k
H
1
(Ω
e
)
∀
φ
∈
H
1
(Ω
e
)
,
|
a
0
(
u, φ
)
|
6
(1 +
k
2
)
k
u
k
H
1
(Ω
e
)
k
φ
k
H
1
(Ω
e
)
+
k
T
kk
u
k
1
/
2
,
Γ
R
k
φ
k
1
/
2
,
Γ
R
6
6
C
4
k
u
k
H
1
(Ω
e
)
k
φ
k
H
1
(Ω
e
)
∀
φ
∈
H
1
(Ω
e
)
,
|
k
(
λu, φ
)
Γ
|
6
C
4
k
λ
k
L
∞
(Γ)
k
u
k
H
1
(Ω
e
)
k
φ
k
H
1
(Ω
e
)
∀
u
∈
H
1
(Ω
e
)
, φ
∈
H
1
(Ω
e
)
.
(10)
Из этих оценок следует, что формы
f
and
a
λ
непрерывны на
H
1
(Ω
e
)
и
k
f
k
H
1
(Ω
e
)
∗
6
C
3
k
u
inc
k
1
,
Ω
,
k
a
λ
k
:=
k
a
λ
k
L
(
H
1
(Ω
e
)
,H
1
(Ω
e
)
∗
)
6
C
4
(1 +
k
λ
k
L
∞
(Γ)
)
(11)
где
H
1
(Ω
e
)
∗
— сопряжённое к
H
1
(Ω
e
)
пространство. Отметим, что полуторалиней-
ная форма
a
λ
определяет линейный оператор
A
λ
:
H
1
(Ω
e
)
→
H
1
(Ω
e
)
∗
, действующий
по формуле
h
A
λ
u, φ
i
:=
a
λ
(
u, φ
)
∀
u
∈
H
1
(Ω
e
)
, φ
∈
H
1
(Ω
e
)
(12)
и вариационная формулировка (8) для
u
∈
H
1
(Ω
e
)
эквивалентна операторному урав-
нению
A
λ
u
=
f, f
∈
H
1
(Ω
e
)
∗
.
(13)
Основываясь на свойствах формы
a
λ
и оценках (11), можно показать, что к задаче
(8) применима альтернатива Фредгольма, и что оператор
A
λ
, определённый в (12),
является изоморфизмом. Положим
˜
C
λ
=
k
A
−
1
λ
k
, где
A
−
1
λ
:
H
1
(Ω
e
)
∗
→
H
1
(Ω
e
)
–
обратный оператор для
A
λ
. Тогда из (11) следует
Теорема 1.
Пусть
λ
∈
L
∞
λ
0
(Γ)
,
λ
0
>
0
. Тогда: (1) оператор
A
λ
:
H
1
(Ω
e
)
→
H
1
(Ω
e
)
∗
,
определённый в (12), является изоморфизмом; (2) для любого падающего поля
u
inc
∈
H
inc
задача (8) имеет единственное решение
u
∈
H
1
(Ω
e
)
, которое удовлетворяет
оценке
k
u
k
H
1
(Ω
e
)
6
C
λ
k
u
inc
k
1
,
Ω
e
,
C
λ
=
C
3
˜
C
λ
.
2.
Задача управления
2.1.
Постановка и разрешимость задачи управления
Сформулируем теперь задачу управления. Роль управления в данной задаче
играет импеданс
λ
, изменяющийся в некотором множестве
K
, а в качестве функ-
ционала стоимости, который нужно минимизировать, будем использовать один из
следующих:
I
1
(
u
) =
Z
Q
|
u
−
u
d
|
2
dx, I
2
(
u
) =
Z
Γ
r
|
u
−
u
d
|
2
dσ.
(14)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
213
Здесь и ниже
Q
⊂
Ω
e
– произвольная подобласть,
Γ
r
– граница круга
B
r
радиуса
r < R
, такого, что
Ω
⊂
B
r
. Предположим, что выполняются условия: (j)
Γ
∈
C
1
,
1
;
µ
0
>
0
;
u
inc
∈ H
inc
;
K
⊂
H
s
λ
0
(Γ)
– непустое выпуклое замкнутое множество, где
s >
1
/
2
,
λ
0
>
0
. Отметим, что при
s >
1
/
2
(если
Γ
∈
C
1
,
1
) имеет место непрерывное
компактное вложение
H
s
(Γ)
⊂
L
∞
(Γ)
. Это влечёт за собой следующие оценки:
k
λ
k
L
∞
(Γ)
6
C
s
k
λ
k
s,
Γ
∀
λ
∈
H
s
(Γ)
,
k
λ
k
s,
Γ
:=
k
λ
k
H
s
(Γ)
.
(15)
Здесь константа
C
s
зависит от
s >
1
/
2
и
Ω
. Введём оператор
G
:
H
1
(Ω
e
)
×
K
×H
inc
→
H
1
(Ω
e
)
∗
формулой
h
G
(
u, λ, u
inc
)
, φ
i
=
a
λ
(
u, φ
)
− h
f, φ
i
и перепишем слабую форму-
лировку (8) задачи 1 в виде уравнения
G
(
u, λ, u
inc
) = 0
. Рассмотрим следующую
задачу условной минимизации:
J
(
u, λ
) =
µ
0
2
I
(
u
) +
µ
1
2
k
λ
k
2
s,
Γ
→
inf
, G
(
u, λ, u
inc
) = 0
,
(
u, λ
)
∈
H
1
(Ω
e
)
×
K.
