ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2125
Скачиваний: 4
30
между именами объектов. Например, выражение
(2
∗
t
+
x
)
это анонимный объект,
зависящий от имен
t
и
x
; выражение
y
(
t
)
это именованный объект, зависящий от
t
. Структура зависимостей должна быть сохранена при поиске подстановки из про-
странства имен контекстного условия в пространство имен спецификации задачи.
Алгоритм интерпретации и сравнения контекстного условия: Входом алгоритма яв-
ляется размеченное дерево разбора контекстного условия (обозначим через
treeCC
),
размеченное дерево разбора спецификации задачи (обозначим через
treeP S
). Выхо-
дом алгоритма является подстановка из пространства имен контекстного условия в
пространство имен спецификации задачи (то есть интерпретация контекстного усло-
вия). Описание шагов алгоритма: 1 – Найти поддерево дерева
treeP S
(обозначим
через
R
), такое что: 1) корень входит в состав
R
; 2) если нетерминальный узел при-
надлежит
R
, то все соседние узлы принадлежат
R
; 3) структура
R
соответствует
treeCC
. 2 – Найти все возможные подстановки из множества имен КУ во множе-
ство имен формулы. Обозначим через
P
множество всех возможных подстановок.
3 – Взять подстановку
p
из
P
и сравнить
treeP S
с
treeCC
после применения под-
становки
p
. Если деревья совпадают, то алгоритм завершился успешно,
p
– выход
алгоритма. 4 – Если в
P
больше нет элементов, то алгоритм завершился не успешно.
Шаг 2 алгоритма может быть сведен к задаче поиска изоморфизма графа (задача
относится к классу NP). Множество имен спецификации задачи вместе с зависимо-
стями представляют собой ориентированный граф (имена – вершины, зависимости
между именами - дуги). Граф-изоморфизм с вершинами - именами из контекстного
условия – представляет собой подстановку из множества имен контекстного условия
во множество имен спецификации задачи. Как только интерпретация контекстно-
го условия найдена, возможен переход к схеме решения задачи. Это осуществля-
ется путем применения найденной подстановки имен к одной из трансформаций
преобразования. По найденной схеме решение производится генерация низкоуров-
невого кода для параллельной вычислительной системы. В качестве целевых ин-
терфейсов для параллельной реализации предлагается применять стандарты MPI
(MessagePassingInterface) и OpenCL (OpenComputingLanguage). Это позволит эф-
фективно использовать ресурсы как традиционных кластерных систем (MPI), так
и ресурсы графических ускорителей (OpenCL), абстрагируясь от деталей каждой
отдельно взятой архитектуры.
Список литературы
1.
В.В. Воеводин, Вл.В. Воеводин Параллельные вычисления. СПб.: БХВ-Петербург,
2002.
2.
Eskin R., Artemieva I. Numerical simulation system for parallel computing // Proceedings
of Second International Conference "Cluster Computing"(Ukraine, Lviv, June 3-5, 2013)
http://hpc-ua.org/cc-13/files/proceedings/15.pdf
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 517.95
МАСКИРОВКА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ
ЧЕРЕЗ ИМПЕДАНСНОЕ ГРАНИЧНОЕ
УСЛОВИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Байдин А.В.
Дальневосточный Федеральный Университет
Россия, 690950, г. Владивосток, ул. Суханова, 8
E-mail:
thulf.m@gmail.com
Ключевые слова:
Уравнение Гельмгольца, смешанная задача сопряже-
ния, граничная проводимость, импеданс, задача управления, разрешимость.
Рассматриваются задачи управления для двумерной модели электромаг-
нитного поля, описывающей рассеяние электромагнитных волн в неограни-
ченной однородной среде, содержащей проницаемое диэлектрическое пре-
пятствие с частично покрытой (в целях маскировки) границей. Роль управ-
ления играет функция, входящия в импедансное граничное условие на гра-
нице. Доказывается разрешимость как исходной задачи сопряжения для
двумерного уравнения Гельмгольца, так и задач управления. Выводятся
системы оптимальности, описывающие необходимые условия экстремума.
