ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2138
Скачиваний: 4
205
3.
Обратная задача
Предположим, что в задаче (1) кроме концентрации
ϕ
также неизвестны коэф-
фициент диффузии
λ
и граничная функция
ψ
, и их требуется определелить вместе
с решением
ϕ
, используя заданные значения
ϕ
d
концентрации
ϕ
в некоторой под-
области
Q
⊂
Ω
. Для исследования данной обратной задачи мы применим оптими-
зационный метод, в соответствии с которым указанная задача сводится к решению
соответствующей задачи управления. Следуя данному методу, разобъем множество
исходных данных задачи (1) на две группы: группу фиксированных данных, куда
внесем неизменяемые функции
k
и
f
, и группу двух распределенных управлений, ку-
да внесем функции
λ
и
ψ
. Предположим, что управления
λ
и
ψ
могут изменяться во
множествах
K
1
и
K
2
, удовлетворяющих условиям (j)
K
1
⊂
H
s
λ
0
(Ω)
,
λ
0
>
0
,
s > d/
2
,
K
2
⊂
H
1
/
2
(Γ)
– непустые выпуклые замкнутые множества. Полагая
K
=
K
1
×
K
2
,
u
= (
λ, ψ
)
, введем оператор
F
= (
F
1
, F
2
) :
H
1
(Ω)
×
K
×
L
2
(Ω)
→
Y
≡ T
∗
×
H
1
/
2
(Γ)
,
действующий по формулам
h
F
1
(
ϕ, λ
)
, h
i
=
h
A
λ
ϕ, h
i −
(
f, h
)
≡
a
λ
(
ϕ, h
)
−
(
f, h
)
∀
h
∈ T
, F
2
(
ϕ, ψ
) =
ϕ
|
Γ
−
ψ.
(4)
Пусть
I
:
X
→
R
– слабо полунепрерывный снизу функционал качества,
µ
0
,
µ
1
,
µ
2
– неотрицательные параметры. Рассмотрим следующую экстремальную задачу:
J
(
ϕ, u
)
≡
µ
0
2
I
(
ϕ
)+
µ
1
2
k
λ
k
2
s
+
µ
2
2
k
ψ
k
2
1
/
2
,
Γ
→
inf
, F
(
ϕ, u
) = 0
,
(
ϕ, u
)
∈
H
1
(Ω)
×
K.
(5)
В качестве функционала качества будем использовать следующий слабо полунепре-
рывный снизу функционал (см. например, [3])
I
1
(
ϕ
) =
k
ϕ
−
ϕ
d
k
2
Q
=
Z
Q
|
ϕ
−
ϕ
d
|
2
d
x
≡
Z
Ω
r
(
ϕ
−
˜
ϕ
d
)
2
d
x
.
(6)
Здесь
ϕ
d
∈
L
2
(
Q
)
– заданная в
Q
функция,
r
=
χ
Q
– характеристическая функция
множества
Q
,
˜
ϕ
d
∈
L
2
(Ω)
– функция, равная
ϕ
d
в
Q
и
0
вне
Q
. Введем множество
Z
ad
=
{
(
ϕ, u
)
∈
X
×
K
:
F
(
ϕ, u
) = 0
, J
(
ϕ, u
)
<
∞}
допустимых пар
(
ϕ, u
)
для задачи
(7). Предположим в дополнение к
(
j
)
, что выполняется условие (jj)
µ
0
>
0
,
µ
1
>
0
,
µ
2
>
0
и
K
1
,
K
2
– ограниченные множества либо
µ
l
>
0
,
l
= 0
,
1
,
2
, и функционал
I
ограничен снизу.
Теорема 2.
Пусть
I
:
X
→
R
– слабо полунепрерывный снизу функционал каче-
ства и выполняются условия (i), (ii), (j), (jj), причем множество
Z
ad
не пусто.
Тогда задача (7) имеет по крайней мере одно решение
(
ϕ, u
)
∈
H
1
(Ω)
×
K
.
Теорема 3.
