ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1501
Скачиваний: 1
36
Глава
19.
Кратные интегралы
З а м е ч а н и е
.
Оценка
(4)
и ее
доказательство сохраняются и при
J
(
u
0
, v
0
) = 0,
если в левой части
(4)
вместо
µ
F
(
Q
h
)
написать
µ
∗
F
(
Q
h
).
§
19.5.
Замена переменных в кратном интеграле
Теорема
1.
Пусть
F
:
(
x
=
x
(
u, v
)
,
y
=
y
(
u, v
)
—
отображение открытого измеримого множества
G
⊂
R
2
uv
на
открытое измеримое множество
G
∗
⊂
R
2
xy
:
R
2
u,v
⊃
G
откр
.
измер
.
F
G
∗
откр
.
измер
.
⊂
R
2
x,y
,
со свойствами
:
1.
◦
F
взаимно однозначно отображает
G
на
G
∗
,
2.
◦
F
непрерывно дифференцируемо на
G
,
3.
◦
J
(
u, v
) =
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
6
= 0
на
G
,
4.
◦
F
, J
непрерывно продолжимы на
G
,
5.
◦
функция
f
непрерывна на
G
∗
и непрерывно продолжима
на
G
∗
.
Тогда
Z Z
G
∗
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z Z
G
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
du dv.
(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Обе части
(1)
существуют в силу
непрерывности подынтегральных выражений на замыканиях
измеримых множеств интегрирования
.
Будем считать до конца доказательства
,
что
f >
0
на
G
∗
.
Это ограничение не снижает общности
.
В самом деле
,
если
M >
sup
G
∗
|
f
|
,
f
(
x
) =
f
1
(
x
)
−
f
2
(
x
)
,
где
f
1
(
x
) =
f
(
x
) +
M >
0
,
f
2
(
x
) =
M >
0
,
§
19.5.
Замена переменных в кратном интеграле
37
и если
(1)
установлено для
f
1
и
f
2
,
то оно оказывается верным
и для
f
=
f
1
−
f
2
.
1-
й ш а г
.
Покажем
,
что
Z Z
F
(
Q
)
f
(
x, y
)
dx dy
6
Z Z
Q
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
|
J
(
u, v
)
|
du dv,
(2)
где
Q
=
{
(
u, v
):
u
1
6
u
6
u
1
+
h
1
,
v
1
6
v
6
v
1
+
h
2
} ⊂
G
.
Рас
-
суждая от противного
,
предположим
,
что равенство
(2)
нару
-
шено
,
т
.
е
.
при некотором
ε
0
>
0
Z Z
F
(
Q
)
f
(
x, y
)
dx dy
>
(1+
ε
0
)
Z Z
Q
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
|
J
(
u, v
)
|
du dv.
(3)
Разобьем
Q
на
4
равных замкнутых квадрата
.
Обозначим че
-
рез
Q
(1)
тот из них
,
для которого
(
при
k
= 1)
Z Z
F
(
Q
(
k
)
)
f
(
x, y
)
dx dy
>
>
(1 +
ε
0
)
Z Z
Q
(
k
)
F
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
|
J
(
u, v
)
|
du dv.
(4)
Такой квадрат
Q
(1)
существует
:
предположив противное и сло
-
жив
4
неравенства
,
противоположных неравенству типа
(4)
при
k
= 1,
входим в противоречие с
(3).
Разобьем
Q
(1)
на
4
равных замкнутых квадрата и обозначим через
Q
(2)
тот из
них
,
для которого выполняется
(
с
k
= 2)
неравенство
(4).
Про
-
должая деление
,
получим систему вложенных прямоугольни
-
ков
{
Q
(
k
)
}
∞
1
со свойством
(4).
В силу принципа вложенных от
-
резков
(
таковыми являются проекции
Q
(
k
)
)
существует точка
(
u
0
, v
0
)
∈
Q
(
k
)
при всех
k
.
