ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1505
Скачиваний: 1
§
19.5.
Замена переменных в кратном интеграле
41
6
max
P
|
J
|
i
τ
X
i
=1
ω
( ˜
f , E
i
)
µE
i
→
0
при
|
τ
∗
| →
0
,
поскольку при этом в силу
(13)
и
|
τ
| →
0.
В силу критерия интегрируемости существует интеграл
в левой части
(2).
Установим теперь само неравенство
(2).
Воспользуемся разбиениями
(12),
в которых будем считать за
-
мкнутыми множества
E
i
=
E
i
.
Пусть в точке
(
u
i
, v
i
)
достига
-
ется
max
E
i
|
J
|
=
|
J
(
u
i
, v
i
)
|
,
x
i
=
x
(
u
i
, v
i
)
,
y
i
=
y
(
u
i
, v
i
)
.
Тогда
i
τ
X
i
=1
f
(
x
i
, y
i
)
µE
∗
i
=
i
τ
X
i
=1
f
(
x
i
, y
i
)
Z Z
E
i
|
J
(
u, v
)
|
du dv
6
6
i
τ
X
i
=1
f
[
x
(
u
i
, v
i
)
, y
(
u
i
, v
i
)]
|
J
(
u
i
, v
i
)
|
µE
i
.
Переходя к пределу в этом неравенстве для сумм Римана
при
|
τ
| →
0 (
а значит
,
и
|
τ
∗
| →
0),
приходим к неравенству
(2).
Оставшаяся часть доказательства теоремы
2
повторяет со
-
ответствующую часть доказательства теоремы
1,
если исполь
-
зовать свойство полной аддитивности интеграла по множе
-
ствам в более общей форме
.
Сформулируем его в виде леммы
.
Лемма
1.
Пусть
G
,
G
i
—
измеримые множества
n
-
мерного
евклидова пространства
,
G
1
⊂
G
2
⊂
. . .
⊂
G
,
µ
(
G
\
G
i
)
→
0
при
i
→ ∞
.
Пусть функция
f
ограничена на
G
и интегрируема
на любом
G
i
.
Тогда
f
интегрируема на
G
и
lim
i
→∞
Z
G
i
f dx
=
Z
G
f dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о леммы предоставляется читателю
.
Приведем обобщения теорем
1, 2
на
n
-
мерный случай
.
42
Глава
19.
Кратные интегралы
Через
F
: (
x
=
x
(
t
))
обозначим отображение
R
n
t
⊃
G
откр
.
F
G
∗
откр
.
⊂
R
n
x
открытого множества
G
евклидова пространства
R
n
t
на откры
-
тое множество
G
∗
⊂
R
n
x
со свойствами
:
1.
◦
F
взаимно однозначно отображает
G
на
G
∗
;
2.
◦
F
непрерывно дифференцируемо на
G
;
3.
◦
J
(
t
) =
∂
(
x
1
, . . . , x
n
)
∂
(
t
1
, . . . , t
n
)
6≡
0
на
G
.
Теорема
3.
Пусть выполнены условия
1
◦
,
2
◦
,
3
◦
,
t
(0)
∈
G
,
G
⊃
Q
h
=
{
t
:
t
(
h
)
i
6
t
i
6
t
h
i
+
h,
i
= 1
,
2
, . . . , n
} 3
t
(0)
,
0
<
< h
6
h
0
.
Тогда
lim
h
→
0
µ
F
(
Q
h
)
µQ
h
=
|
J
(
t
(0)
)
|
.
Теорема
4.
Пусть выполнены условия
1
◦
,
2
◦
,
3
◦
,
G
,
G
∗
—
открытые измеримые множества
,
функция
f
ограничена на
G
∗
,
произведение
f
(
x
(
t
))
J
(
t
)
ограничено на
G
.
Тогда
Z
G
∗
f
(
x
)
dx
=
Z
G
f
[
x
(
t
)]
|
J
(
t
)
|
dt,
если хотя бы один из этих интегралов существует
.
Следствие
2.
Пусть выполнены условия
1
◦
,
2
◦
,
3
◦
,
G
,
G
∗
—
открытые измеримые множества
,
якобиан
J
ограничен на
G
.
Тогда
µG
∗
=
Z
G
∗
dx
=
Z
G
|
J
(
t
)
|
dt.
Д о к а з а т е л ь с т в а теорем и следствия аналогичны
приведенным выше для случая
n
= 2.
Глава
20
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§
20.1.
Криволинейные интегралы первого рода
Пусть в трехмерном евклидовом пространстве
R
3
задана
гладкая кривая
Γ =
{
~r
(
t
)
, a
6
t
6
b
}
=
{
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
, a
6
t
6
b
}
,
(1)
т
.
е
.
непрерывно дифференцируемая кривая без особых то
-
чек
(
последнее условие означает
,
что
|
r
0
(
t
)
|
2
=
x
0
2
(
t
) +
y
0
2
(
t
) +
+
z
0
2
(
t
)
>
0
на
[
a, b
]).
Определение
1.
Пусть числовая функция
F
:
E
→
R
за
-
дана на множестве
Γ.
Тогда
Z
Γ
F
(
x, y, z
)
ds
B
Z
b
a
F
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
|
~r
0
(
t
)
|
dt
(2)
называется
криволинейным интегралом первого рода
от функ
-
ции
F
по кривой
Γ.
Установим некоторые свойства криволинейного инте
-
грала
(2).
1.
◦
Для существования интеграла
R
Γ
F
(
x, y, z
)
ds
необхо
-
димо и достаточно
,
чтобы функция
F
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
(
как функция переменной
t
)
была интегрируемой на
отрезке
[
a, b
]
.
В частности
,
если
F
непрерывна на
Γ
(
см
.