Пусть при выполнении условий (i), (ii), (j),
µ
0
>
0
,
µ
l
>
0
либо
µ
0
>
0
,
µ
l
>
0
и
K
l
– ограниченные множества,
l
= 1
,
2
. Тогда задача (7) при
I
=
I
1
, имеет
по крайней мере одно решение
(
ϕ, u
)
∈
X
×
K
.
Выведем необходимые условия оптимальности для задачи (7). Для этого вос-
пользуемся экстремальным принципом в гладко-выпуклых экстремальных задачах
[12]. Обозначим через
Y
∗
=
T ×
H
−
1
/
2
(Γ)
, где
H
−
1
/
2
(Γ) =
H
1
/
2
(Γ)
∗
, двойственное
пространство к пространству
Y
=
T
∗
×
H
1
/
2
(Γ)
. В соответствии с общей теорией
экстремальных задач [12] введем в рассмотрение множитель Лагранжа
y
∗
= (
η, ζ
)
∈
Y
∗
, где элемент
η
∈ T
имеет смысл “сопряженной” концентрации, и лагранжиан
L
:
H
1
(Ω)
×
K
×
H
1
/
2
(Γ)
×
Y
∗
→
R
формулой
L
(
ϕ, u, y
∗
)
≡
J
(
ϕ, u
) +
h
y
∗
, F
(
ϕ, u, ψ
)
i
Y
∗
×
Y
≡
(7)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
206
≡
(
µ
0
/
2)
I
(
ϕ
) + (
µ
1
/
2)
k
λ
k
2
s
+ (
µ
2
/
2)
k
ψ
k
2
1
/
2
,
Γ
+
h
F
1
(
ϕ, λ
)
, η
i
T
∗
×T
+
h
ζ, F
2
(
ϕ, ψ
)
i
Γ
.
Из линейности оператора
F
по
λ
и
ψ
и из выпуклости множества
K
вытекает, что
множество
F
(
ϕ, K
) =
{
y
=
F
(
ϕ, u
)
∈
Y, u
∈
K
}
является выпуклым подмножеством
в
Y
для любой функций
ϕ
∈
X
. Кроме того, производная Фреше
F
0
ϕ
( ˆ
ϕ,
ˆ
u
)
в каждой
точке
( ˆ
ϕ,
ˆ
u
)
∈
H
1
(Ω)
×
K
×
H
1
/
2
(Γ)
, где
ˆ
u
= (ˆ
λ,
ˆ
ψ
)
, имеет вид
F
0
ϕ
( ˆ
ϕ,
ˆ
u
) = (
F
0
1
ϕ
( ˆ
ϕ,
ˆ
λ
)
, F
0
2
ϕ
( ˆ
ϕ,
ˆ
ψ
)) = ( ˆ
A, γ
)
,
ˆ
A
= (ˆ
λ
∇
ϕ,
∇
h
) + (
kϕ, h
)
.
(8)
Так как оператор (8) является изоморфизмом в силу теоремы 2, то из [12, с. 79]
вытекает следующий результат.
Теорема 4.
Пусть при выполнении условий теоремы 3 пара
( ˆ
ϕ,
ˆ
u
)
∈
H
1
(Ω)
×
K
является элементом, на котором достигается локальный минимум в задаче (7),
и пусть функционал
I
(
·
) :
X
→
R
непрерывно дифференцируем по
ϕ
в точке
ˆ
ϕ
. То-
гда существует единственный множитель Лагранжа
y
∗
= (
η, ζ
)
∈ T ×
H
−
1
/
2
(Γ)
такой что справедливо уравнение Эйлера-Лагранжа
L
0
ϕ
( ˆ
ϕ,
ˆ
u, y
∗
) = 0
в
X
∗
, эквива-
лентное тождеству
h
ˆ
Aτ, η
i
T
∗
×T
+
h
ζ, τ
i
Γ
≡
(ˆ
λ
∇
τ,
∇
η
) + (
kτ, η
) +
h
ζ, τ
i
Γ
=
−
(
µ
0
/
2)
< I
0
ϕ
( ˆ
ϕ
)
, τ >
∀
τ
∈
X,
(9)
и выполняется принцип минимума
L
( ˆ
ϕ,
ˆ
u, y
∗
)
6
L
( ˆ
ϕ, u, y
∗
)
∀
u
∈
K.
