ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1520
Скачиваний: 1
§
21.3.
Преобразование параметров гладкой поверхности
81
Заметим
,
что не всякую параметрически заданную глад
-
кую поверхность
(1)
можно представить в виде явно заданной
поверхности с помощью замены параметров
(
u, v
)
на
(
x, y
),
или
на
(
y, z
),
или на
(
z, x
).
Это невозможно сделать
,
в частности
,
для поверхности
S
ε
,
ε >
0,
из примера
21.1.1,
которая не про
-
ектируется взаимно однозначно ни на одну из координатных
плоскостей
.
Однако
локально
такое преобразование параметров осуще
-
ствить можно
.
В самом деле
,
поскольку на
D
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
2
=
A
2
+
B
2
+
C
2
=
=
∂
(
y, z
)
∂
(
u, v
)
2
+
∂
(
z, x
)
∂
(
u, v
)
2
+
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
2
>
0
,
то в произвольной точке
(
u
0
, v
0
)
∈
D
один из трех якобианов
отличен от нуля
.
Пусть
,
например
,
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
(
u
0
,v
0
)
6
= 0.
Тогда по
теореме
12.3.3
о локальной обратимости отображения найдутся
две окрестности
U
(
u
0
, v
0
)
и
U
(
x
0
, y
0
) (
где
x
0
=
x
(
u
0
, v
0
),
y
0
=
=
y
(
u
0
, v
0
))
такие
,
что отображение
(
x
=
x
(
u, v
)
y
=
y
(
u, v
)
является
взаимно однозначным отображением
U
(
u
0
, v
0
)
↔
U
(
x
0
, y
0
),
причем обратное отображение
(
u
=
u
(
x, y
)
v
=
v
(
x, y
)
непрерывно диф
-
ференцируемо на
U
(
x
0
, y
0
)
и якобиан его
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
6
= 0
на
U
(
x
0
, y
0
).
Сужая при необходимости указанные окрестности
,
можем каждую из них считать областью
(
см
.
теорему
12.3.4).
Тогда часть
S
(0)
=
{
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
,
(
u, v
)
∈
U
(
u
0
, v
0
)
}
поверхности
(1)
после замены параметров
(
u, v
)
на
(
x, y
)
имеет
представление
S
(0)
=
{
(
x, y, f
(
x, y
))
,
(
x, y
)
∈
U
(
x
0
, y
0
)
}
,
где
f
(
x, y
) =
z
(
u
(
x, y
)
, v
(
x, y
)).
82
Глава
21.
Элементы теории поверхностей
§
21.4.
Ориентация гладкой поверхности
Пусть
S
—
гладкая параметрически заданная поверх
-
ность
(21.3.1).
Тогда единичный нормальный вектор
~n
=
~r
0
u
×
~r v
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
(1)
является непрерывной функцией на
D
,
равно как и вектор
−
~n
.
Функцию
~n
(
и
−
~n
)
называют непрерывным полем единич
-
ных нормалей поверхности
S
.
Определение
1.
Всякое непрерывное поле единич
-
ных нормалей гладкой поверхности
S
называется
ориентацией
(
или стороной
)
поверхности
S
.
Поверхность
S
(21.3.1),
как имеющая две различных ориен
-
тации
(
стороны
)
±
~n
,
называется
двусторонней
поверхностью
.
Одна из этих двух ориентаций называется положительной
,
а другая
—
отрицательной
.
Для определенности за положи
-
тельную ориентацию гладкой поверхности
(21.3.1) (
если не
оговорено противное
)
будем понимать поле нормалей
(1).
Поверхность
S
(21.3.1),
у которой фиксирована одна из
ее ориентаций
,
называется
ориентированной
поверхностью
.
Ориентированную поверхность
S
(21.3.1)
с положительной
ориентацией будем обозначать через
S
+
,
а с отрицательной
ориентацией
—
через
S
−
.
При замене параметров гладкой ориентированной поверх
-
ности в понятие допустимой замены параметров наряду с тре
-
бованиями
1
◦
, 2
◦
, 3
◦
включим еще требование
4.
◦
∂
(
u, v
)
∂
(
u
1
, v
1
)
>
0
на
D
1
.
Тогда
,
как видно из
(21.2.2),
при замене параметров глад
-
кой поверхности выполняются не только свойства
a), b)
и
c),
но еще и свойство
d)
сохраняется ориентация поверхности
(
т
.
е
.
положительно
ориентированная поверхность при новом ее представле
-
нии остается положительно ориентированной
,
а отрица
-
тельно ориентированная остается отрицательно ориентиро
-
ванной
).
§
21.5.
Первая квадратичная форма гладкой поверхности
83
§
21.5.