определение
10.5.2
),
то
R
Γ
F
(
x, y, z
)
ds
существует
.
2.
◦
Криволинейный интеграл первого рода не зависит от
параметризации гладкой кривой
Γ
.
Пусть
t
=
t
(
τ
) —
допустимая замена параметра на
Γ
(
см
.
§
8.2),
~ρ
(
τ
) =
~r
(
t
(
τ
)).
Тогда
Γ =
{
~ρ
(
τ
)
, α
6
τ
6
β
}
.
Совершив замену переменной в интеграле
,
получаем
Z
β
α
F
(
x
(
t
(
τ
))
, y
(
t
(
τ
))
, z
(
t
(
τ
)))
|
~ρ
0
(
τ
)
|
dτ
=
44
Глава
20.
Криволинейные интегралы
=
Z
β
α
F
(
x
(
t
(
τ
))
, y
(
t
(
τ
))
, z
(
t
(
τ
)))
d~r
dt
(
t
(
τ
))
|
t
0
(
τ
)
|
dτ
=
=
Z
τ
−
1
(
b
)
τ
−
1
(
a
)
F
(
x
(
t
(
τ
))
, y
(
t
(
τ
))
, z
(
t
(
τ
)))
d~r
dt
(
t
(
τ
))
t
0
(
τ
)
dτ
=
=
Z
b
a
F
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
|
~r
0
(
t
)
|
dt.
З а м е ч а н и е
.
Последняя замена переменной об
-
основана ранее лишь для случая непрерывной функции
F
(
те
-
орема
14.5.1).
Для ее обоснования в случае интегрируемой
функции
F
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
достаточно сослаться на следующее
обобщение специального случая теоремы
14.5.1.
Теорема
1 (14.5.1).
Пусть функции
ϕ
,
ϕ
0
непрерывны
на отрезке
[
α, β
]
,
ϕ
0
6
= 0
на
[
α, β
]
,
ϕ
(
α
) =
a
,
ϕ
(
β
) =
b
.
Тогда из существования интеграла в одной из частей ра
-
венства
Z
b
a
f
(
x
)
dx
=
Z
β
α
f
(
ϕ
(
t
))
ϕ
0
(
t
)
dt
(3)
следует существование интеграла в другой его части и спра
-
ведливость равенства
(3)
.
Эта теорема формально содержится в теореме
19.5.2,
а не
-
посредственно ее доказательство можно получить в виде упро
-
щенного аналога доказательства теоремы
19.5.2.
Следствие
.
Криволинейный интеграл первого рода не за
-
висит от ориентации кривой
.
В самом деле
,
если
Γ (1)
не только гладкая
,
а гладкая
ориентированная кривая
(
ее ориентация определяется возра
-
станием параметра
t
),
то замена параметра
t
=
t
(
τ
) =
−
τ
(
−
b
6
τ
6
−
a
)
меняет на ней ориентацию на противополож
-
ную
.
В силу свойства
1
◦
величина криволинейного интеграла
,
вычисленного с помощью параметра
τ
,
та же
,
что и вычислен
-
ного с помощью исходного параметра
t
.
Заметим
,
что гладкая кривая является спрямляемой
,
и в ка
-
честве допустимого параметра можно взять переменную длину
§
20.2.
Криволинейные интегралы второго рода
45
ее дуги
S
,
отсчитываемую от
A
.
Тогда
Γ
описывается уравне
-
нием
Γ =
{
~r
(
s
)
,
0
6
s
6
S
}
=
{
(
x
(
s
)
, y
(
s
)
, z
(
s
))
,
0
6
s
6
S
}
,
где
S
—
длина кривой
,
а интеграл
(1)
равен
Z
Γ
F
(
x, y, z
)
ds
=
Z
S
0
F
(
x
(
s
)
, y
(
s
)
, z
(
s
))
ds.
(4)
3.
◦
R
Γ
ds
=
S
,
где
S
—
длина дуги
Γ
.
Для обоснования достаточно воспользоваться формулой
(4)
при
F
= 1.
4.
◦
R
Γ
F
(
x, y, z
)
ds
= lim
|
τ
|→
0
i
τ
P
i
=1
F
(
x
(
ξ
i
)
, y
(
ξ
i
)
, z
(
ξ
i
))∆
s
i
,
где
τ
=
=
{
s
i
}
i
τ
i
=0
—
разбиение отрезка
[0
, S
]
,
∆
s
i
=
s
i
−
s
i
−
1
—
длина дуги кривой
Γ
от точки
ˆ
r
(
s
i
−
1
)
до точки
ˆ
r
(
s
i
)
,
s
i
−
1
6
ξ
i
6
s
i
.
Для доказательства свойства
4
◦
заметим
,
что под знаком
предела в правой части стоит интегральная сумма Римана ин
-
теграла из правой части
(4),
так что по определению опре
-
деленного интеграла этот предел равен интегралу из правой
части
(4).
З а м е ч а н и е
.
Часто криволинейный интеграл пер
-
вого рода определяют формулой
(4).
В этом случае от кривой
Γ
требуется лишь свойство быть спрямляемой
.
§
20.2.
Криволинейные интегралы второго рода
Пусть
Γ =
{
~r
(
t
)
, a
6
t
6
b
}
=
{
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
, a
6
t
6
b
}
(1)
—
гладкая
ориентированная
кривая в трехмерном простран
-
стве
,
A
= ˆ
r
(
a
) —
ее начало
,
B
= ˆ
r
(
b
) —
ее конец
.
Часто такую
кривую обозначают символом
AB
.
Ее единичный касательный
вектор
~t
=
~r
0
(
t
)
|
~r
0
(
t
)
|
=
dx
ds
,
dy
ds
,
dz
ds
= (cos
α,
cos
β,
cos
γ
)
(2)