Введение
В настоящее время актуальными являются задачи, связанные с маскировкой
материальных тел от электромагнитной и акустической локации. Начиная с пио-
нерской работы J. Pendry et al. [1], разработке теоретических и численных методов
решения указанных задач посвящено большое количество работ. Отметим среди
них работу [2], в которой эффект маскировки достигается за счет выбора парамет-
ров среды, заполняющей маскировочную оболочку, путем решения соответствую-
щей обратной задачи для уравнений Максвелла или модели акустики. Необходимым
условием существования маскировочных оболочек является анизотропия среды, за-
полняющей данную оболочку. Техническая реализация такого метода маскировки
связана со значительными техническими трудностями. Можно предложить несколь-
ко способов преодоления этих трудностей. Первый способ состоит в аппроксимации
точных решений рассматриваемой задачи маскировки приближенными решениями,
которые допускают относительно простую техническую реализацию. Еще один спо-
соб состоит в использовании альтернативного метода маскировки материальных
объектов, основанного на покрытии их специальными материалами. В частности,
объекты, представляющие собой идеальные проводники, покрывают тонким слоем
высокопоглощающего вещества, тогда как диэлектрики, наоборот, покрывают тон-
ким слоем высокопроводящего вещества. Математически внесение такого покрытия
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
32
моделируется введением так называемого импедансного граничного условия, связы-
вающего между собой электрическое и магнитное поля через граничный коэффици-
ент, называемый поверхностным импедансом либо поверхностной проводимостью.
В случае, когда объект имеет неизменную форму, задача его маскировки сводится к
выбору параметров покрытия, обеспечивающих выполнение определенных свойств
для рассеянных волн, возникающих при падении на объект первичных электромаг-
нитных волн. В математическом плане эта задача сводится к решению обратной
экстремальной задачи, где роль управления играет поверхностная проводимость
покрытой части границы, а в качестве функционального ограничения выступает
используемая модель рассеяния электромагнитных волн, рассматриваемая при им-
педансном граничном условии. Именно эта задача рассматривается в данной работе
для двумерной модели, описывающей рассеяние электромагнитных волн в неогра-
ниченной однородной среде, содержащей анизотропное приницаемое препятствие
с покрытой границей. Для акустических волн обоснование физической подоплеки
данного подхода можно найти в [3]. Близкая задача управления импедансом в слу-
чае внешней краевой задачи для 2-D уравнения Гельмгольца рассмотрена в [4]. Для
электромагнитных волн задачи управления импедансом для трехмерных уравнений
Максвелла, рассматриваемых в ограниченной области, изучены в [5, 6].
1.
Разрешимость исходной задачи сопряжения
1.1.
Формулировка задачи
Пусть
Ω
— ограниченная область в
R
2
со связным дополнением
Ω
c
=
R
2
\
Ω
и
границей
Γ
. Задача рассеяния электромагнитных волн в однородной среде, содержа-
щей неоднородное проницаемое диэлектрическое препятствие цилиндрической фор-
мы бесконечной длины с сечением
Ω
и покрытой (в целях маскировки) границей в
случае, когда падающая волна распространяется в направлении, перпендикулярном
оси цилиндра, а магнитное поле поляризовано в этом направлении (E-поляризация),
сводится к нахождению функций
v
в
Ω
и
u
=
u
inc
+
u
s
в
Ω
c
, удовлетворяющих урав-
нениям
∆
v
+
k
2
δ
(
x
)
v
= 0
в
Ω
,
∆
u
+
k
2
u
= 0
в
Ω
c
,
(1)
v
−
u
= 0
,
∂v
∂n
−
∂u
∂n
=
iη
(
x
)
u
на
Γ
,
(2)
lim
r
→∞
√
r
(
∂u
s
∂r
−
iku
s
) = 0
где
r
=
|
x
|
.
(3)
Здесь
u
inc
— падающая волна,
u
s
— рассеянная волна,
η
— поверхностная прово-
димость на границе
Γ
,
k
— волновое число,
δ
(
x
)
— индекс рефракции диэлектри-
ческого препятствия
Ω
,
i
— мнимая единица,
n
— единичный вектор внешней по
отношению к
Ω
нормали к границе
Γ
,
∂v
∂n
— нормальная производная функции
v
на
Γ
. Второе уравнение в (2) имеет смысл модифицированного условия Леонтовича
для
E
-поляризованных электромагнитных волн. (4) — условие излучения Зоммер-
фельда в двумерном случае.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
33
1.2.
Функциональные пространства
Будем предполагать ниже, что выполняются следующие условия: (i)
Ω
— огра-
ниченная область в
R
2
со связным дополнением
Ω
c
и с границей
Γ
∈
C
0
,
1
. Пусть
B
R
— круг радиуса
R
, содержащий
Ω
.
Γ
R
— граница этого круга. Положим
Ω
e
= Ω
c
∩
B
R
.