Из
(4)
в силу теоремы о среднем для
интеграла имеем
f
(˜
x
k
,
˜
y
k
)
µ
F
(
Q
(
k
)
)
>
(1 +
ε
0
)
f
[
x
(¯
u
k
,
¯
v
k
)
, y
(¯
u
k
,
¯
v
k
)]
|
J
(¯
u
k
,
¯
v
k
)
|
µQ
(
k
)
при некоторых
(˜
x
k
,
˜
y
k
)
∈ F
(
Q
(
k
)
), (¯
u
k
,
¯
v
k
)
∈
Q
(
k
)
.
Оценивая
µ
F
(
Q
(
k
)
)
с помощью леммы
19.4.3,
при
k
→ ∞
имеем
[
f
(
x
0
, y
0
) +
o
(1)] [
|
J
(
u
0
, v
0
)
|
+
o
(1)]
>
38
Глава
19.
Кратные интегралы
>
(1 +
ε
0
)[
f
(
x
0
, y
0
) +
o
(1)][
|
J
(
u
0
, v
0
)
|
+
o
(1)]
,
что неверно при
f >
0,
|
J
|
>
0.
Таким образом
,
неравенство
(2)
установлено
.
2-
й ш а г
.
Пусть
A
— (
составленное из полуоткрытых ква
-
дратов
)
элементарное множество
(
см
.
определение
18.1.2),
A
⊂
⊂
G
.
В силу аддитивности интеграла по множествам интегри
-
рования почленным сложением нескольких неравенств вида
(2)
получаем
,
что
Z Z
F
(
A
)
f
(
x, y
)
dx dy
6
Z Z
A
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
|
J
(
u, v
)
|
du dv
6
6
Z Z
G
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
|
J
(
u, v
)
|
du dv.
(5)
Пусть
A
∗
—
элементарное множество
,
причем
A
∗
⊂
A
∗
⊂
⊂
G
∗
.
Тогда найдется такое
(
составленное из полуоткрытых
квадратов
)
элементарное множество
A
⊂
A
⊂
G
,
что
F
−
1
(
A
∗
)
⊂
A
⊂
G.
(6)
В самом деле
,
множество
F
−
1
(
A
∗
)
замкнуто по лемме
19.4.2.
Следовательно
,
dist(
F
−
1
(
A
∗
)
,
R
2
\
G
) =
ρ >
0
.
Построим множество
A
следующим образом
.
Разобьем
R
2
с помощью координатной сетки на полуоткрытые квадраты
(
п
-
квадраты
)
с диагональю
,
не превосходящей
ρ
2
и в качестве
A
возьмем объединение всех п
-
квадратов
,
имеющих непустое
пересечение с
F
−
1
(
A
∗
).
Из
(6)
и
(5)
получаем теперь
,
что
A
∗
⊂
A
∗
⊂ F
(
A
),
Z Z
A
∗
f
(
x, y
)
dx dy
6
Z Z
G
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
|
J
(
u, v
)
|
du dv.
(7)
3-
й ш а г
.
Установим неравенство
Z Z
G
∗
f
(
x, y
)
dx dy
6
Z Z
G
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
|
J
(
u, v
)
|
du dv.
(8)
При
∀
k
∈
N
легко можно построить элементарное множе
-
ство
A
∗
k
со свойствами
§
19.5.
Замена переменных в кратном интеграле
39
A
∗
k
⊂
A
∗
k
⊂
G,
µ
(
G
∗
\
A
∗
k
)
<
1
k
.
Поскольку
0
< f
(
x, y
)
6
M
,
Z Z
G
∗
f
(
x, y
)
dx dy
−
Z Z
A
∗
k
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z Z
G
∗
\
A
∗
k
f
(
x, y
)
dx dy
6
6
M
1
k
→
0
при
k
→ ∞
.
(9)
Подставив в
(7)
A
∗
k
вместо
A
∗
и переходя к пределу при
k
→ ∞
,
получаем в силу
(9)
оценку
(8).
4-
й ш а г
.
Установим равенство
(1).
Пусть элементарное
множество
A
k
⊂
A
k
⊂
G
,
µ
(
G
\
A
k
)
<
1
k
.
