ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1504
Скачиваний: 1
46
Глава
20.
Криволинейные интегралы
(
направленный в сторону возрастания параметра на кривой
)
непрерывно зависит от параметра
t
.
Определение
1.
Пусть фиксирована декартова система
координат в
R
3
и векторное поле
(
т
.
е
.
вектор
-
функция
)
~a
=
= (
P, Q, R
)
задано на множестве
Γ.
Тогда
Z
Γ
P dx
+
Q dy
+
R dz
B
B
Z
b
a
[
P
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
x
0
(
t
) +
Q
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
y
0
(
t
)+
+
R
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
z
0
(
t
)]
dt
=
Z
b
a
(
~a,~r
0
)
dt
(3)
называется
криволинейным интегралом второго рода
от век
-
торного поля
~a
= (
P, Q, R
)
по кривой
Γ.
Интеграл
(3)
часто
обозначают также символом
R
Γ
(
~a, d~r
).
В частности
,
когда лишь одна компонента векторного поля
~a
отлична от нуля
,
получаем следующие криволинейные ин
-
тегралы второго рода от функций
(
соответственно
P
,
Q
,
R
):
Z
Γ
P dx
B
Z
b
a
P
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
x
0
(
t
)
dt,
(4)
Z
Γ
Q dy
B
Z
b
a
Q
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
y
0
(
t
)
dt,
(5)
Z
Γ
R dz
B
Z
b
a
R
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
z
0
(
t
)
dt.
(6)
Если
Γ
является контуром
(
т
.
е
.
замкнутой кривой
),
то кри
-
волинейный интеграл
(3)
называется
циркуляцией
векторного
поля
~a
по контуру
Γ.
Установим некоторые свойства криволинейного интеграла
второго рода
.
1.
◦
Для
существования
интеграла
(3)
достаточно
,
чтобы
функции
P
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
,
Q
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
,
R
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
(
как функции переменной
t
)
были
интегрируемы на отрезке
[
a, b
]
.
В частности
,
если поле
~a
= (
P, Q, R
)
непрерывно на
Γ,
то
R
Γ
P dx
+
Q dy
+
R dz
существует
.
§
20.2.
Криволинейные интегралы второго рода
47
2.
◦
(
Выражение криволинейного интеграла второго рода
через криволинейный интеграл первого рода
).
Z
Γ
P dx
+
Q dy
+
R dz
=
Z
Γ
[
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
]
ds.
(7)
Для обоснования достаточно в
(3)
заменить
x
0
(
t
),
y
0
(
t
),
z
0
(
t
)
на равные им величины
:
x
0
=
dx
ds
|
~r
0
|
= cos
α
|
~r
0
|
,
y
0
=
dy
ds
|
~r
0
|
= cos
β
|
~r
0
|
,
z
0
=
dz
ds
|
~r
0
|
= cos
γ
|
~r
0
|
,
где штрих означает взятие производной по
t
,
и сравнить полу
-
ченный интеграл с криволинейным интегралом
(20.1.2).
3.
◦
Криволинейный интеграл второго рода не зависит от
параметризации гладкой кривой
Γ
с фиксированной ори
-
ентацией
.
Доказательство такое же
,
как для криволинейного инте
-
грала первого рода
.
Следует лишь учесть дополнительное тре
-
бование
t
0
(
τ
)
>
0
на допустимую замену параметра
t
=
t
(
τ
),
означающее сохранение ориентации кривой
Γ (1)
при переходе
к ее параметрическому заданию с помощью параметра
τ
.
4.
◦
Криволинейный интеграл второго рода меняет знак на
противоположный при изменении ориентации кривой
Γ
на противоположную
.
Для обоснования воспользуемся равенством
(7).
Напомним
,
что интеграл первого рода не меняется при изменении ориента
-
ции кривой
.
В то же время в
(7)
множители
cos
α
, cos
β
, cos
γ
,
а значит
,
и все подынтегральное выражение меняют знак на
противоположный
.