Ясно, что
Ω
e
— ограниченная область в
R
2
с границей
∂
Ω
e
= Γ
∪
Γ
R
. Поскольку
Γ
является одновременно границей области
Ω
и частью границы
∂
Ω
e
= Γ
∪
Γ
R
области
Ω
e
, будем использовать два оператора следа на
Γ
: “внутренний” оператор
следа
γ
i
|
Γ
:
H
1
(Ω)
→
H
1
/
2
(Γ)
и “внешний”
γ
e
|
Γ
:
H
1
(Ω
e
)
→
H
1
/
2
(Γ)
. Будем исполь-
зовать пространства
H
1
(Ω)
,
H
1
(Ω
e
)
,
H
1
/
2
(Γ)
,
H
1
/
2
(Γ
R
)
с нормами
k · k
1
,
Ω
,
k · k
1
,
Ω
e
,
k · k
1
/
2
,
Γ
,
k · k
1
/
2
,
Γ
R
соответственно. Для описания проводимости
η
введем простран-
ства
L
∞
η
0
(Γ) =
{
η
∈
L
∞
(Γ) :
η
(
x
)
>
η
0
}
и
H
s
η
0
(Γ) =
{
η
∈
H
s
(Γ) :
η
(
x
)
>
η
0
}
,
η
0
= const
>
0
, s >
0
. Также наряду с пространством
H
1
(Ω)
будем рассматривать
его подпространство
H
1
(∆
,
Ω) =
{
v
:
v
∈
H
1
(Ω)
,
∆
v
∈
L
2
(Ω)
}
, наделенное нормой
k
v
k
2
H
1
(∆
,
Ω)
=
k
v
k
2
1
,
Ω
+
k
∆
v
k
2
Ω
. Хорошо известно (см. [7, c.31]), что для любой функ-
ции
u
∈
H
1
(∆
,
Ω)
существует первый след
γ
1
v
≡
∂v
∂n
|
Γ
∈
H
−
1
/
2
(Γ)
. Точно так же для
любой функции
u
∈
H
1
(∆
,
Ω
e
)
существует первый след
γ
1
u
≡
∂u
∂n
|
∂
Ω
e
∈
H
−
1
/
2
(
∂
Ω
e
)
и его сужения
∂u
∂n
|
Γ
∈
H
−
1
/
2
(Γ)
и
∂u
∂n
|
Γ
R
∈
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
. Введем пространство
H
inc
≡
H
inc
(Ω
e
) =
{
v
∈
H
1
(Ω
e
) : ∆
v
+
k
2
v
= 0
в
D
0
(Ω
e
)
}
, служащее для описания падаю-
щих волн. Ясно, что
H
inc
⊂
H
1
(∆
,
Ω
e
)
. Следовательно, для любой падающей волны
u
inc
∈ H
inc
существует след (нормальная компонента)
∂u
inc
∂n
|
Γ
R
∈
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
. Введем
гильбертово пространство
V
=
H
1
(Ω)
×
H
1
(Ω
e
)
с нормой
|
[
U
]
|
2
=
k
v
k
2
1
,
Ω
+
k
u
k
2
1
,
Ω
e
Для произвольной пары функций
p
∈
H
1
(Ω)
,
p
e
∈
H
1
(Ω
e
)
положим
P
= (
p, p
e
)
∈
V
.
Рассмотрим оператор “скачка”
γ
e
:
V
→
H
1
/
2
(Γ
e
)
через границу
Γ
e
формулой
γ
e
P
= [
P
]
|
Γ
e
≡
p
e
|
Γ
e
−
p
|
Γ
e
для
P
≡
(
p, p
e
)
∈
V
. Введем также ядро
X
=
Ker
γ
≡ {
P
=
(
p, p
e
)
∈
V
:
γP
≡
p
e
|
Γ
−
p
|
Γ
= 0
}
. Так как оператор
γ
:
V
→
H
1
/
2
(Γ)
непрерывен
в силу условия
Γ
∈
C
0
,
1
, то ядро
X
само является гильбертовым пространством по
норме
k · k
X
≡ |
[
·
]
|
.
1.3.
Разрешимость краевой задачи и оценки решений
Введем отображение Дирихле–Неймана
T
:
H
1
/
2
(Γ
R
)
→
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
, которое
ставит в соответствие каждой функции
g
∈
H
1
/
2
(Γ
R
)
функцию
∂
˜
u
∂n
∈
H
−
1
/
2
(Γ
R
)
,
где
˜
u
— решение внешней задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца
∆˜
u
+
k
2
˜
u
=
0
в
Ω
c
\
B
R
с условием
˜
u
|
Γ
R
=
g
. Известно, что
T
∈ L
(
H
1
/
2
(Γ
R
)
, H
−
1
/
2
(Γ
R
))
, (см.,
например, [8]). Задача (1)–(4), рассматриваемая на всей плоскости
R
2
, эквивалентна
задаче (1)–(2), рассматриваемой в круге
B
R
при следующем граничном условии для
рассеянного поля
u
s
на
Γ
R
:
∂u
s
∂n
=
T u
s
на
Γ
R
.
