ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1515
Скачиваний: 1
76
Глава
21.
Элементы теории поверхностей
В определении
1
не исключается
,
что через некоторую
точку
M
∈
R
3
поверхность «проходит» не один раз
,
т
.
е
.
что
при некоторых
(
u
1
, v
1
)
,
(
u
2
, v
2
)
∈
D
ˆ
r
(
u
1
, v
1
) = ˆ
r
(
u
2
, v
2
) =
M.
Поверхность
S
(2)
называется
простой
,
если отображение
ˆ
r
(
u, v
):
D
→
S
является взаимно однозначным
.
Определение
2.
Поверхность
S
(2)
называется
непре
-
рывно дифференцируемой
,
если функции
x
,
y
,
z
непрерывно
дифференцируемы на
D
.
Пусть
S
=
{
~r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
}
(3)
—
непрерывно дифференцируемая поверхность
, (
u
0
, v
0
)
∈
D
.
Заметим
,
что пересечение
D
с прямой
v
=
v
0
содержит
,
во
всяком случае при
(
u
0
, v
0
)
∈
D
,
некоторый интервал
,
которому
принадлежит точка
(
u
0
, v
0
).
Множество
{
~r
(
u, v
0
)
,
(
u, v
0
)
∈
D
}
называется
координатной линией
v
=
v
0
.
Вектор
~r
0
u
=
∂~r
∂u
=
= (
x
0
u
, y
0
u
, z
0
u
)
является ее касательным вектором
.
Аналогично
определяется координатная линия
{
~r
(
u
0
, v
)
,
(
u
0
, v
)
∈
D
}
с касательным вектором
~r
0
v
=
∂~r
∂v
= (
x
0
v
, y
0
v
, z
0
v
)
.
Определение
3.
Точка
{
(
u, v
)
,
ˆ
r
(
u, v
)
}
непрерывно диф
-
ференцируемой поверхности
(3)
называется
неособой
,
если в
ней
~r
0
u
×
~r
0
v
6
=
~
0 (
т
.
е
.
векторы
~r
0
u
,
~r
0
v
не коллинеарны
).
В про
-
тивном случае эта точка называется
особой
.
Определение
4.
Непрерывно дифференцируемая
(
параме
-
трически заданная
)
поверхность без особых точек называется
гладкой
(
параметрически заданной
)
поверхностью
.
Пример
1.
Поверхность
S
ε
=
{
(
R
cos
ϕ
cos
ψ, R
sin
ϕ
cos
ψ, R
sin
ψ
)
,
§
21.2.
Касательная плоскость и нормальная прямая
77
0
6
ϕ
6
2
π,
−
π
2
+
ε
6
ψ
6
π
2
−
ε
}
, R >
0
,
0
6
ε <
π
2
,
(
сфера при
ε
= 0,
сферический пояс при
ε >
0)
является непре
-
рывно дифференцируемой параметрически заданной поверхно
-
стью
,
а при
ε >
0 —
гладкой параметрически заданной поверх
-
ностью
.
Мы будем рассматривать далее гладкие параметрически
заданные поверхности или поверхности
,
составленные из ко
-
нечного числа таких поверхностей
.
§
21.2.
Касательная плоскость и нормальная
прямая
Определение
.
Плоскость
,
проходящая через точку
{
(
u
0
, v
0
)
,
ˆ
r
(
u
0
, v
0
)
}
гладкой поверхности
(21.1.3)
параллельно
векторам
~r
0
u
(
u
0
, v
0
),
~r
0
v
(
u
0
, v
0
),
называется
касательной плос
-
костью
к поверхности в этой точке
.
Пусть
(
u
0
, v
0
)
∈
D
,
{
(
u
(
t
)
, v
(
t
)),
a
6
t
6
b
}
—
гладкая кри
-
вая
,
u
(
t
0
) =
u
0
,
v
(
t
0
) =
v
0
при некотором
t
0
,
a < t
0
< b
.
Тогда
{
~r
(
u
(
t
)
, v
(
t
)) (
u
(
t
)
, v
(
t
))
∈
D, a
6
t
6
b
}
(1)
—
гладкая кривая
,
лежащая на поверхности и проходящая че
-
рез данную точку
{
(
u
0
, v
0
), ˆ
r
(
u
0
, v
0
)
}
поверхности
.
