ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2129
Скачиваний: 4
35
слабую формулировку (6) задачи 1 в виде уравнения
G
(
U, η, u
inc
) = 0
. Рассмотрим
следующую задачу условной минимизации:
J
(
U, η
) =
α
0
2
I
(
U
) +
α
1
2
k
η
k
2
s,
Γ
→
inf
, G
(
U, η, u
inc
) = 0
,
(
U, η
)
∈
X
×
K.
(9)
Здесь
I
:
X
→
R
— слабо полунепрерывный снизу функционал качества. Обозначим
через
Z
ad
=
Z
ad
(
u
inc
) =
{
(
U, η
)
∈
X
×
K
:
G
(
U, η, u
inc
) = 0
, J
(
U, η
)
<
∞}
множество
допустимых пар для задачи (10). Справедлива следующая теорема.
Теорема 2.
Пусть при выполнении условий (i), (j),
u
inc
∈ H
inc
,
Z
ad
— непустое
множество, и пусть
α
0
>
0;
α
1
>
0
,
K
— ограниченное множество, либо
α
1
>
0
.
Тогда задача (10) имеет по крайней мере одно решение
(
U, η
)
∈
X
×
K
при
I
=
I
k
,
k
= 1
,
2
.
2.2.
Вывод системы оптимальности
Дальнейшее исследование задачи управления (10) состоит в установлении до-
статочных условий на исходные данные, обеспечивающих единственность и устой-
чивость ее решения. Для этого будем использовать, подход, разработанный в [9, 10]
для уравнений магнитной гидродинамики. Он основан на выводе и анализе системы
оптимальности, описывающей необходимые условия экстремума для задачи (10). В
результате получим следующую теорему.
Теорема 3.
Пусть при выполнении условий (i), (j) пара
( ˆ
U ,
ˆ
η
)
∈
X
×
K
явля-
ется решением задачи (10), причем функционал
I
непрерывно дифференцируем по
U
в точке
ˆ
U
. Тогда существует единственный ненулевой множитель Лагранжа
P
∈
X
, который удовлетворяет комплексному уравнению Эйлера-Лагранжа (11),
а также справедлив принцип минимума, эквивалентный вариационному неравен-
ству (12).
a
0
(Ψ
, P
)
−
a
(
δ
Ψ
, P
)
−
i
(ˆ
η
Ψ
, P
)
Γ
=
−
α
0
2
h
I
0
U
( ˆ
U
)
,
Ψ
i ∀
Ψ
∈
X.
(10)
α
1
(ˆ
η, η
−
ˆ
η
)
s,
Γ
−
Re[
i
((
η
−
ˆ
η
) ˆ
U , P
)
Γ
]
>
0
∀
η
∈
K.
(11)
Прямая задача (6), тождество (11), имеющее смысл сопряженной задачи для со-
пряженного состояния
P
∈
X
, и вариационное неравенство (12) образуют
систему
оптимальности
для задачи управления (10), описывающую необходимые условия
экстремума.
Заключение
В работе была получена система оптимальности, которую можно использовать
для исследования единственности и устойчивости решений конкретных экстремаль-
ных задач, а также при разработке численного алгоритма решения поставленной
экстремальной задачи и для исследования его сходимости. Простейший алгоритм
получается, если для нахождения решения системы оптимальности применить ме-
тод простой итерации. В результате получим итерационный алгоритм,
n
-я итерация
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
36
которого состоит в нахождении величин
U
n
,
P
n
и
η
n
+1
при заданном
η
n
путем по-
следовательного решения следующих задач:
a
0
(
U
n
,
Φ)
−
a
η
n
(
U
n
,
Φ)
−
a
δ
(
U
n
,
Φ) =
h
f,
Φ
i
∀
Φ
∈
X,
a
0
(Ψ
, P
n
)
−
a
(
δ
Ψ
, P
n
)
−
i
(
η
n
Ψ
, P
n
)
Γ
=
−
α
0
2
h
I
0
U
(
U
n
)
,
Ψ
i
∀
Ψ
∈
X,
α
1
(
η
n
+1
, η
−
η
n
+1
)
s,
Γ
−
Re[
i
((
η
−
η
n
+1
)
U
n
, P
n
)
Γ
]
>
0
∀
η
∈
K,
Исследованию единственности и устойчивости экстремальных задач, построению
численных алгоритмов, исследованию их сходимости и анализу численных экспери-
ментов будет посвящены дальнейшие исследования автора.
Список литературы
1.
Pendry J.B., Shurig D. and Smith D.R. Controlling Electromagnetic Fields// Science.
2006. V. 312. P. 1780–1782.
2.
