ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1513
Скачиваний: 1
66
Глава
20.
Криволинейные интегралы
Пусть ограниченная область
D
⊂
D
⊂
G
и якобиан
J
(
u, v
)
B
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
6
= 0
на
D.
Тогда
J
(
u, v
)
сохраняет знак на
D
,
т
.
е
.
является либо положи
-
тельным на
G
,
либо отрицательным на
G
(
см
.
теорему
10.5.4).
Тогда
D
∗
B
F
(
D
)
также является ограниченной областью
плоскости
(
x, y
) (
теорема
12.3.4).
Пусть
Γ
B
∂D
является простым кусочно гладким конту
-
ром
.
Тогда
Γ
∗
B
F
(Γ) =
F
(
∂D
) =
∂D
∗
(
доказательство последнего равенства совпадает с доказатель
-
ством утверждения
1
◦
леммы
19.4.2)
также является простым
кусочно гладким контуром
.
В самом деле
,
пусть
Γ
i
=
{
(
u
(
t
)
, v
(
t
)) :
a
6
t
6
b
}
—
гладкая кривая
, Γ
i
⊂
Γ.
Тогда
Γ
∗
i
B
F
(Γ
i
) =
{
(
x
(
u
(
t
)
, v
(
t
))
, y
(
u
(
t
)
, v
(
t
)))
, α
6
t
6
β
}
является непрерывно дифференцируемой кривой по теореме о
дифференцируемости сложной функции
.
Кроме того
,
dx
dt
dy
dt
=
x
0
u
du
dt
+
x
0
v
dv
dt
y
0
u
du
dt
+
y
0
v
dv
dt
=
x
0
u
x
0
v
y
0
u
y
0
v
!
du
dt
dv
dt
,
причем определитель квадратной матрицы равен
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
6
= 0.
Поэтому из
du
dt
2
+
dv
dt
2
>
0
следует
,
что
dx
dt
2
+
dy
dt
2
>
>
0,
т
.
е
.
что
Γ
∗
i
не имеет особых точек
,
т
.
е
.
является гладкой
.
Предполагая для определенности
,
что ориентация контура
Γ
B
B
{
(
u
(
t
)
, v
(
t
)):
a
6
t
6
b
}
,
определяемая возрастанием пара
-
метра
t
,
является положительной относительно
D
,
так ориен
-
тированный контур
Γ
обозначим через
Γ
+
.
При этом ориента
-
ция контура
Γ
∗
=
F
(Γ),
наследуемая от ориентации контура
Γ
+
(
т
.
е
.
определяемая возрастанием параметра
t
),
может ока
-
заться как положительной
,
так и отрицательной относительно
§
20.4.
Геометрич
.
смысл знака якобиана плоск
.
отображения
67
области
D
∗
=
F
(
D
).
Контур
Γ
∗
с такой ориентацией относи
-
тельно
D
∗
обозначим через
Γ
∗±
.
В силу
(20.3.13)
имеем
µD
∗
=
±
Z
Γ
∗±
x dy
=
±
Z
b
a
xy
0
t
dt
=
=
±
Z
b
a
x
∂y
∂u
du
dt
+
∂y
∂v
dv
dt
dt
=
±
Z
Γ
+
x
∂y
∂u
du
+
x
∂y
∂v
dv.
Положим
x
∂y
∂u
=
P
,
x
∂y
∂v
=
Q
.
Тогда
∂Q
∂u
=
∂x
∂u
∂y
∂v
+
x
∂
2
y
∂u∂v
,
∂P
∂v
=
∂x
∂v
∂y
∂u
+
x
∂
2
y
∂v∂u
.
Будем дополнительно предполагать
,
что на области
G
не
-
прерывны
,
а следовательно
,
и равны
,
производные
∂
2
y
∂u∂v
,
∂
2
y
∂v∂u
.
Применяя к последнему интегралу формулу Грина
(20.3.3),
по
-
лучаем
,
что в зависимости от ориентации
Γ
∗±
µD
∗
=
±
Z Z
D
∂Q
∂u
−
∂P
∂v
du dv
=
±
Z Z
D
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
du dv.
