ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1512
Скачиваний: 1
§
20.3.
Формула Грина
61
(ˆ
r
(
t
j
)),
то прямоугольник
P
j
1
(
P
ji
j
)
можно сдвинуть парал
-
лельно оси
Oy
настолько
,
чтобы добиться его выполнения
.
Та
-
кая возможность основана на том
,
что в переходных точках
1
2
6
|
tg
α
|
6
2,
так что на
[
x
0
, x
1
]
и на
[
x
i
j
−
1
, x
i
j
]
можно счи
-
тать выполненной оценку
1
4
6
|
ψ
0
|
6
4.
Пусть теперь кривая
(11)
не является контуром
.
Это озна
-
чает
,
что ее начало и конец лежат на сторонах угловых прямо
-
угольников
(
различных или одного и того же
).
Рассуждая так
же
,
как в случае
,
когда кривая является контуром
,
построим
для каждой ее дуги из
(12)
покрытие семейством прямоуголь
-
ников
{
P
ji
}
i
j
i
=1
со свойствами
1
◦
, 2
◦
, 3
◦
и
4
◦◦
, 5
◦
,
где последние
два из них формулируются следующим образом
:
4
◦◦
каждая из концевых точек
ˆ
r
(
t
j
−
1
), ˆ
r
(
t
j
)
совпадает с вер
-
шиной одного из концевых прямоугольников
,
если ка
-
сательная
Γ
(
j
)
в ней не параллельна ни одной из осей
координат
,
и совпадает с серединой стороны одного из
концевых прямоугольников
,
если касательная в ней па
-
раллельна одной из координатных осей
;
5
◦
int
P
ji
не пересекаются ни с одним из угловых прямо
-
угольников
Q
k
.
Перенумеровав заново все построенные прямоугольники
P
ji
для всех простых гладких дуг из
∂
0
D
,
получим семейство
{
P
j
}
m
j
=1
прямоугольников
,
попарно не имеющих общих вну
-
тренних точек
,
и таких
,
что
l
[
i
=1
Q
i
!
∪
m
[
j
=1
P
j
⊃
∂D.
Проведем все прямые
,
содержащие все стороны всех пря
-
моугольников
Q
i
и
P
j
.
Из образовавшихся таким образом
(
за
-
мкнутых
)
прямоугольников занумеруем и обозначим через
R
k
(1
6
k
6
r
)
те
,
которые пересекаются с
D
,
но не имеют общих
внутренних точек ни с одним из прямоугольников
Q
i
и
P
j
.
То
-
гда
R
k
⊂
D
.
В самом деле
,
допустив
,
что в
R
k
имеются точки
из
D
и из
R
2
\
D
,
на соединяющем их отрезке получим точку
(
x
∗
, y
∗
)
⊂
(
∂D
)
∩
int
R
k
.
Следовательно
,
R
k
имеет общую вну
-
62
Глава
20.
Криволинейные интегралы
треннюю точку с тем прямоугольником
Q
i
или
P
j
,
который
содержит точку
(
x
∗
, y
∗
),
а это противоречит построению
R
k
.
Следовательно
,
D
∩
int
R
k
= int
R
k
—
простая область
.
Итак
,
показано
,
что
D
⊂
l
[
i
=1
Q
i
!
∪
m
[
j
=1
P
j
∪
r
[
k
=1
R
k
!
,
где
l
+
m
+
r
прямоугольников попарно не имеют общих вну
-
тренних точек
,
пересечения
D
∩
int
P
j
и
D
∩
int
R
k
являются про
-
стыми областями
,
пересечение
D
∩
int
Q
i
либо является простой
областью
,
либо может быть разрезано на две простые области
.
Лемма доказана
.
Заметим
,
что формула Грина имеет определенную анало
-
гию с формулой Ньютона
–
Лейбница
:
интеграл от производ
-
ных по области интегрирования выражается через значения
функции на границе этой области
.
Формулу Грина можно использовать для вычисления пло
-
щади области с помощью криволинейного интеграла по ее гра
-
нице
.
Для этого возьмем в качестве
(
P
(
x, y
)
, Q
(
x, y
))
(0
, x
)
или
−
y
2
,
x
2
или
(
−
y,
0)
.
Тогда
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 1
и по формуле Грина
µD
=
Z
∂D
+
x dy
=
1
2
Z
∂D
+
−
y dx
+
x dy
=
−
Z
∂D
+
y dx.
(13)
§
20.4.
Геометрический смысл знака якобиана
плоского отображения
Изложим два подхода к выяснению геометрического смысла
знака якобиана плоского отображения
.
Первый подход
i
j
k
Рис
. 20.4
Для двух векторов
~a
=
a
1
~ı
+
a
2
~,
~b
=
b
1
~ı
+
b
2
~
§
20.4.
Геометрич
.
смысл знака якобиана плоск
.
отображения
63
из формулы
~a
×
~b
=
a
1
b
1
a
2
b
2
(
~ı
×
~
)
видно
,
что
sgn
a
1
b
1
a
2
b
2
показывает направление кратчайшего поворота от первого
вектора ко второму
.