(10)
Прямая задача (3), “сопряженная” задача (9) и принцип минимума (9) образуют
систему оптимальности, описывающую необходимые условия минимума для задачи
4.
Численное решение обратной задачи
Для простоты рассмотрим случай, когда минимум используемого функционала
качества достигается во внутренней точке множества
K
. В этом случае принцип
минимума (9) эквивалентен тождеству
(
µ
1
ˆ
λ
+
∇
ˆ
ϕ
∇
η, λ
) + (
µ
2
ˆ
ψ, ψ
)
Γ
− h
ζ, ψ
i
Γ
= 0
.
(11)
Перепишем (3), (9) и (11) в виде следующего операторного уравнения:
Φ(
ϕ, η, λ, ψ
) = 0
.
(12)
Здесь
Φ :
X
×
K
×
Y
∗
→
Y
×
H
1
(Γ)
∗
×
K
∗
. Для численного решения уравнения (12)
применим итерационный алгоритм, основанный на методе Ньютона. Он состоит
из следующих этапов:
0
.
Выбирается начальное приближение
ϕ
0
,
η
0
,
λ
0
,
ψ
0
для
искомого решения
(
ϕ, η, λ, ψ
)
задачи (12). Полагается
n
= 0
.
1
.
Вычисляется элемент
( ˜
ϕ,
˜
η,
˜
λ,
˜
ψ
)
как решение уравнения
Φ
0
(
ϕ
n
, η
n
, λ
n
, ψ
n
)( ˜
ϕ,
˜
η,
˜
λ,
˜
ψ
) =
−
Φ(
ϕ
n
, η
n
, λ
n
, ψ
n
)
.
(13)
2
.
Пересчитываются значения искомых величин
ϕ, η, λ, ψ
по формулам
ϕ
n
+1
=
ϕ
n
+ ˜
ϕ, η
n
+1
=
η
n
+ ˜
η, λ
n
+1
=
λ
n
+ ˜
λ, ψ
n
+1
=
ψ
n
+ ˜
ψ.
3
.
Проверяется условие выхода из цикла
k
ϕ
n
+1
−
ϕ
n
k ≡ k
ϕ
n
+1
−
ϕ
n
k
L
2
(Ω)
<
10
−
8
.
Если оно не выполняется, то
n
увеличивается на 1 и осуществляется переход к
этапу 1.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
207
Рис. 1.
График восстановленной (слева) и аналитически заданной (справа) концентрации
вещества
Рис. 2.
График восстановленной (слева) и аналитически заданной (справа) функции
λ
Расмотрим случай, когда концентрацию вещества можно описать аналитиче-
ской функцией, коэффициент
λ
-const, а функция
ψ
= 0
. На рис. 1 слева представлен
график значений функции
ϕ
полученных в результате решения обратной задачи,
а справа – график аналитического решения. На рис. 2 аналогичным образом пред-
ставлены графики восстанавливаемого коэффициента
λ
.
5.
Выводы
В данной работе была исследована обратная экстремальная задача для стацио-
нарного уравнения диффузии-реакции (1), рассматриваемого в ограниченной обла-
сти с условиями Дирихле на границе. Доказана разрешимость указанной задачи, по-
строена система оптимальности. Разработан численный алгоритм решения данной
задачи, основанный на методе Ньютона. С использованием пакета Scilab [13] прове-
дены вычислительные эксперименты, подтвердившие эффективность предложенно-
го алгорима. Анализ результатов численных экспериментов позволил выявить вли-
яние параметров модели на точность искомого решения. Работа выполнена при фи-
нансовой поддержке грантов ФЦП (N 14.А18.21.0353) и РФФИ (N 12-01-31288-мол_а,
13-01-00313).
Список литературы
1.
Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные решения некоррект-
ных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. М.:Наука. 1988. 286
c.
2.
Самарский А.А., Вабишевич П.Н.
Численные методы решения обратных задач ма-
тематической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.
3.
Алексеев Г.В., Терешко Д.А.
Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жид-
кости, Владивосток: Дальнаука. 2008.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
208
4.
Алексеев Г.В.
Единственность и устойчивость в коэффициентных обратных экстре-
мальных задачах для стационарной модели массопереноса // Докл. АН. 2007. Т. 416.
