ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1516
Скачиваний: 1
§
20.5.
Потенциальные векторные поля
71
по параметру
,
в качестве которого выбран
x
(
так что
x
0
x
= 1,
y
0
x
= 0,
z
0
x
= 0).
Тогда
∆
U
∆
x
(
x
0
, y
0
, z
0
)
−
P
(
x
0
, y
0
, z
0
)
=
=
1
∆
x
Z
∆
x
0
[
P
(
x
0
+
ξ, y
0
, z
0
)
−
P
(
x
0
, y
0
, z
0
)]
dξ
6
6
max
|
ξ
|
6
|
∆
x
|
|
P
(
x
0
+
ξ, y
0
, z
0
)
−
P
(
x
0
, y
0
, z
0
)
| →
0
при
∆
x
→
0
,
поскольку функция
P
непрерывна в точке
(
x
0
, y
0
, z
0
).
Таким образом
,
установлено равенство
(4)
и теорема дока
-
зана
.
З а м е ч а н и е
1.
При доказательстве потенциаль
-
ности поля
~a
в условиях
II
00
было не только доказано существо
-
вание потенциала
,
но и указано его выражение через
~a
в виде
формулы
(3).
Упражнение
1.
Показать
,
что если
U
и
V
—
два потен
-
циала непрерывного поля
~a
в области
G
,
то существует посто
-
янная
C
такая
,
что
V
(
x, y, z
) =
U
(
x, y, z
) +
C
при
(
x, y, z
)
∈
G.
Представляет интерес найти простые
(
в отличие от
II
0
или
II
00
)
условия потенциальности поля
~a
.
Введем ротор
(
или
вихрь
)
поля
~a
:
rot
~a
B
∇ ×
~a
=
~ı
~
~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P
Q R
=
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
~ı
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
~
+
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
~k.
(5)
Определенное в области
G
векторное поле
~a
называется
без
-
вихревым
,
если
rot
~a
=
~
0
в
G
.
Теорема
2.
Пусть
~a
= (
P, Q, R
)
—
непрерывно дифферен
-
цируемое в области
G
⊂
R
3
векторное поле
.
Тогда
1.
◦
если поле
~a
потенциально
,
то
rot
~a
=
~
0
;
72
Глава
20.
Криволинейные интегралы
2.
◦
если область
G
поверхностно односвязна
,
а в плоском
случае
(
G
⊂
R
2
,
R
≡
0
,
P
=
P
(
x, y
)
,
Q
=
Q
(
x, y
)
) —
односвязна
,
и
rot
~a
=
~
0
в
G
,
то поле
~a
потенциально
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Установим
1
◦
,
т
.
е
.
равенства
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
= 0
,
∂P
∂z
−
∂R
∂x
= 0
,
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 0
.
(6)
Перепишем последнее равенство в виде
∂
2
U
∂x∂y
−
∂
2
U
∂y∂x
= 0
.
Для его обоснования достаточно сослаться на теорему о незави
-
симости второй смешанной производной от порядка дифферен
-
цирования
,
если каждая из вторых производных непрерывна
.
Аналогично устанавливаются и другие два равенства в
(6).
Доказательство утверждения
2
◦
(
после разъяснения встре
-
чающихся в нем понятий
)
будет приведено для плоского случая
в теореме
3,
а для трехмерного случая будет получено позднее
как следствие из формулы Стокса
.
Следующий пример показывает
,
что без каких
-
либо пред
-
положений о геометрических свойствах области
G
безвихревое
поле не обязано быть потенциальным
.
Пример
1.
Пусть поле
~a
= (
P
(
x, y
)
, Q
(
x, y
)) =
−
y
x
2
+
y
2
,
x
x
2
+
y
2
задано во всех точках плоскости
,
кроме начала координат
.
То
-
гда
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
=
y
2
−
x
2
(
x
2
+
y
2
)
при
(
x, y
)
6
= (0
,
0)
,
так что
rot
~a
=
~
0.
Однако поле не является потенциальным
,
так как отлична от нуля циркуляция его по окружности
:
C
R
=
{
(
x
=
R
cos
θ, y
=
R
sin
θ
)
,
0
6
θ
6
2
π
}
:
Z
C
R
(
~a, d~r
) =
Z
2
π
0
−
R
2
cos
2
θ dθ
R
2
=
§
20.5.
Потенциальные векторные поля
73
=
2
π
Z
0
−
R
sin
θ
R
2
R
(
−
sin
θ
) +
R
cos
θ
R
2
r
cos
θ
dθ
=
2
π
Z
0
dθ
= 2
π.
Определение
2.
Плоская область
G
называется
односвяз
-
ной
,
если для всякой ограниченной плоской области
D
,
грани
-
цей
∂D
которой является простой кусочно гладкий контур
,
из
условия
∂D
⊂
G
следует
D
⊂
G
.
Односвязность
G
означает
,
грубо говоря
,
что область
G
не
имеет дыр
.
Теорема
3.
Пусть в плоской односвязной области
G
задано
непрерывно дифференцируемое векторное поле
~a
= (
P, Q
)
и
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 0
в
G
.