Алексеев Г.В., Романов В.Г. Об одном классе нерассеивающих акустических оболо-
чек для модели анизотропной акустики // Сиб. журн. индустр. матем. 2011. Т. 14,
№ 2, C. 1–6.
3.
Бобровницкий Ю.И. Научные основы акустического стелса// ДАН. 2012. Т. 442, № 1.
С. 41–44.
4.
Alekseev G.V. Cloaking via impedance boundary condition for 2–D Helmholtz equation//
Appl. Anal. 2013. V. 93, N 5.
5.
Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В. Теоретический анализ экстремальных задач гранич-
ного управления для уравнений Максвелла// Сиб. журн. индустр. матем. 2011. Т.
14, № 1. С. 3–16.
6.
Алексеев Г.В., Бризицкий Р.В., Романов В.Г. Оценки устойчивости решений задач
граничного управления для уравнений Максвела при смешанных граничных усло-
виях// ДАН. 2012. Т. 447, № 1 . C. 7–12.
7.
Алексеев Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнит-
ной гидродинамики. Москва. Научный Мир, 2010.
8.
Melenk J.M., Sauter S. Convergence analysis for finite element discretizations of the
Helmholtz equation with Dirichlet–to–Neumann boundary conditions// Math. Comp.
2010. V. 79. P. 1871–1914.
9.
Алексеев Г.В. Задачи управления для стационарных уравнений магнитной гидроди-
намики// ДАН. 2004. Т. 395, № 3. C. 322–325.
10.
Алексеев Г.В., Терешко Д.А. О задаче идентификации для стационарной модели маг-
нитной гидродинамики вязкой теплопроводной жидкости // Журн. вычисл. матем.
и матем. физ. 2009. Т. 49, № 10. С. 1796–1811.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 517.95
РАЗРЕШИМОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ
УРАВНЕНИЙ МГД ПРИ СМЕШАННЫХ
ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ
ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Р.В. Бризицкий
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
mlnwizard@mail.ru
Ключевые слова:
магнитная гидродинамика, смешанные условия
Доказывается глобальная разрешимость краевой задачи для стационарных
уравнений магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости, рас-
сматриваемых при неоднородном условии Дирихле для скорости и смешан-
ных граничных условиях для магнитного поля.
Введение
Сравнительный анализ инженерной и математической литературы по электро-
магнетизму показывает, что математические результаты не всегда соответствуют
требованиям технических приложений. Например, при моделировании реальных
электромагнитных устройств один из смежных фрагментов устройства может быть
диэлектриком, а другой – идеальным проводником. Это приводит к необходимо-
сти постановки смешанных граничных условий для магнитного или электрического
поля (см. [1]), а в математической литературе обычно избегают их рассмотрения.
В [1] впервые доказана разрешимость задач магнитостатики при смешанных гра-
ничных условиях для магнитного поля, когда на одной части границы задается
нормальная компонента магнитного поля, на другой – тангенциальная компонен-
та. Однородные условия такого вида как раз и описывают ситуацию, когда один
участок границы – идеальный проводник, а другой – идеальный диэлектрик. При
этом не предполагалось, что открытые участки границы с разными граничными
условиями, в свою очередь, не могут иметь общую границу. Таких упрощающих
предположений нет и в данной работе. Так же в [1] исследованы аналогичные за-
дачи электростатики. При изучении задач магнитной гидродинамики (МГД) при
смешанных граничных условиях для магнитного поля мы существенно используем
результаты [1] о компактности вложений соболевских пространств и вытекающие из
них обобщенные неравенства коэрцитивности, а так же ортогональные разложения
пространства
L
2
(Ω)
, обобщающие результаты [4] и [5] на случай более реалистич-
ных предположений. С их помощью в данной работе получены новые априорные
оценки и обоснована корректность используемых слабых формулировок. Перейдем
к постановке краевой задачи.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
38
1.
Постановка начально-краевой задачи
В ограниченной области
Ω
пространства
R
3
с границей
Γ
, состоящей из двух
частей
Γ
1
и
Γ
2
, рассматривается следующая краевая задача для стационарных урав-
нений магнитной гидродинамики:
ν
∆
u
+ (
u
· ∇
)
u
+
∇
p
−
κ
rot
H
×
H
=
f
,
div
u
= 0
в
Ω
,
(1)
ν
1
rot
H
−
ρ
−
1
0
E
+
κ
H
×
u
=
ν
1
j
,
div
H
= 0
,
rot
E
= 0
в
Ω
,
(2)
u
=
g
на
Γ
,
H
·
n
|
Γ
1
= 0
,
H
×
n
|
Γ
2
=
0
,
E
×
n
|
Γ
1
=
0
.
