ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1507
Скачиваний: 1
56
Глава
20.
Криволинейные интегралы
При
h
→
0
левая часть
(6)
стремится к
RR
D
∂P
∂y
dx dy
,
т
.
к
.
Z Z
D
\
D
h
∂P
∂y
dx dy
6
max
D
∂P
∂y
µ
(
D
\
D
h
) = max
D
∂P
∂y
h
(
d
−
c
)
.
Остается показать
,
что правая часть
(6)
при
h
→
0
стре
-
мится к
R
∂D
+
P dx
и перейти в
(6)
к пределу
.
Для этого доста
-
точно установить
,
что
Z
Γ
ih
P dx
→
Z
Γ
i
P dx
при
h
→
0
(
i
= 1
,
2)
,
(7)
поскольку очевидно
,
что при
h
→
0
Z
ϕ
(
c
)+
h
ϕ
(
c
)
+
Z
ψ
(
c
)
ψ
(
c
)
−
h
!
|
P
(
x, c
)
|
dx
+
+
Z
ϕ
(
d
)+
h
ϕ
(
d
)
+
Z
ψ
(
d
)
ψ
(
d
)
−
h
!
|
P
(
x, d
)
|
dx
→
0
.
Для доказательства
(7)
при
i
= 1
выберем
y
в качестве
параметра на
Γ
1
и на
Γ
1
h
.
Тогда
,
используя модуль непрерыв
-
ности функции
P
на
D
,
имеем
Z
Γ
1
P dx
−
Z
Γ
1
h
P dx
6
d
Z
c
|
P
(
ϕ
(
y
)
, y
)
−
P
(
ϕ
(
y
)
−
h, y
)
| |
ϕ
0
(
y
)
|
dy
6
6
ω
(
h, P, D
) max
[
c,d
]
|
ϕ
0
|
(
d
−
c
)
→
0
при
h
→
0
.
Аналогично устанавливается
(7)
при
i
= 2.
Утверждение шага
3
установлено
.
4-
й ш а г
.
Установим
(4)
для простой относительно
Ox
области
D
,
т
.
е
.
имеющей вид
(2)
с кусочно гладкими кри
-
выми
(5).
Здесь не исключаются случаи
,
когда
ϕ
(
c
) =
ψ
(
c
)
и
(
или
)
ϕ
(
d
) =
ψ
(
d
).
Пусть
ε >
0,
D
ε
=
{
(
x, y
) :
ϕ
(
y
)
< x < ψ
(
y
)
, c
+
ε < y < d
−
ε
}
.
Формула
(4)
верна для области
D
ε
в силу результата шага
3.
Остается перейти в ней к пределу при
ε
→
0.
§
20.3.
Формула Грина
57
5-
й ш а г
.
Установим
(4)
в условиях теоремы
1
при допол
-
нительном предположении
,
что область
D
может быть разре
-
зана на конечное число простых областей
{
D
i
}
I
i
−
1
.
Напишем формулу
(4)
для каждой простой области
D
i
:
Z Z
D
i
∂P
∂y
dx dy
=
−
Z
∂D
+
i
P dx
(1
6
i
6
I
)
(8)
и сложим почленно эти равенства
.
В силу аддитивности двой
-
ного интеграла относительно области интегрирования и ра
-
венства нулю интеграла по множеству нулевой меры
I
X
i
=1
Z Z
D
i
∂P
∂y
dx dy
=
Z Z
D
∂P
∂y
dx dy.
(9)
При сложении правых частей
(8)
учтем
,
что
∂D
+
i
=
∂
0
D
+
i
∪
∂
00
D
+
i
,
где
∂
0
D
i
=
D
∩
∂D
i
,
∂
00
D
i
=
∂D
∩
∂D
i
—
соответственно
«внутренняя» и «внешняя» части границы
∂D
i
.
Ясно
,
что
S
I
i
=1
∂
00
D
i
=
∂D
.
Пусть при
j
6
=
i
множество
E
ij
B
∂
0
D
i
∩
∂
0
D
j
6
=
∅
.
Тогда
оно представляет собой отрезок
,
наделенный противополож
-
ными ориентациями
(
положительной относительно
D
i
и поло
-
жительной относительно
D
j
).