Следовательно
,
и интеграл в правой части
(7)
меняет знак
на противоположный
.
48
Глава
20.
Криволинейные интегралы
5.
◦
Если
A
= (
x
a
, y
a
, z
a
)
,
B
= (
x
b
, y
b
, z
b
)
,
то
Z
AB
dx
=
x
b
−
x
a
,
Z
AB
dy
=
y
b
−
y
a
,
Z
AB
dz
=
z
b
−
z
a
.
6.
◦
Криволинейные интегралы как первого
,
так и вто
-
рого рода обладают свойством
аддитивности относи
-
тельно кривой интегрирования
.
Поясним его
.
Пусть кривая
Γ
задана уравнением
(1),
a < c < b
,
Γ
1
=
{
~r
(
t
)
, a
6
t
6
c
}
,
Γ
2
=
{
~r
(
t
)
, c
6
t
6
b
}
.
Тогда
Z
Γ
(
~a, d~r
) =
Z
Γ
1
(
~a, d~r
) +
Z
Γ
2
(
~a, d~r
)
,
если интеграл слева или оба интеграла справа существуют
.
Это свойство следует из выражения
(3)
криволинейного ин
-
теграла второго рода через определенный интеграл и аддитив
-
ности определенного интеграла относительно отрезков инте
-
грирования
.
Обобщим понятие криволинейных интегралов первого и
второго рода на интегрирование по кусочно гладким кривым
.
Определение
2.
Пусть
Γ =
{
~r
(
t
),
a
6
t
6
b
}
—
кусочно
гладкая
(
ориентированная
)
кривая
,
a
=
a
0
< a
1
< . . . < a
k
=
=
b
, Γ
i
=
{
~r
(
t
),
a
i
−
1
6
t
6
a
i
}
(
i
= 1,
. . . ,
k
) —
гладкие
(
ориентированные
)
кривые
.
Тогда
Z
Γ
F ds
B
k
X
i
=1
Z
Γ
i
F ds
Z
Γ
(
~a, d~r
)
B
k
X
i
=1
Z
Γ
i
(
~a, d~r
)
!
,
если каждый из интегралов в правой части равенства суще
-
ствует
.
Пусть ориентированная кривая
Γ =
{
~r
(
t
):
a
6
t
6
b
} ⊂
R
3
,
τ
=
{
t
i
}
i
τ
i
=0
—
разбиение отрезка
[
a, b
],
|
τ
|
= max(
t
i
−
t
i
−
1
) —
мелкость разбиения
.
Пусть
Λ
τ
—
ломаная с вершинами в точ
-
ках
ˆ
r
(
t
i
),
последовательно соединенных ее звеньями
.
Такая ло
-
маная называется вписанной в кривую
Γ.
Ломаную
Λ
τ
также
§
20.2.
Криволинейные интегралы второго рода
49
будем считать ориентированной
(
при движении точки по ней
ее вершины проходятся в порядке возрастания чисел
i
, ˆ
r
(
a
) —
начало ломаной
, ˆ
r
(
b
) —
ее конец
).
Лемма
1 (
об аппроксимации криволинейного инте
-
грала
).
Пусть
Γ =
{
~r
(
t
)
:
a
6
t
6
b
}
—
гладкая ориентирован
-
ная кривая в
R
3
,
τ
=
{
t
i
}
i
τ
i
=0
—
разбиение отрезка
[
a, b
]
,
Λ
τ
—
вписанная в
Γ
ломаная
.
Пусть
E
—
компакт в
R
3
(
т
.
е
.
ограниченное замкнутое
множество
),
содержащий
Γ
и
Λ
τ
при всех достаточно малых
|
τ
|
.
Пусть на
E
заданы непрерывные функции
P
,
Q
,
R
.
Тогда
lim
|
τ
|→
0
Z
Λ
τ
P dx
+
Q dy
+
R dz
=
Z
Γ
P dx
+
Q dy
+
R dz.
Д о к а з а т е л ь с т в о проведем лишь для случая
Q
≡
≡
R
≡
0.
