ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1508
Скачиваний: 1
§
20.3.
Формула Грина
51
Пусть
D
⊂
R
2
—
плоская область и простой кусочно глад
-
кий ориентированный контур
Γ
⊂
∂D
.
Контур
Γ
будем на
-
зывать
ориентированным положительно относительно
D
и
обозначать через
Γ
+
,
если при движении по нему в направле
-
нии заданной ориентации ближайшая часть области
D
оста
-
ется слева
.
В противном случае контур
Γ
будем называть
ориентированным отрицательно относительно области
D
и
обозначать символом
Γ
−
.
Если граница
∂D
области
D
состоит из конечного числа
попарно не пересекающихся простых кусочно гладких конту
-
ров
Γ
i
(
∂D
=
S
k
i
=1
Γ
i
),
каждый из которых ориентирован поло
-
жительно относительно
D
,
то
∂D
будем обозначать символом
∂D
+
(
∂D
=
S
k
i
=1
Γ
+
i
).
D
x
y
Рис
. 20.1
Определение
1.
Плоскую область
D
назовем
простой
относительно оси
Oy
,
если она имеет вид
D
=
{
(
x, y
) :
ϕ
(
x
)
< y < ψ
(
x
)
, a < x < b
}
,
(1)
где
ϕ
,
ψ
непрерывны и кусочно непрерывно дифференцируемы
на
[
a, b
]
и
ϕ < ψ
на
(
a, b
).
Плоскую область
D
назовем
простой относительно оси
Oy
,
если она имеет вид
D
=
{
(
x, y
) :
ϕ
(
y
)
< x < ψ
(
y
)
, c < y < d
}
,
(2)
где
ϕ
,
ψ
непрерывны и кусочно непрерывно дифференцируемы
на
[
c, d
]
и
ϕ < ψ
на
(
c, d
).
52
Глава
20.
Криволинейные интегралы
Плоскую область
D
назовем
простой
,
если она является
простой относительно хотя бы одной из координатных осей
.
Будем говорить
,
что ограниченная плоская область
D
раз
-
резана
на конечное число простых областей
{
D
i
}
I
i
=1
,
если
1.
◦
S
I
i
=1
D
i
⊂
D
;
2.
◦
D
i
∩
D
j
=
∅
при
i
6
=
j
;
3.
◦
S
I
i
=1
D
i
=
D
;
4.
◦
(
∂D
i
∩
∂D
j
)
\
∂D
при
i
6
=
j
является либо пустым мно
-
жеством
,
либо отрезком прямой
.
В этом параграфе будут рассматриваться лишь такие плос
-
кие области
,
которые можно разрезать на конечное число про
-
стых
.
Теорема
1 (
формула Грина
).
Пусть
D
⊂
R
2
—
ограни
-
ченная плоская область
,
граница
∂D
которой состоит из конеч
-
ного числа попарно непересекающихся простых кусочно глад
-
ких контуров
Γ
i
(
∂D
=
S
k
i
=1
Γ
i
),
ориентированных положи
-
тельно относительно области
D
(
∂D
+
=
S
k
i
=1
Γ
+
i
).
Пусть на замкнутой области
D
задано векторное поле
~a
(
x, y
) =
P
(
x, y
)
~ı
+
Q
(
x, y
)
~
,
причем
P
,
Q
,
∂P
∂y
,
∂Q
∂x
непрерывны
на
D
(
подразумевается
,
что
∂P
∂y
,
∂Q
∂x
непрерывны на
D
и не
-
прерывно продолжены на
D
).
Тогда справедлива
формула Грина
:
Z Z
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy
=
Z
∂D
+
P dx
+
Q dy
=
Z
∂D
(
~a, d~r
)
.
(3)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Мы установим эту теорему сна
-
чала при
дополнительном предположении
,
что область
D
может быть разрезана на конечное число простых областей
.
Затем снимем это предположение
.
Достаточно установить
(3)
при
Q
≡
0,
т
.
е
.
в виде
Z Z
D
∂P
∂y
dx dy
=
−
Z
∂D
+
P dx,
(4)
т
.
к
.
случай
P
≡
0
рассматривается аналогично и вместе они
приводят к формуле
(3)
общего вида
.
§
20.3.
Формула Грина
53
1-
й ш а г
.
Установим
(4)
в случае
,
когда
D
—
простая от
-
носительно оси
Oy
область
,
т
.
е
.
имеет вид
(1) (
см
.
рис
. 20.2).
Сводя двойной интеграл к повторному и используя формулу
D
y
=
ϕ
(
x
)
y
=
ψ
(
x
)
A
B
C
D
x
y
a
b
Рис
. 20.2
Ньютона
–
Лейбница
,
имеем
Z Z
D
∂P
∂y
dx dy
=
Z
b
a
Z
ψ
(
x
)
ϕ
(
x
)
∂P
∂y
dy dx
=
=
Z
b
a
[
P
(
x, ψ
(
x
))
−
P
(
x, ϕ
(
x
))]
dx
=
=
Z
DC
P
(
x, y
)
dx
−
Z
AB
P
(
x, y
)
dx
=
=
−
Z
CD
P dx
−
Z
AB
P dx
=
−
Z
∂D
+
P dx,
т
.