Касатель
-
ный вектор этой кривой в точке
{
t
0
,
ˆ
r
(
u
0
, v
0
)
}
имеет вид
~r
0
t
(
t
0
) =
~r
0
u
(
u
0
, v
0
)
u
0
t
(
t
0
) +
~r
v
(
u
0
, v
0
)
v
0
t
(
t
0
)
,
т
.
е
.
является линейной комбинацией векторов
~r
0
u
,
~r
0
v
,
а значит
,
параллелен касательной плоскости
.
Следовательно
,
касательные по всем таким кривым
(1)
в
точке
{
t
0
,
ˆ
r
(
u
0
, v
0
)
}
лежат в касательной плоскости к поверх
-
ности в точке
{
(
u
0
, v
0
)
,
ˆ
r
(
u
0
, v
0
)
}
.
Исходя из определения касательной плоскости к поверхно
-
сти
,
можно написать ее уравнение в векторной форме
:
(
~r
−
~r
0
,~r
0
u
,~r
0
v
) = 0
.
(2)
Здесь
~r
0
—
радиус
-
вектор точки касания
,
~r
—
текущий радиус
-
вектор точек на касательной плоскости
.
В координатной
78
Глава
21.
Элементы теории поверхностей
форме уравнение
(2)
принимает вид
x
−
x
0
y
−
y
0
z
−
z
0
x
0
u
y
0
u
z
0
u
x
0
v
y
0
v
z
0
v
= 0
,
(3)
где
~r
= (
x, y, z
),
~r
0
= (
x
0
, y
0
, z
0
),
~r
0
u
= (
x
0
u
, y
0
u
, z
0
u
),
~r
0
v
=
= (
x
0
v
, y
0
v
, z
0
v
).
Определение
.
Прямая
,
проходящая через точку касания
поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная ка
-
сательной плоскости
,
называется
нормальной прямой
к поверх
-
ности в указанной точке
.
Определение
.
Всякий ненулевой вектор
,
коллинеарный
нормальной прямой
,
проходящей через данную точку поверх
-
ности
,
называется
нормалью
к поверхности в этой точке
.
Нормалью к гладкой поверхности
(21.1.3)
в данной точке
является
,
например
,
вектор
~r
0
u
×
~r
0
v
=
~ı ~ ~k
x
0
u
y
0
u
z
0
u
x
0
v
y
0
v
z
0
v
=
A~ı
+
B~
+
C~k,
(4)
вычисленный в этой точке
,
где
A
=
∂
(
y, z
)
∂
(
u, v
)
,
B
=
∂
(
z, x
)
∂
(
u, v
)
,
C
=
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
.
Поэтому уравнение нормальной прямой имеет вид
x
−
x
0
A
=
y
−
y
0
B
=
z
−
z
0
C
,
или в подробной записи
x
−
x
0
y
0
u
z
0
u
y
0
v
z
0
v
=
y
−
y
0
z
0
u
x
0
u
z
0
v
x
0
v
=
z
−
z
0
x
0
u
y
0
u
x
0
v
y
0
v
,
(5)
где
x
0
=
x
(
u
0
, v
0
),
y
0
=
y
(
u
0
, v
0
),
z
0
=
z
(
u
0
, v
0
),
а производные
x
0
u
,
x
0
v
,
y
0
u
,
y
0
v
,
z
0
u
,
z
0
v
вычислены в точке
(
u
0
, v
0
).
§
21.3.
Преобразование параметров гладкой поверхности
79
Поверхность
S
=
{
(
x, y, f
(
x, y
))
,
(
x, y
)
∈
D
}
,
(6)
где функция
f
непрерывна на замкнутой области
D
,
называ
-
ется
явно заданной поверхностью
.
Это важный частный слу
-
чай параметрически заданной поверхности
(2).
Явно заданная поверхность является
,
очевидно
,
простой
.
Если при этом функция
f
непрерывно дифференцируема на
D
,
то
(6)
называется
гладкой явно заданной поверхностью
.