(16)
Здесь
I
:
H
1
(Ω
e
)
→
R
слабо полунепрерывный снизу функционал стоимости,
µ
0
, µ
1
– неотрицательные параметры, служащие для регулирования относительной важ-
ности каждого из слагаемых. Введём множество
Z
ad
=
{
(
u, λ
)
∈
H
1
(Ω
e
)
×
K
:
G
(
u, λ, u
inc
) = 0
, J
(
u, λ
)
<
∞}
– допустимое множество пар для (16). Справедлива следующая теорема существо-
вания решения задачи (16).
Теорема 2.
Пусть выполнены условия (j),
I
:
H
1
(Ω
e
)
→
R
– слабо полунепрерыв-
ный снизу функционал и
Z
ad
– непустое множество. Также пуcть
µ
1
>
0
и
K
– ограниченное множество, либо
µ
1
>
0
и функционал
I
ограничен снизу. Тогда
задача (16) имеет по крайней мере одно решение
(
u, λ
)
∈
H
1
(Ω
e
)
×
K
.
Отметим, что теорема 2 верна для обоих функционалов
I
1
и
I
2
, так как они
являются слабо полунепрерывными снизу. Более того,
Z
ad
непусто для каждого
из них в силу условий (j) и теоремы 1. Таким образом, имеет место следующий
результат.
Теорема 3.
Пусть выполнены условия (j),
µ
1
>
0
или
µ
1
>
0
и
K
– ограниченное
множество. Тогда задача управления (16) имеет по меньшей мере одно решение
(
u, λ
)
∈
H
1
(Ω
e
)
×
K
для
I
=
I
j
,
j
= 1
,
2
.
2.2.
Система оптимальности
Следующий этап исследования задачи управления (16) заключается в выводе
системы оптимальности, описывающей необходимые условия экстремума. Он осу-
ществляется по схеме, описанной в [10] и приводит к следующей теореме.
Теорема 4.
Пусть при выполнении условий (j) пара
(ˆ
u,
ˆ
λ
)
∈
H
1
(Ω
e
)
×
K
является
решением задачи (16), где
I
=
I
j
(
u
)
, j
= 1
,
2
. Тогда существует единственный
ненулевой множитель Лагранжа
p
∈
H
1
(Ω
e
)
, который удовлетворяет уравнению
Эйлера-Лагранжа
a
0
(
φ, p
) +
ik
(ˆ
λφ, p
)
Γ
=
−
(
µ
0
/
2)
h
I
0
u
(ˆ
u
)
, φ
i ∀
φ
∈
H
1
(Ω
e
)
(17)
и вариационному неравенству:
µ
1
(ˆ
λ, λ
−
ˆ
λ
)
s,
Γ
+Re[
ik
((
λ
−
ˆ
λ
)ˆ
u, p
)
Γ
]
>
0
∀
λ
∈
H
1
(Ω
e
)
.
(18)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
214
Заключение
В работе рассмотрена задача управления для уравнения Гельмгольца в двумер-
ном случае с импедансным граничным условием на границе рассматриваемой обла-
сти, заключающаяся в нахождении такого поверхностного импеданса, при котором
поле, рассеяное препятствием, минимально. Доказана теорема существования реше-
ния этой задачи управления, выведена система оптимальности. В дальнейшем пла-
нируется исследовать единственность и устойчивость решений задачи управления,
построить численный алгоритм решения этой задачи, исследовать его сходимость и
провести численные эксперименты.
Список литературы
1.
Алексеев Г.В., Романов В.Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболо-
чек для модели анизотропной акустики // Сиб. журн. индустр. матем. 2011. Т. 14,
№ 2. C. 1–6.
2.
Cummer S.A., Popa B.I., Schurig D. et al. Scattering theory derivation of a 3D acoustic
cloaking shell // Phys. Rev. Letters. 2008. V. 100, P. 024301.
3.
Дубинов А.Е., Мытарева Л.А. Маскировка материальных тел методом волнового
обтекания // Успехи физ. наук. 2010. Т. 180, № 5. С. 475–501.
4.
Бобровницкий Ю.И. Научные основы акустического стелса // ДАН. 2012. Т. 442, №
1. С. 41–44.
5.
Бобровницкий Ю.И., Морозов К.Д., Томилина Т.М. Периодическая поверхностная
структура с экстремальными акустическими свойствами // Акустический журнал.
2010. Т.56. №2. С.147-151.
6.
V. Girault and P.A. Raviart. Finite element methods for Navier-Stokes equations. Theory
and algorithms. Springer-Verlag, Berlin, 1986.
7.
Алексеев Г.В. Оптимизация в задачах маскировки материальных тел методом вол-
нового обтекания // ДАН. 2013. Т. 449, №6, С. 1-5.
8.
Alekseev G.V. Cloaking via impedance boundary condition for the 2-D Helmholtz
equation // Applicable Analysis, 2013
9.
D. Colton and R. Kress. Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Springer-
Verlag, Berlin, 1998. Мир, 1983. С. 177-277.
10.
Алексеев Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнит-
ной гидродинамики, Научный мир, Москва, 2010
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.