Применим доказан
-
ное неравенство
(8)
к обратному отображению
F
−
1
(
якобиан
которого
∂
(
u, v
)
∂
(
x, y
)
=
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
−
1
=
1
J
(
u, v
)
ограничен на
F
(
A
k
))
и к функции
g
(
u, v
)
B
f
[
x
(
u, v
),
y
(
u, v
)]
|
J
(
u, v
)
|
.
Получим
Z Z
A
k
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
du dv
6
Z Z
F
(
A
k
)
f
(
x, y
)
dx dy
6
6
Z Z
G
∗
f
(
x, y
)
dx dy.
(10)
Из
(10)
предельным переходом при
k
→ ∞
,
как и на тре
-
тьем шаге
,
получаем неравенство
,
противоположное неравен
-
ству
(8).
Из него и из
(8)
следует
(1).
Теорема доказана
.
З а м е ч а н и е
.
Теорема
1
справедлива и при более
общих условиях
:
вместо условия
4
◦
достаточно предположить
,
что произведение
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
|
J
(
u, v
)
|
непрерывно продол
-
жимо на
G
.
Для обоснования в равенстве
(1),
написанном для
A
k
и
F
(
A
k
)
вместо соответственно
G
и
G
∗
,
следует перейти к
пределу при
k
→ ∞
.
Следствие
1.
В условиях теоремы
1
µG
∗
=
Z Z
G
∗
1
dx dy
=
Z Z
G
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
du dv.
(11)
40
Глава
19.
Кратные интегралы
Д о к а з а т е л ь с т в о
теоремы
1.
Применим
(11)
к
int
Q
h
.
По теореме о среднем для интеграла имеем
µ
F
(
Q
h
) =
|
J
(˜
u
h
,
˜
v
h
)
|
µQ
h
,
G
h
3
(˜
u
h
,
˜
v
h
)
→
(
u
0
, v
0
)
при
h
→
0
.
Отсюда следует утверждение теоремы
1.
Теорема
2.
Пусть выполнены условия
1
◦
,
2
◦
,
3
◦
теоремы
1
и
,
кроме того
,
f
ограничена на
G
∗
,
а произведение
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)]
J
(
u, v
)
ограничено на
G.
Тогда
,
если существует один из интегралов в
(1)
,
то суще
-
ствует и другой
,
и справедливо равенство
(1)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Рассмотрим для определенности
лишь случай
,
когда существует интеграл из правой части
(1).
Будем считать
,
что
f
>
0,
так как общий случай функции
f
произвольного знака немедленно сводится к этому с помощью
представления
f
=
f
+
−
f
−
,
где
f
+
=
1
2
(
|
f
|
+
f
)
>
0
и
f
−
=
=
1
2
(
|
f
| −
f
)
>
0.
Покажем
,
что существует интеграл из левой
части
(2)
и справедливо неравенство
(2).
Из ограниченности
|
J
|
−
1
на
P
и существования интеграла в правой части
(2)
сле
-
дует существование интеграла
RR
P
˜
f
(
u, v
)
du dv
,
где
˜
f
(
u, v
)
B
f
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)] = ˜
f
|
J
| ·
1
|
J
|
.
Пусть
P
∗
=
F
(
P
),
τ
=
τ
(
P
) =
{
E
i
}
i
τ
1
,
τ
∗
=
τ
∗
(
P
∗
) =
{
E
∗
i
}
i
τ
1
=
{F
(
E
i
)
}
i
τ
i
=1
(12)
—
разбиения соответственно
P
и
P
∗
.
В силу леммы
19.4.1,
примененной к отображению
F
−
1
, diam
E
i
6
K
diam
E
∗
i
при
некоторой постоянной
K
,
откуда
|
τ
|
6
K
|
τ
∗
|
.
(13)
Пусть
,
далее
,
ω
( ˜
f , E
i
),
ω
(
f, E
∗
i
) —
колебания функций
˜
f
,
f
соответственно на
E
i
,
E
∗
i
.
Тогда
i
τ
X
i
=1
ω
(
f, E
∗
i
)
µE
∗
i
=
i
τ
X
i
=1
ω
( ˜
f , E
i
)
Z Z
E
i
|
J
(
u, v
)
|
du dv
6