Для
~r
(
x, y
) = (
x, y, f
(
x, y
))
~r
0
x
= (1
,
0
, f
0
x
)
,
~r
0
y
= (0
,
1
, f
0
y
)
,
~r
0
x
×
~r
0
y
=
~ı ~ ~k
1 0
f
0
x
0 1
f
0
y
=
−
f
0
x
~ı
−
f
0
y
~
+
~k
6
= 0
.
(7)
Уравнение
(3)
касательной
плоскости
в
точке
(
x
0
, y
0
, f
(
x
0
, y
0
))
принимает вид
x
−
x
0
y
−
y
0
z
−
z
0
1
0
f
0
x
0
1
f
0
y
= 0
,
или иначе
z
−
z
0
= (
x
−
x
0
)
f
0
x
(
x
0
, y
0
) + (
y
−
y
0
)
f
0
y
(
x
0
, y
0
)
,
(8)
а уравнение нормальной прямой в точке
(
x
0
, y
0
, f
(
x
0
, y
0
)) —
вид
x
−
x
0
f
0
x
(
x
0
, y
0
)
=
y
−
y
0
f
0
y
(
x
0
, y
0
)
=
−
(
z
−
z
0
)
.
(9)
§
21.3.
Преобразование параметров гладкой
поверхности
Изучим вопрос о преобразовании
(
замене
)
параметров на
гладкой поверхности
.
Пусть
D
—
плоская область
,
S
=
{
~r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
}
(1)
80
Глава
21.
Элементы теории поверхностей
—
гладкая параметрически заданная поверхность
,
так что
вектор
-
функция
~r
непрерывно дифференцируема на
D
и
~r
0
u
×
×
~r
0
v
6
=
~
0.
Рассмотрим отображение
F
(
u
=
ϕ
(
u
1
, v
1
)
v
=
ψ
(
u
1
, v
1
)
)
:
D
1
→
D,
(2)
где
D
1
—
область
,
и параметрически заданную поверхность
˜
S
=
{
~ρ
(
u
1
, v
1
)
,
(
u
1
, v
1
)
∈
D
1
}
,
где
~ρ
(
u
1
, v
1
) =
~r
(
ϕ
(
u
1
, v
1
)
, ψ
(
u
1
, v
1
)).
Будем считать поверхность
˜
S
той же
,
что и
S
,
но иначе
параметризованной
,
если замена параметров
(2)
является
до
-
пустимой
,
т
.
е
.
обладает свойствами
:
1.
◦
F
устанавливает взаимно однозначные отображения
D
1
↔
D
,
D
1
↔
D
,
∂D
1
↔
∂D
;
2.
◦
F
непрерывно дифференцируемо на
D
1
(
т
.
е
.
ϕ
,
ψ
не
-
прерывно дифференцируемы на
D
1
),
обратное отобра
-
жение
F
−
1
непрерывно дифференцируемо на
D
;
3.
◦
∂
(
u, v
)
∂
(
u
1
, v
1
)
6
= 0
на
D
1
,
∂
(
u
1
, v
1
)
∂
(
u, v
)
6
= 0
на
D
.
Замечая
,
что
~ρ
0
u
1
=
~r
0
u
ϕ
0
u
1
+
~r
0
v
ψ
0
u
1
,
~ρ
0
v
1
=
~r
0
u
ϕ
0
v
1
+
~r
0
v
ψ
0
v
1
,
имеем
~ρ
0
u
1
×
~ρ
0
v
1
=
∂
(
u, v
)
∂
(
u
1
, v
1
)
~r
0
u
×
~r
0
v
.
(3)
Поскольку каждый из якобианов в
3
◦
ограничен
,
а их про
-
изведение
∂
(
u, v
)
∂
(
u
1
, v
1
)
·
∂
(
u
1
, v
1
)
∂
(
u, v
)
= 1 (
см
.
(12.3.5)),
то якобиан
∂
(
u, v
)
∂
(
u
1
, v
1
)
6
= 0
на
D
1
.
Поэтому из
(3)
следует
,
что при допу
-
стимом преобразовании параметров
:
a)
неособая точка переходит в неособую
,
b)
гладкая параметрически заданная поверхность переходит в
гладкую параметрически заданную поверхность
,
c)
нормальная прямая и касательная плоскость сохраняются
.
Подчеркнем еще
,
что отображение
,
обратное допустимому
также
,
очевидно
,
является допустимым
.