(3)
Здесь
Ω
– ограниченная область в
R
3
с границей
Γ
,
u
,
H
,
E
– векторы скорости и
напряженностей магнитного и электрического полей,
p
=
P/ρ
0
, где
P
– давление,
ρ
0
= const
– плотность,
κ
=
µ/ρ
0
,
ν
1
= 1
/ρ
0
σ
,
ν
и
σ
– постоянные коэффициен-
ты вязкости и проводимости,
µ
– магнитная проницаемость,
j
– вектор плотности
сторонних токов,
g
– определенная на
Γ
функция. Ниже на задачу (1)–(1) при задан-
ных функциях
f
,
j
,
g
будем ссылаться как на задачу 1. Все величины, входящие в
(1)–(1), считаются размерными, причем уравнения модели записаны в системе СИ.
Физически граничные условия (1) отвечают ситуации, когда участок
Γ
1
границы
Γ
является идеальным проводником, а участок
Γ
2
⊂
Γ
– идеальный диэлектрик.
Насколько известно авторам, уравнения МГД ранее не рассматривались при гра-
ничных условиях (1). Отметим что некоторые из изученных ранее краевых задач
являются частными случаями задачи 1. Например, в статьях [6, 7] доказана глобаль-
ная разрешимость стационарных уравнений МГД в случае, когда на всей границе
задается нормальная компонента магнитного поля и тангенциальная компонента
электрического поля. В [8] аналогичные результаты получены при задании танген-
циальной компоненты магнитного поля на всей границе. Указанные краевые задачи
рассматривались при условии Дирихле для скорости и к ним можно прийти, полагая
поочередно
Γ
1
=
∅
и
Γ
2
=
∅
. В [9, 10] исследованы стационарные уравнения МГД при
смешанных граничных условиях для скорости. Так же отметим постановку не стан-
дартных граничных условий для магнитного поля в работе [11]. Основной целью
нашей статьи является доказательство глобальной разрешимости задачи 1.
2.
Функциональные пространства и результаты
Как и в [6], будем использовать пространства Соболева
H
s
(
D
)
,
s
∈
R
,
H
0
(
D
)
≡
L
2
(
D
)
, где
D
обозначает область
Ω
или ее подмножество
Q
либо границу
Γ
. Соот-
ветствующие пространства вектор-функций будем обозначать через
H
s
(
D
)
и
L
2
(
D
)
.
Нормы и скалярные произведения в пространствах
H
s
(
Q
)
,
H
s
(Γ)
и их векторных
аналогах будем обозначать через
k·k
s,Q
,
k·k
s,
Γ
и
(
·
,
·
)
s,Q
,
(
·
,
·
)
s,
Γ
. Скалярные произве-
дения и нормы в
L
2
(
Q
)
и
L
2
(
Q
)
либо в
L
2
(Γ)
и
L
2
(Γ)
будем обозначать через
(
·
,
·
)
Q
и
k · k
Q
либо
(
·
,
·
)
Γ
и
k · k
Γ
. При
Q
= Ω
полагаем
k · k
Q
=
k · k
,
(
·
,
·
)
Q
= (
·
,
·
)
. Через
k · k
1
и
| · |
1
будем обозначать норму и полунорму в
H
1
(Ω)
и
H
1
(Ω)
. Будем исполь-
зовать пространства следов
H
1
/
2
(Γ)
и
H
1
/
2
(Γ
0
)
функций из
H
1
(Ω)
, где
Γ
0
– часть
границы
Γ
. Наряду с пространством
H
1
/
2
(Γ
0
)
будем использовать его подпростран-
ство
H
1
/
2
0
(Γ
0
)
, состоящее из тех и только тех функций
v
∈
H
1
/
2
(Γ
0
)
, для которых
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
39
продолжение нулем на всю границу
Γ
принадлежит пространству
H
1
/
2
(Γ)
. Через
H
s
(Γ
,
Γ
0
)
обозначим подпространство функций из
H
s
(Γ)
, состоящее из функций
v
∈
H
s
(Γ)
, равных нулю на
Γ
0
. Отношение двойственности между пространством
X
и двойственным
X
∗
будем обозначать через
h·
,
·i
X
∗
×
X
либо просто
h·
,
·i
. Будем пред-
полагать, что выполняются условия (i)
Ω
– конечносвязная ограниченная область
в пространстве
R
3
с границей
Γ
∈
C
1
,
1
, причем открытые участки
Γ
1
и
Γ
2
грани-
цы
Γ
удовлетворяют условиям:
Γ
1
,
Γ
2
∈
C
1
,
1
,
Γ
1
∩
Γ
2
=
∅
,
Γ = Γ
1
∪
Γ
2
;
Γ
1
=
∪
n
i
=1
Γ
i
,
Γ
2
=
∪
m
j
=1
Γ
j
. (ii)
Ω
– конечно-связная область в
R
3
: и существуют непересекающиеся
многообразия (“разрезы”)
Σ
i
∈
C
2
,
i
= 1
,
2
, ..., N
такие, что область
˜
Ω = Ω
\
S
N
i
=1
Σ
i
односвязна и липшицева. Пусть
D
(Ω)
- пространство бесконечно дифференцируе-
мых финитных в
Ω
функций,
H
1
0
(Ω) =
пополнение
D
(Ω)
в
H
1
(Ω)
,
H
1
0
(Ω) =
H
1
0
(Ω)
d
,
V
=
{
v
∈
H
1
0
(Ω) : div
v
= 0
}
,
H
−
1
(Ω) =
H
1
0
(Ω)
∗
,
L
2
0
(Ω) =
{
p
∈
L
2
(Ω) : (
p,
1) = 0
}
.