е
.
равенство
(3).
При получении последнего равенства были добавлены рав
-
ные нулю слагаемые
R
BA
P dx
= 0,
R
DA
P dx
= 0.
2-
й ш а г
.
Установим
(4)
в случае
,
когда
D
—
простая от
-
носительно оси
Ox
область
,
т
.
е
.
имеет вид
(2),
причем кривые
Γ
1
=
{
(
x
=
ϕ
(
y
)
, y
) :
c
6
y
6
d
}
,
Γ
2
=
{
(
x
=
ψ
(
y
)
, y
) :
c
6
y
6
d
}
(5)
являются ломаными
.
Тогда при некотором разбиении
{
c
i
}
k
i
=0
отрезка
[
c, d
]
функции
ϕ
,
ψ
линейны на каждом отрезке
[
c
i
−
1
, c
i
].
При этом замкнутая область
D
представляется в виде
54
Глава
20.
Криволинейные интегралы
D
=
S
k
i
=1
D
i
,
где
D
i
—
трапеции
D
i
=
{
(
x, y
) :
ϕ
(
y
)
< x < ψ
(
y
)
, c
i
−
1
< y < c
i
}
,
каждая из которых является простой областью относительно
оси
Oy
.
D
x
=
ϕ
(
y
)
x
=
ψ
(
y
)
c
=
c
0
c
1
c
2
c
3
d
=
c
4
x
y
Рис
. 20.3
По доказанному на первом шаге
Z Z
D
i
∂P
∂y
dx dy
=
−
Z
∂D
+
i
P dx,
i
= 1
, . . . , k.
Сложим полученные равенства почленно
.
Тогда в левой части
в силу аддитивности двойного интеграла относительно обла
-
сти интегрирования получим
Z Z
D
∂P
∂y
P dx dy
=
k
X
i
=1
Z Z
D
i
∂P
∂y
P dx dy.
В правой же части получим
k
X
i
=1
−
Z
∂D
i
P dx
=
−
Z
∂D
+
P dx,
поскольку при сложении криволинейных интегралов по
∂D
+
i
и
∂D
+
i
+1
взаимно уничтожаются их части по отрезку
{
(
x, y
) :
ϕ
(
c
i
)
6
x
6
ψ
(
c
i
)
, y
=
c
i
}
как криволинейные интегралы второго рода
,
отличающиеся
лишь ориентацией кривой
.
Таким образом
,
формула
(4)
уста
-
новлена
.
§
20.3.
Формула Грина
55
3-
й ш а г
.
Установим
(4)
в случае
,
когда
D
—
простая от
-
носительно оси
Ox
область
,
т
.
е
.
имеющая вид
(2),
причем при
некотором
h >
0
ψ
−
ϕ
>
3
h
на
[
c, d
].
Пусть
D
h
B
{
(
x, y
) :
ϕ
(
y
) +
h < x < ψ
(
y
)
−
h, c < y < d
} ⊂
D,
Γ
1
h
=
{
(
ϕ
(
y
) +
h, y
) :
c
6
y
6
d
}
,
Γ
2
h
=
{
(
ψ
(
y
)
−
h, y
) :
c
6
y
6
d
}
,
Λ
1
hτ
=
{
(
ϕ
τ
(
y
) +
h, y
) :
c
6
y
6
d
}
,
Λ
2
hτ
=
{
(
ψ
τ
(
y
)
−
h, y
) :
c
6
y
6
d
}
—
ломаные
,
вписанные соответственно в кривые
Γ
1
h
, Γ
2
h
и
построенные с помощью разбиения
τ
отрезка
[
c, d
]
изменения
параметра
y
(
см
.
§
8.1).
Мелкость
|
τ
|
разбиения
τ
будем счи
-
тать достаточно малой
.
Пусть
D
h,τ
B
{
(
x, y
) :
ϕ
τ
(
y
) +
h < x < ψ
τ
(
y
)
−
h, c < y < d
} ⊂
D.
В силу результата шага
2
Z Z
D
h,τ
∂P
∂y
dx dy
=
−
Z
∂D
+
h,τ
P dx.
Устремляя
|
τ
| →
0,
приходим к формуле
Z Z
D
h
∂P
∂y
dx dy
=
−
Z
∂D
+
h
P dx.
(6)
В самом деле
,
при
M
= max
{
max
[
c,d
]
|
ϕ
0
|
, max
[
c,d
]
|
ψ
0
|}
мера криво
-
линейной трапеции высоты
2
M
|
τ
|
со «средней линией»
Γ
1
(Γ
2
)
равна
2
M
|
τ
|
(
d
−
c
).
Следовательно
,
Z Z
D
h
∂P
∂y
dx dy
−
Z Z
D
h,τ
∂P
∂y
dx dy
6
Z
(
D
h
\
D
h,τ
)
∪
(
D
h,τ
\
D
h
)
∂P
∂y
dx dy
6
6
max
D
∂P
∂y
4
M
|
τ
|
(
d
−
c
)
→
0
(
|
τ
| →
0)
.
Z
Λ
ihτ
P dx
→
Z
Γ
ih
P dx
→
0
(
|
τ
| →
0
, i
= 1
,
2)
по лемме
20.2.1.