(4)
Умножим уравнения (1) на произвольную тестовую функцию
Φ
∈
X
, проинтегри-
руем, применим формулы Грина и сложим два уравнения. С учетом граничных
условий (2), (4) запишем результат в виде
a
η
(
U,
Φ)
≡
a
0
(
U,
Φ)
−
a
η
(
U,
Φ)
−
a
δ
(
U,
Φ) =
h
f,
Φ
i
∀
Φ
∈
X.
(5)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
34
Здесь
U
= (
u, v
)
∈
X
.
a
0
,
a
η
,
a
δ
и
f
— полуторалинейные и антилинейная формы,
определяемые формулами
a
0
(
U,
Φ) =
Z
Ω
∇
Φ
· ∇
U
d
x
+
Z
Ω
e
∇
Φ
· ∇
U
−
k
2
Φ
U
d
x
−
Z
Γ
R
Φ
T U
d
σ,
a
η
(
U,
Φ) =
i
(
ηU,
Φ)
Γ
≡
i
Z
Γ
η
Φ
U
d
σ,
a
δ
(
U,
Φ) =
k
2
(
δU,
Φ)
≡
k
2
Z
Ω
δ
Φ
U
d
x,
h
f,
Φ
i
=
−
Z
Γ
R
Φ
T u
inc
d
σ
+
Z
Γ
R
Φ
∂u
inc
∂n
d
σ.
(6)
Решение
U
∈
X
задачи (6) назовем слабым решением задачи 1. Используя свойства
оператора
T
, теорему о следах и теоремы вложения можно показать, что к зада-
че (6) применима альтернатива Фредгольма. С её помощью может быть доказана
следующая теорема.
Теорема 1.
Пусть при выполнении условий (i),
δ
∈
L
∞
+
(Ω)
,
η
∈
K
⊂
L
∞
η
0
, где
K
—
произвольное непустое ограниченное множество, где
η
0
>
0
. Тогда для любого па-
дающего поля
u
inc
∈ H
inc
задача (6) имеет единственное решение
U
λ
∈
X
, которое
удовлетворяет следующей оценке с константой
C
0
, не зависящей от
η
.
k
U
λ
k
X
6
C
0
k
u
inc
k
1
,
Ω
e
∀
η
∈
K.
(7)
2.
Постановка и исследование задачи
управления
Задача управления заключаются в минимизации определенного функционала
качества, зависящего от состояния (волнового поля
U
) и неизвестной функции (управ-
ления), удовлетворяющей уравнениям состояния, имеющим вид слабой формули-
ровки (6) задачи 1. В качестве управления выступает проводимость
η
, а в качестве
функционала качества выберем один из следующих:
I
1
(
U
) =
k
U
−
u
d
k
2
Q
=
Z
Q
|
U
−
u
d
|
2
dx, I
2
(
U
) =
k
U
−
u
d
k
2
Γ
r
=
Z
Γ
r
|
U
−
u
d
|
2
dσ.
(8)
Здесь
Q
⊂
Ω
e
— подобласть области
Ω
e
,
Γ
r
— граница круга
B
r
радиуса
r < R
такого, что
Ω
⊂
B
r
, функция
u
d
моделирует заданное волновое поле в области
Q
или на
Γ
r
. В частном случае, когда
u
d
=
u
inc
, функционал
I
1
(либо
I
2
) имеет смысл
квадрата средне-квадратичной интегральной нормы рассеяного поля
u
s
по
Q
(либо
по
Γ
R
).
2.1.
Разрешимость задачи управления
Положим
J
(
U, η
) = (
α
0
/
2)
I
(
U
) + (
α
1
/
2)
k
η
k
2
s,
Γ
. Будем предполагать, что выпол-
няются следующие условия: (j)
Γ
∈
C
1
,
1
;
α
0
>
0
;
K
⊂
H
s
η
0
(Γ)
— непустое выпуклое
замкнутое множество, где
s >
1
/
2
,
η
0
>
0
. Введем оператор
G
:
X
×
K
× H
inc
→
X
∗
формулой
h
G
(
U, η, u
inc
)
,
Φ
i
=
a
0
(
U,
Φ)
−
i
(
ηU,
Φ)
Γ
−
(
δU,
Φ)
Ω
− h
f,
Φ
i
и перепишем
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.