(1)
В силу положительности левой части этой цепочки ра
-
венств положительна и правая часть
,
так что в области
G
±
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
=
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
>
0
.
Рассматривая отдельно случаи различной ориентации кон
-
тура
Γ
∗
(
т
.
е
. Γ
∗
+
и
Γ
∗−
)
и соответственно беря знаки в
(1),
приходим к следующему выводу
.
В случае положительного якобиана при отображении
ориентация граничного контура относительно области со
-
храняется
,
а в случае отрицательного якобиана
—
меняется
на противоположную
.
Отметим еще
,
что равенство
(1)
можно переписать в виде
µD
∗
=
RR
D
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
du dv
.
Таким образом
,
при иных
(
сде
-
ланных здесь
)
предположениях получено новое доказательство
формулы
(19.5.11),
из которой с помощью теоремы о среднем
вытекает и формула
(19.4.3) (
геометрический смысл модуля
якобиана отображения
).
68
Глава
20.
Криволинейные интегралы
§
20.5.
Потенциальные векторные поля
Определение
1.
Векторное поле
~a
= (
P
(
x, y, z
),
Q
(
x, y, z
),
R
(
x, y, z
)),
заданное на области
G
⊂
R
3
,
называется
потенци
-
альным
в области
G
,
если существует непрерывно дифферен
-
цируемая функция
U
:
G
→
R
такая
,
что
P
=
∂U
∂x
,
Q
=
∂U
∂y
,
R
=
∂U
∂z
,
на
G.
(1)
Функцию
U
называют при этом
потенциальной функцией
поля
~a
или
потенциалом
поля
~a
.
Если функция
U
является потенциалом поля
~a
,
то функция
U
+
C
,
где
C
—
произвольная постоянная
,
также является по
-
тенциалом поля
~a
.
Верно и обратное
(
что будет ясно из дальнейшего
):
если
U
,
V
—
два потенциала поля
~a
в области
G
,
то
V
=
U
+
C
на
G
,
где
C
—
некоторая постоянная
.
Равенства
(1)
иначе можно записать так
:
~a
=
∂U
∂x
~ı
+
∂U
∂y
~
+
∂U
∂z
~k
= grad
U
=
∇
U,
(2)
или
dU
=
P dx
+
Q dy
+
R dz,
где
∇
—
символический вектор
∇
=
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
,
называемый
набла
.
Интеграл
R
Γ
(
~a, d~r
)
по контуру
Γ
называют
циркуляцией
векторного поля
~a
по контуру
Γ.
Теорема
1.
Пусть
~a
= (
P, Q, R
)
—
непрерывное поле в
области
G
.
Тогда следующие условия эквивалентны
:
I
.
Поле
~a
потенциально в
G
.
II
0
.
Для любого кусочно гладкого контура
Γ
⊂
G
Z
Γ
(
~a, d~r
) = 0
.
§
20.5.
Потенциальные векторные поля
69
II
00
.
Для любых двух фиксированных точек
A
,
B
∈
G
значе
-
ние интеграла
Z
AB
(
~a, d~r
)
,
где
AB
—
произвольная кусочно гладкая кривая
,
лежащая в
G
и соединяющая точки
A
и
B
,
не зависит от кривой
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Установим сначала
,
что
II
0
⇔
II
00
.
Пусть выполнено
II
0
и
Γ
+
1
, Γ
+
2
—
две кривые
,
лежащие в
G
,
начала которых находятся в точке
A
,
а концы
—
в точке
B
.
Тогда в
Γ
+
1
∪
Γ
−
2
является ориентированным контуром и в силу
II
0
Z
Γ
+
1
(
~a, d~r
) +
Z
Γ
−
2
(
~a, d~r
) = 0
.
Заменив во втором интеграле ориентацию кривой
Γ
−
2
на про
-
тивоположную на
Γ
+
2
,
получаем
Z
Γ
+
1
(
~a, d~r
)
−
Z
Γ
+
2
(
~a, d~r
) = 0
,
т
.