Тогда поле
~a
потенциально в
G
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Достаточно
(
в силу теоремы
1)
по
-
казать
,
что
R
Γ
(
~a, d~r
) = 0
для любого простого кусочно глад
-
кого контура
Γ
⊂
G
.
Пусть такой контур
Γ
является границей
ограниченной области
D
(
∂D
= Γ).
По формуле Грина
Z
∂D
+
P dx
+
Q dy
=
Z Z
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dx dy
= 0
.
Теорема доказана
.
З а м е ч а н и е
2.
Везде в этом параграфе вместо
кусочно гладких кривых можно было бы брать лишь ломаные
.
Все определения и полученные при этом утверждения оказа
-
лись бы эквивалентны приведенным в силу леммы
20.2.1
об
аппроксимации криволинейного интеграла
.
Глава
21
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ПОВЕРХНОСТЕЙ
§
21.1.
Гладкие поверхности
Для описания и изучения поверхностей будем пользоваться
вектор
-
функциями двух переменных
.
В соответствии с общим
определением функции
(
отображения
)
будем говорить
,
что на
множестве
E
⊂
R
2
задана вектор
-
функция
~r
:
E
→
R
3
,
если
каждой точке
(
u, v
)
∈
E
поставлен в соответствие трехмерный
вектор
~r
(
u, v
) = (
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
∈
R
3
.
(1)
Здесь
R
2
,
R
3
—
евклидовы пространства
,
числовые функции
x
,
y
,
z
называют координатными функциями
.
Аналогично соответствующим понятиям вектор
-
функции
одной переменной и числовой функции двух переменных вво
-
дятся понятия предела
,
непрерывности
,
дифференцируемости
и др
.
Вектор
~a
называется пределом вектор
-
функции
~r
(1)
при
(
u, v
)
→
(
u
0
, v
0
)
по множеству
E
,
если
(
u
0
, v
0
) —
предельная
точка множества
E
и
∀
ε >
0
∃
δ
=
δ
(
ε
)
>
0 :
|
~r
(
u, v
)
−
~a
|
< ε
∀
(
u, v
)
∈
E
∩
˚
U
δ
(
u
0
, v
0
)
.
При этом пишут
lim
E
3
(
u,v
)
→
(
u
0
,v
0
)
~r
(
u, v
) =
~a,
а если при этом
˚
U
δ
(
u
0
, v
0
)
⊂
E
при некотором
δ >
0,
то пишут
lim
(
u,v
)
→
(
u
0
,v
0
)
~r
(
u, v
) =
~a.
Функцию
~r
называют непрерывной в предельной точке
(
u
0
, v
0
)
∈
E
,
если
lim
E
3
(
u,v
)
→
(
u
0
,v
0
)
~r
(
u, v
) =
~r
(
u
0
, v
0
)
.
§
21.1.
Гладкие поверхности
75
Частная производная
~r
0
u
=
~r
(
u
0
, v
0
)
определяется равен
-
ством
~r
0
u
(
u
0
, v
0
)
≡
∂~r
∂u
(
u
0
, v
0
) =
d~r
(
u, v
0
)
du
u
=
u
0
.
Аналогично определяется и другая частная производная
~r
0
v
≡
∂~r
∂v
и частные производные высших порядков
.
Понятия предела
,
непрерывности
,
дифференцируемости и
другие можно сформулировать эквивалентным образом в тер
-
минах координатных функций
(
ср
.
§
8.1).
Часто в качестве области определения
E
⊂
R
2
вектор
-
функции
(1)
будем брать замкнутую область
(
т
.
е
.
замыкание
области
).
В этом случае будем говорить
,
что производная
~r
0
u
непрерывна на замыкании
D
области
D
,
если она непрерывна
на области
D
,
и функция
~r
0
u
после подходящего доопределения
на границе
∂D
становится непрерывной на
D
.
То же относится
и к другим производным вектор
-
функции
~r
.
Определение
1.
Множество точек
S
⊂
R
3
вместе с кон
-
кретным его описанием
S
=
{
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
,
(
u, v
)
∈
D
}
,
(2)
где замкнутая область
D
⊂
R
2
,
а функции
x
,
y
,
z
непрерывны
на
D
,
будем называть
(
параметрически заданной
)
поверхно
-
стью
1
.
Переменные
u
,
v
называются параметрами поверхности
(2)
или ее координатами
.
Ту же поверхность можно задать в виде
S
=
{
~r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
}
или
S
=
{
ˆ
r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
}
,
где
~r
(
u, v
)
B
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
)).
Точкой поверхности
S
называют пару
{
(
u, v
)
,
ˆ
r
(
u, v
)
}
,
а
(
u, v
) —
координатами этой
точки
.
Ради краткости точку
ˆ
r
(
u, v
)
∈
R
3
часто также назы
-
вают точкой поверхности
S
.
1
С общей точки зрения
(2)
естественнее было бы называть
(
параметри
-
чески заданным
)
куском поверхности
,
оставив термин «
(
параметрически
заданная
)
поверхность» за множеством
,
формально отличающимся от
(2)
лишь заменой замкнутой области
D
на область
D
.
Мы будем придержи
-
ваться предложенной терминологии ради простоты записи
.