Поэтому при сложении правых
частей
(8)
«части» криволинейных интегралов по
∂D
+
i
и
∂D
+
j
(
интегралы по отрезкам
E
ij
)
взаимно уничтожатся
.
Поэтому
I
X
i
=1
Z
∂D
+
i
P dx
=
I
X
i
=1
Z
∂
00
D
+
i
P dx
=
Z
∂D
+
P dx.
(10)
Из
(9)
и
(10)
следует
(4).
Итак
,
теорема
1 (
формула
(3))
установлена при дополни
-
тельном предположении
,
что область
D
можно разрезать на
конечное число простых областей
.
Примерами таких областей являются
,
очевидно
,
круг и
кольцо
.
7-
й ш а г
.
Для доказательства теоремы в приведенной фор
-
мулировке достаточно воспользоваться следующей леммой
.
58
Глава
20.
Криволинейные интегралы
Лемма
1.
Ограниченная плоская область
D
с границей
∂D
,
состоящей из конечного числа попарно не пересекающихся
простых кусочно гладких контуров
Γ
i
(
∂D
=
S
I
i
=1
Γ
i
),
может
быть разрезана на конечное число простых областей
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Идея состоит в том
,
чтобы по
-
крыть область
D
некоторым семейством попарно не пересе
-
кающихся замкнутых прямоугольников и требуемые простые
области получить в качестве пересечения внутренности ка
-
ждого из этих прямоугольников с
D
либо в качестве такого
пересечения с одним дополнительным разрезом
.
До конца доказательства под прямоугольниками будем по
-
нимать замкнутые прямоугольники со сторонами
,
параллель
-
ными координатным осям
.
1-
й ш а г
.
Построим сначала покрытие границы
∂D
=
=
S
I
i
=1
Γ
i
.
Будем брать только прямоугольники
,
по диаметру
меньшие достаточно малого числа
δ >
0.
Тогда покрытия раз
-
личных кривых
Γ
i
, Γ
j
(
i
6
=
j
)
не пересекаются
.
Точку границы
∂D
назовем
угловой
,
если единичный каса
-
тельный вектор контура
Γ
i
,
проходящего через эту точку
,
не
является в ней непрерывным
.
Граница
∂D
может либо не со
-
держать угловых точек
,
либо иметь их в конечном числе
.
При
наличии угловых точек покроем каждую из них прямоуголь
-
ником
(
квадратом по форме
)
с центром в ней
.
Мы получим
покрытие
S
l
i
=1
Q
i
множества угловых точек
.
Без ограниче
-
ния общности будем считать
,
что
dist(
Q
i
, Q
j
)
> δ
при
i
6
=
j
.
Вблизи центра
Q
i
граница
∂D
представляет собой кривую
,
со
-
ставленную из двух простых дуг
,
имеющих в центре
Q
i
одно
-
сторонние касательные и отклоняющихся от этих касательных
на величину
,
бесконечно малую сравнительно с расстоянием до
центра
.
Будем считать
Q
i
столь малыми по диаметру
,
что ка
-
ждая из этих дуг пересекает под ненулевым углом ту же сто
-
рону
Q
i
,
что и односторонняя касательная к ней в центре
Q
i
,
и что
D
i
=
D
∩
int
Q
i
(1
6
i
6
k
)
,
либо является простой областью
,
либо может быть разрезана
(
удалением интервала с концом в центре
Q
i
)
на две простые
§
20.3.
Формула Грина
59
области
.
Прямоугольники
Q
i
построенного покрытия
S
l
i
=1
Q
i
назовем
угловыми
.
2-
й ш а г
.
Часть границы
∂
0
D
B
∂D
\
int
S
l
i
=1
Q
i
предста
-
вляет собой конечное множество простых гладких кривых или
простых гладких контуров
.
Для построения покрытия
∂
0
D
по
-
строим покрытие для каждой кривой или контура в отдельно
-
сти и объединим их
.
Пусть
,
например
,
сначала
Γ =
{
~r
(
t
) :
a
6
t
6
b
}
(11)
—
простой гладкий контур и
~τ
= (cos
α,
sin
α
) —
единичный
вектор его касательной
,
где
α
=
α
(
t
) —
угол между
~τ
и поло
-
жительным направлением оси
Ox
.
Координаты
~τ
,
т
.
е
. cos
α
и
sin
α
непрерывно зависят от
t
.