е
.
утверждение
II
00
.
Пусть выполнено
II
00
и
Γ
+
⊂
G
—
произвольный кусочно
гладкий контур
.
Пусть точки
A, B
∈
Γ
и кривые
AB
,
BA
являются дугами контура
Γ
+
,
причем ориентация на каждой
из них совпадает с ориентацией контура
Γ
+
,
т
.
е
. Γ
+
=
AB
∪
∪
BA
.
Через
Γ
+
1
=
AB
и
Γ
+
2
=
BA
обозначим части контура
Γ
+
той же ориентации
,
что и
Γ
+
:
Γ
+
=
AB
∪
BA
= Γ
+
1
∪
Γ
+
2
.
Тогда
Γ
+
1
и
Γ
−
2
—
две кусочно гладкие кривые с началами
в
A
и концами в
B
.
В силу
II
00
Z
Γ
+
(
~a, d~r
) =
Z
Γ
+
1
(
~a, d~r
) +
Z
Γ
+
2
(
~a, d~r
) =
=
Z
Γ
+
1
(
~a, d~r
)
−
Z
Γ
−
2
(
~a, d~r
) = 0
.
70
Глава
20.
Криволинейные интегралы
Покажем
,
что
I
⇒
II
00
.
Пусть
U
—
потенциал
,
AB
=
=
{
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
)),
a
6
t
6
b
}
—
кусочно гладкая кривая
,
ле
-
жащая в области
G
.
Тогда
Z
AB
P dx
+
Q dy
+
R dz
=
Z
b
a
[
P
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
x
0
(
t
)+
+
Q
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
y
0
(
t
) +
R
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
z
0
(
t
)]
dt
=
=
Z
b
a
d
dt
U
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
dt
=
U
(
x
(
t
)
, y
(
t
)
, z
(
t
))
b
a
=
=
U
(
B
)
−
U
(
A
)
.
Покажем
,
наконец
,
что
II
00
⇒
I.
Пусть точка
A
0
—
фиксиро
-
ванная
,
а
B
(
x, y, z
) —
произвольная точка области
G
.
Рассмо
-
трим функцию
U
(
B
) =
U
(
x, y, z
)
B
Z
A
0
B
P dx
+
Q dy
+
R dz,
(3)
где
A
0
B
—
кусочно гладкая кривая
,
лежащая в
G
.
Такое опре
-
деление функции
U
корректно
,
т
.
к
.
правая часть
(3)
в силу
II
00
зависит лишь от
B
(
x, y, z
),
т
.
е
.
от
(
x, y, z
).
Поэтому правую
часть
(3)
нередко записывают в виде
R
B
A
0
P dx
+
Q dy
+
R dz
.
Покажем
,
что
U
является потенциалом поля
~a
,
т
.
е
.
выполня
-
ются равенства
(1),
из которых установим лишь первое
.
Пусть
B
0
=
B
0
(
x
0
, y
0
, z
0
)
∈
G
.
Установим равенство
∂U
∂x
(
x
0
, y
0
, z
0
) =
P
(
x
0
, y
0
, z
0
)
(4)
непосредственным вычислением производной
∂U
∂x
.
Пусть
U
(
x
0
, y
0
, z
0
)
и
U
(
x
0
+ ∆
x, y
0
, z
0
)
представлены в виде
(20.3.3)
с
помощью соответственно кривых
A
0
B
0
и
A
0
B
B
A
0
B
0
∪
B
0
B
,
где
B
0
B
—
отрезок
,
соединяющий точки
B
0
и
B
.
Тогда
∆
U
B
U
(
x
0
+ ∆
x, y
0
, z
0
)
−
U
(
x
0
, y
0
, z
0
) =
=
Z
BB
0
P dx
+
Q dy
+
R dz
=
Z
x
0
+∆
x
x
0
P
(
x, y
0
, z
0
)
dx.
При получении последнего равенства использовано опреде
-
ление криволинейного интеграла через определенный интеграл