В дополнение к введенным выше пространствам будем использовать пространства
H
(rot
,
Ω) =
{
v
∈
L
2
(Ω) : rot
v
∈
L
2
(Ω)
}
, а также подпространства
H
1
T
(Ω)
⊂
H
1
(Ω)
и
H
1
/
2
T
(Γ)
⊂
H
1
/
2
(Γ)
, состоящие из тангенциальных на
Γ
векторов из пространств
H
1
(Ω)
и
H
1
/
2
(Γ)
соответственно, и двойственные пространства
H
−
1
(Ω) =
H
1
0
(Ω)
∗
,
H
1
/
2
T
(Γ)
∗
. Как и в [1], введем следующие (конечномерные) пространства:
H
(
T, N
)=
{
h
∈
L
2
(Ω) : div
h
= 0
,
rot
h
= 0
в
Ω
,
h
·
n
|
Γ
1
= 0
,
h
×
n
|
Γ
2
= 0
}
,
H
(
N, T
)=
{
h
∈
L
2
(Ω) : div
h
= 0
,
rot
h
= 0
в
Ω
,
h
×
n
|
Γ
1
= 0
,
h
·
n
|
Γ
2
= 0
}
.
Положим
V
T,N
=
{
v
∈
H
1
(Ω) : div
v
= 0
в
Ω
,
v
·
n
|
Γ
1
= 0
,
v
×
n
|
Γ
2
=
0
} ∩ H
(
T, N
)
⊥
.
Пусть в дополнение к (i), (ii) выполняются условия: (iii)
Γ
∈
C
2
,
Γ
1
,
Γ
2
∈
C
2
. Одним
из основных результатов является
Лемма 2.1.
При выполнении условий (i)–(iii)
существует константа
δ
1
, зависящая от
Ω
и
Γ
1
, с которой выполняется неравен-
ство
k
rot
Ψ
k
2
>
δ
1
k
Ψ
k
2
1
∀
Ψ
∈
V
T,N
.
(4)
Пусть в дополнение к условиям (i)–(iii) выполняются условия (iv)
f
∈
H
−
1
(Ω)
, (v
0
)
j
∈
L
2
(Ω)
. Умножим первое уравнение в (1) на
v
∈
H
1
0
(Ω)
, проинтегрируем по
Ω
и
применим формулы Грина. Получим
ν
(
∇
u
,
∇
v
) + ((
u
· ∇
)
u
,
v
)
−
κ
(rot
H
×
H
,
v
)
−
(div
v
, p
) =
h
f
,
v
i ∀
v
∈
H
1
0
(Ω)
,
(5)
Точно так же умножим первое уравнение в (11) на
rot
Ψ
, где
Ψ
∈
V
T ,N
, и проинте-
грируем по области
Ω
. Учитывая в силу формулы Грина и условия
E
×
n
=
0
на
Γ
1
, что
(
E
,
rot
Ψ
) =
h
E
×
n
,
Ψ
i
Γ
1
= 0
∀
Ψ
∈
V
T ,N
,
приходим к тождеству
ν
1
(rot
H
,
rot
Ψ
) +
κ
(rot
Ψ
×
H
,
u
) =
ν
1
(
j
,
rot
Ψ
)
∀
Ψ
∈
V
T ,N
.
(6)
ν
(
∇
u
,
∇
v
) +
ν
1
(rot
H
,
rot
Ψ
) + ((
u
· ∇
)
u
,
v
)
−
(div
v
, r
) +
κ
(rot
Ψ
×
H
,
u
)
−
−
κ
(rot
H
×
H
,
v
) =
h
f
,
v
i
+
ν
1
(
j
,
rot
Ψ
)
∀
(
v
,
Ψ
)
∈
H
1
0
(Ω)
×
V
T,N
,
(7)
div
u
= 0
в
Ω
,
u
=
g
на
Γ
.
(8)
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.