N. 6. С. 750-753.
5.
Алексеев Г.В.
Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарных
уравнений тепломассопереноса // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47.
№ 6. С. 1055–1076.
6.
Алексеев Г.В., Соболева О.В., Терешко Д.А.
Задачи идентификации для стационар-
ной модели массопереноса // Прикл. мех. техн. физ. 2008. Т. 49. N 4. C. 24–35.
7.
Соболева О.В.
Алексеев Вахитов Соболева Обратные экстремальные задачи для ста-
ционарного уравнения конвекции-диффузии-реакции // Дальневост. матем. журн.
2010. Т. 10, № 2. С. 170-184.
8.
Вахитов И.С.
Обратная задача идентификации неизвестного коэффициента в урав-
нении диффузии-реакции // Дальневост. матем. журн. 2010. Т. 10, № 2. С. 93-105.
9.
Исмаил-заде А.Т., Короткий А.И., Наймарк Б.М., Цепелев И.А.
Трехмерное числен-
ное моделирование обратной задачи тепловой конвекции // Журн. вычислит. матем.
матем. физ. 2003. Т. 43, №4. С. 614–626
10.
Исмаил-заде А.Т., Короткий А.И., Цепелев И.А.
Трехмерное численное моделиро-
вание обратной ретроспективной задачи тепловой конвекции на основе метода ква-
зиобращения // Журн. вычислит. матем. матем. физ. 2006. Т. 46, №12. С. 2277–2288.
11.
Короткий А.И., Цепелев И.А.
Прямые и обратные задачи динамики высоковязкой
жидкости // Автоматика и телемеханика. 2007. №5. С. 84–96.
12.
Иоффе А.Д., Тихомиров В.М.
Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974. 480 с.
13.
http://www.scilab.org
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 517.95
ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ИМПЕНДАНСОМ В ДВУМЕРНОЙ ЗАДАЧЕ
МАСКИРОВКИ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ
ОТ АКУСТИЧЕСКОЙ ЛОКАЦИИ
В.В. Соснов
Дальневосточный федеральный университет
Россия, 690950, Владивосток, Суханова 8
E-mail:
megachuhancer@gmail.com
Ключевые слова:
уравнение Гельмгольца, краевая задача, импеданс, за-
дача управления, граничное управление, разрешимость
Рассматривается задача управления для двумерного уравнения Гельмголь-
ца в неограниченной области с покрытой специальными материалами гра-
ницей. Внесение покрытия моделируется с помощью импедансного гранич-
ного условия. Роль управления в рассматриваемой задаче играет поверх-
ностный импеданс. Доказано существование решения задачи управления и
выведена система оптимальности.
Введение
В настоящее время большое количество работ посвящается исследованию задач
математической физики, связанных с созданием средств маскировки материальных
объектов от электромагнитной или акустической локации. В ряде работ (см., напри-
мер, [1, 2] и ссылки к этим работам) эффект маскировки обеспечивается выбором
параметров неоднородной анизотропной среды, заполняющей маскировочную обо-
лочку, путём решения соответствующей обратной задачи для уравнений Максвелла
или уравнения Гельмгольца с переменными коэффициентами. Однако техническая
реализация данного способа маскировки связана со значительными техническими
трудностями [3]. Возможны несколько способов преодоления этих трудностей. Один
из способов заключается в аппроксимации точных решений исследуемой задачи мас-
кировки приближенными решениями, которые допускают относительно простую
техническую реализацию. Другой альтернативный способ маскировки заключает-
ся в покрытии маскируемых материальных объектов специальными материалами.
Внесение такого покрытия моделируется введением импедансного граничного усло-
вия, связывающего между собой звуковое давление и нормальную компоненту ко-
лебательной скорости через граничный коэффициент, называемый поверхностным
импедансом. Математически, это –– задача управления, заключающаяся в нахожде-
нии поверхностного импеданса, при котором поле, рассеянное маскируемым объек-
том, минимально. В данной работе рассматривается эта задача в двумерном случае
с импедансным граничным условием на всей границе рассматриваемой области. Фи-
зические основы данного подхода можно найти в [4, 5].
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.