Положим
A
i
= ˆ
r
(
t
i
),
A
i
−
1
A
i
=
{
~r
(
t
):
t
i
−
1
6
t
6
t
i
}
,
через
A
i
−
1
A
i
обозначим звено вписанной ломаной с началом в
A
i
−
1
и концом в
A
i
.
Пусть
ε >
0.
В силу равномерной непре
-
рывности
~r
=
~r
(
t
)
на
[
a, b
]
существует
δ
=
δ
(
ε
)
>
0
такое
,
что
при произвольном разбиении
τ
,
|
τ
|
< δ
, Λ
τ
⊂
E
,
|
~r
(
t
)
−
~r
(
t
i
)
|
< ε
∀
t
∈
[
t
i
−
1
, t
i
]
,
∀
i
= 1
, . . . , i
τ
,
(8)
так что
A
i
−
1
A
i
и
A
i
−
1
A
i
лежат в
E
∩
U
ε
(
A
i
−
1
).
Зададим произвольно
η >
0.
В силу непрерывности
,
а зна
-
чит
,
и равномерной непрерывности
P
на
E
существует
ε
=
=
ε
(
η
)
>
0
такое
,
что
|
P
(
M
)
−
P
(
A
i
)
|
< η,
если
M
∈
E
∩
U
ε
(
A
i
−
1
)
,
i
∈ {
1
, . . . , i
τ
}
.
(9)
Будем считать
,
что
|
τ
|
< δ
,
где
δ
=
δ
(
ε
)
выбрано по
ε
=
ε
(
η
),
так что выполняются оценки
(8), (9).
Оценим разность инте
-
гралов
∆
i
B
Z
A
i
−
1
A
i
P dx
−
Z
A
i
−
1
A
i
P dx
=
Z
A
i
−
1
A
i
A
i
−
1
A
i
P dx
=
50
Глава
20.
Криволинейные интегралы
=
Z
A
i
−
1
A
i
A
i
−
1
A
i
(
P
(
x, y, z
)
−
P
(
A
i
))
dx
+
Z
A
i
−
1
A
i
A
i
−
1
A
i
P
(
A
i
)
dx,
где
A
i
−
1
A
i
A
i
−
1
A
i
означает контур
,
составленный из дуги
A
i
−
1
A
i
и ее хорды
.
Последний интеграл равен нулю в силу свойства
5
◦
криво
-
линейных интегралов второго рода
.
В силу
(9)
|
∆
i
|
< η
2(
s
(
t
i
)
−
s
(
t
i
−
1
))
,
где
s
(
t
) —
переменная длина дуги
Γ,
отсчитываемая от ее на
-
чала
.
Следовательно
,
Z
Λ
τ
P dx
−
Z
Γ
P dx
=
i
τ
X
i
=1
∆
i
<
2
ηS,
где
S
—
длина дуги
Γ.
В силу произвольности
η >
0
приходим к утверждению
леммы
.
§
20.3.
Формула Грина
При изучении криволинейных интегралов рассматривались
интегралы по кривой
,
лежащей в трехмерном пространстве
R
3
.
В частности
,
кривая может лежать в плоскости
(
такая кривая
называется плоской кривой
).
В этом случае удобно считать
эту плоскость координатной
,
имеющей уравнение
z
= 0.
Тогда
кривая
Γ
имеет в этой плоскости уравнение
Γ =
{
(
x
=
x
(
t
)
, y
=
y
(
t
))
, a
6
t
6
b
}
,
а криволинейный интеграл первого рода записывается в виде
R
Γ
F
(
x, y
)
ds
.
Если на
Γ
задано векторное поле
~a
(
x, y
) =
P
(
x, y
)
~ı
+
Q
(
x, y
)
~
,
то криволинейный интеграл второго рода имеет вид
Z
Γ
P dx
+
Q dy
=
Z
Γ
(
~a, d~r
)
.
Все рассмотренные свойства криволинейных интегралов
верны
,
разумеется
,
и в плоском случае
.