Разобьем отрезок
[
a, b
]
точками
{
t
j
}
j
∗
j
=0
на конечное число
отрезков
,
так чтобы для каждой дуги
Γ
(
j
)
=
{
~r
(
t
)
, t
j
−
1
6
t
6
t
j
}
,
1
6
j
6
j
∗
(12)
выполнялось либо неравенство
tg
|
α
|
<
2
на
[
t
j
−
1
, t
j
]
(
такую дугу будем называть дугой
горизонтального типа
),
либо неравенство
|
ctg
α
|
<
2
на
[
t
j
−
1
, t
j
]
(
такую дугу будем называть дугой
вертикального типа
).
Такое разбиение отрезка
[
a, b
]
нетрудно построить
,
исполь
-
зуя равномерную непрерывность
cos
α
и
sin
α
.
Заметим
,
что на дуге горизонтального типа в качестве па
-
раметра можно взять координату
x
,
а на дуге вертикального
типа
—
координату
y
точки
.
Будем считать дополнительно
,
что дуги горизонтального
и вертикального типов чередуются
(
если это не так с самого
начала
,
то придем к этому
,
объединяя соседние дуги совпада
-
ющих типов
).
За счет сдвига параметра можем считать
,
что
первая и последняя дуга в
(12)
имеют разные типы
.
60
Глава
20.
Криволинейные интегралы
Так
,
например
,
окружность
{
(
x
=
cos
θ, y
=
sin
θ
):
0
6
θ
6
2
π
}
разбивается на
5
дуг
.
При ее параметризации
:
n
(
x
= cos
θ, y
= sin
θ
) :
π
4
6
θ
6
2
π
+
π
4
o
будет выполнено и последнее требование
.
Точки
ˆ
r
(
t
j
), (0
6
j
6
j
0
−
1),
каждая из которых принад
-
лежит двум дугам разного типа
,
будем называть переходными
точками
.
Так
,
например
,
для рассмотренной окружности в
качестве переходных можно взять
4
точки с параметрами
θ
=
=
1
4
π
,
3
4
π
,
5
4
π
,
7
4
π
.
Будем точки
ˆ
r
(
t
j
−
1
), ˆ
r
(
t
j
)
дуги
Γ
(
j
)
из
(12)
называть
конце
-
выми
,
а прямоугольник
,
граница которого содержит концевую
точку
, —
концевым
.
Построим для каждой дуги
Γ
(
j
)
из
(12)
покрытие семей
-
ством замкнутых прямоугольников
{
P
i
i
}
i
j
i
=1
со свойствами
:
1.
◦
S
i
j
i
=1
P
ji
⊃
Γ
(
j
)
;
2.
◦
P
ji
∩
P
jk
=
∅
при
j
6
=
k
;
3.
◦
пересечение
D
ji
B
D
∩
int
P
ji
(1
6
i
6
i
j
)
является про
-
стой областью
;
4.
◦
каждая из концевых точек дуги
Γ
(
j
)
находится в вер
-
шине
(
единственного
)
концевого прямоугольника семей
-
ства
.
Покажем
,
как осуществить это построение
,
например
,
на
случае
,
когда
Γ
(
j
)
из
(12) —
дуга горизонтального типа
.
Пере
-
ходя к параметру
x
,
запишем дугу
Γ
(
j
)
из
(12)
в виде
Γ
(
j
)
=
{
(
x, ψ
(
x
))
, x
∗
6
x
6
x
∗
}
,
|
ψ
0
|
6
2
.
Пусть
τ
∗
—
разбиение отрезка
[
x
∗
, x
∗
]
на равные от
-
резки
[
x
i
−
1
, x
i
].
Пусть
P
ji
—
прямоугольник
,
проекция
которого на
Ox
есть
[
x
i
−
1
, x
i
],
центр находится в точке
x
i
−
1
+
x
i
2
, ψ
x
i
−
1
+
x
i
2
,
а вертикальная сторона вдвое
больше горизонтальной
.
При этом мелкость
|
τ
∗
|
разбиения
τ
∗
,
а значит
,
и
diam
P
ji
мы можем взять сколь угодно малыми
.
Выполнение свойств
1
◦
, 2
◦
, 3
◦
очевидно
.
Если для постро
-
енного покрытия свойство
4
◦
не выполняется в точке
ˆ
r
(
t
j
−
1
)