Именно при
a
1
b
1
a
2
b
2
>
0
(
<
0)
кратчайший поворот от
~a
к
~b
производится в плоскости
i
,
j
против
(
по
)
часовой стрелки
.
x
y
0
F
γ
1
F
γ
2
F
−→
u
v
0
G
γ
1
γ
2
Рис
. 20.5
Пусть задано взаимно однозначное непрерывно дифферен
-
цируемое отображение
F
:
(
x
=
x
(
u, v
)
,
y
=
y
(
u, v
)
области
G
плоскости
(
u, v
),
содержащей две пересекающи
-
еся гладкие ориентированные кривые
,
на область в плоскости
64
Глава
20.
Криволинейные интегралы
(
x, y
) (
см
.
рис
. 20.5):
γ
1
=
{
(
u, v
) :
u
=
u
1
(
t
)
, v
=
v
1
(
t
)
}
,
γ
2
=
{
(
u, v
) :
u
=
u
2
(
t
)
, v
=
v
2
(
t
)
}
,
F
γ
1
=
{
(
x, y
) :
x
=
x
1
(
t
)
, y
=
y
1
(
t
)
}
,
F
γ
2
=
{
(
x, y
) :
x
=
x
2
(
t
)
, y
=
y
2
(
t
)
}
,
где
x
1
(
t
)
B
x
(
u
1
(
t
)
, v
1
(
t
))
, y
1
(
t
)
B
y
(
u
1
(
t
)
, v
1
(
t
))
,
x
2
(
t
)
B
x
(
u
2
(
t
)
, v
2
(
t
))
, y
2
(
t
)
B
y
(
u
2
(
t
)
, v
2
(
t
))
.
Будем считать
,
что в точке пересечения кривых
γ
1
и
γ
2
зна
-
чение параметров
t
=
t
0
.
Сравним направление кратчайшего
поворота касательного вектора к
γ
1
до касательного вектора
к
γ
2
в точке пересечения кривых с соответствующим напра
-
влением для их образов
F
γ
1
,
F
γ
2
.
Преобразуем для этого
векторное произведение касательных векторов
:
dx
1
dt
dx
2
dt
dy
1
dt
dy
2
dt
(
~ı
×
~
) =
dx
1
dt
~ı
+
dy
1
dt
~
×
dx
2
dt
~ı
+
dy
2
dt
~
=
= [(
x
0
u
u
0
1
+
x
0
v
v
0
1
)
~ı
+ (
y
0
u
u
0
1
+
y
0
v
v
0
1
)
~
]
×
[(
x
0
u
u
0
2
+
x
0
v
v
0
2
)
~ı
+
+(
y
0
u
u
0
2
+
y
0
v
v
0
2
)
~
] = (
x
0
u
u
0
1
y
0
v
v
0
2
+
x
0
v
v
0
1
y
0
u
u
0
2
)(
~ı
×
~
)
−
−
(
x
0
u
u
0
2
y
0
v
v
0
1
+
x
0
v
v
0
2
y
0
u
u
0
1
)(
~ı
×
~
) =
= (
x
0
u
y
0
v
−
x
0
v
y
0
u
)(
u
0
1
v
0
2
−
v
0
1
u
0
2
)(
~ı
×
~
)
.
Здесь было учтено
,
что
~
×
~ı
=
−
~ı
×
~
.
Сравнивая коэффи
-
циенты при
~ı
×
~
в левой и правой частях цепочки равенств
,
получаем
dx
1
dt
dx
2
dt
dy
1
dt
dy
2
dt
=
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
u
0
1
u
0
2
v
0
1
v
0
2
.
По столбцам определителей стоят координаты касательных
векторов к
γ
1
и
γ
2
(
правый определитель
)
и к
F
γ
1
и
F
γ
2
(
левый
определитель
).
Сравнивая знаки этих определителей
,
прихо
-
дим к выводу
:
при
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
>
0 (
<
0)
направление кратчайшего
поворота от первого касательного вектора ко второму после
отображения
сохраняется
(
меняется на противоположное
).
§
20.4.
Геометрич
.
смысл знака якобиана плоск
.
отображения
65
Пусть теперь гладкая кривая
γ
1
является частью границы
некоторой области
D
,
замыкание которой содержится в
G
.
Пусть
γ
1
ориентирована положительно относительно
D
.
Срав
-
ним ориентацию
γ
1
относительно
D
и ориентацию
Γ
1
=
F
(
γ
1
)
относительно
F
(
D
).
Возьмем кривую
γ
2
,
пересекающую
γ
1
,
с
касательным вектором в точке пересечения
,
направленным по
нормали к
γ
1
внутрь
D
.
Из предыдущего видно
,
что возможны
случаи
(Γ
i
=
F
(
γ
i
)):
Γ
1
Γ
2
x
y
J <
0
Γ
1
Γ
2
x
y
J >
0
γ
1
γ
2
u
v
Рис
. 20.6
Таким образом
,
приходим к окончательной формулировке
геометрического смысла знака якобиана плоского отображе
-
ния
.
При положительном якобиане сохраняется после отобра
-
жения направление кратчайшего поворота от одной из пере
-
секающихся кривых до другой
,
а также ориентация кривой
,
являющейся частью границы области
D
,
относительно
D
.
При отрицательном якобиане указанные направления
кратчайшего поворота и ориентация относительно области
меняются на противоположные
.
Второй подход
Этот подход основан на использовании формулы Грина
.
Пусть снова
F
:
(
x
= (
u, v
)
,
y
= (
u, v
)
—
взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое ото
-
бражение некоторой области
G
плоскости
(
u, v
).