Первая квадратичная форма гладкой
поверхности
Пусть
S
=
{
~r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
}
—
гладкая параметрически заданная поверхность
.
Это озна
-
чает по определению
,
что
~r
0
u
,
~r
0
v
непрерывны на замкнутой
области
D
и
~r
0
u
×
~r
0
v
6
=
~
0
на
D
.
Рассмотрим дифференциал вектор
-
функции
~r
:
d~r
=
~r
0
u
du
+
~r
0
v
dv.
Тогда
|
d~r
|
2
=
|
~r
0
u
du
+
~r
0
v
dv
|
2
=
|
~r
0
u
|
2
du
2
+ 2(
~r
0
u
,~r
v
)
du dv
+
|
~r
0
v
|
2
dv
2
.
В обозначениях
E
=
|
~r
0
u
|
2
,
F
= (
~r
0
u
,~r
v
)
,
G
=
|
~r
0
v
|
2
,
(1)
|
d~r
|
2
=
|
~r
0
u
du
+
~r
0
v
dv
|
2
=
E du
2
+ 2
F du dv
+
G dv
2
.
(2)
Определение
1.
Квадратичная форма
Edu
2
+ 2
F du dv
+
+
Gdv
2
называется
первой квадратичной формой поверхно
-
сти
,
E
,
F
,
G
—
ее коэффициентами
.
Первая квадратичная форма положительно определённа
,
т
.
к
.
|
d~r
|
2
= 0
только при
du
= 0,
dv
= 0.
Следовательно
,
дискриминант ее
EG
−
F
2
>
0.
Кроме того
,
E >
0,
G >
0.
Заметим
,
что
EG
−
F
2
=
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
2
,
(3)
т
.
к
.
если
ω
—
угол между
~r
0
u
и
~r
0
v
,
то
EG
−
F
2
=
|
~r
0
u
|
2
|
~r
0
v
|
2
− |
~r
0
u
|
2
|
~r
0
v
|
2
cos
2
ω
=
=
|
~r
0
u
|
2
|
~r
0
v
|
2
sin
2
ω
=
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
2
.
C
помощью коэффициентов квадратичной формы поверхно
-
сти можно вычислять площадь поверхности
,
длины кривых на
поверхности и углы между такими кривыми
.
84
Глава
21.
Элементы теории поверхностей
§
21.6.
Неявно заданные гладкие поверхности
Пусть область
G
⊂
R
3
и функция
F
:
G
→
R
непрерывно
дифференцируема и
F
0
2
x
+
F
0
2
y
+
F
0
2
z
>
0
на
G
.
Тогда множество
точек
S
=
{
(
x, y, z
) : (
x, y, z
)
∈
G, F
(
x, y, z
) = 0
}
будем называть
неявно заданной гладкой поверхностью
.
Примером такой поверхности является сфера
,
определяемая
уравнением
x
2
+
y
2
+
z
2
=
R
2
,
R >
0.
Поверхность
S
локально можно представить как явно за
-
данную гладкую поверхность
.
В самом деле
,
пусть
,
например
,
F
(
x
0
, y
0
, z
0
) = 0
и
F
0
z
(
x
0
, y
0
, z
0
)
6
= 0.
Тогда по теореме о неявной
функции в некоторой окрестности
U
((
x
0
, y
0
))
×
U
(
z
0
)
F
0
z
6
= 0
и
уравнение
F
(
x, y, z
) = 0
эквивалентно уравнению
z
=
f
(
x, y
)
,
(
x, y
)
∈
U
((
x
0
, y
0
))
,
где
f
—
непрерывно дифференцируемая на
U
((
x
0
, y
0
))
функ
-
ция
,
f
0
x
=
−
F
0
x
F
0
z
,
f
0
y
=
−
F
0
y
F
0
z
.
В качестве нормали
(
см
. (21.2.7))
удобно взять вектор
grad
F
B
F
0
x
~ı
+
F
0
y
~
+
F
0
z
~k.
Уравнение касательной в точке
(
x
0
, y
0
, z
0
)
плоскости имеет
вид
(
x
−
x
0
)
F
0
x
(
x
0
, y
0
, z
0
) + (
y
−
y
0
)
F
0
y
(
x
0
, y
0
, z
0
)+
+(
z
−
z
0
)
F
0
z
(
x
0
, y
0
, z
0
) = 0
,
а уравнение нормальной прямой
—
x
−
x
0
F
0
x
(
x
0
, y
0
, z
0
)
=
y
−
y
0
F
0
y
(
x
0
, y
0
, z
0
)
=
z
−
z
0
F
0
z
(
x
0
, y
0
, z
0
)
.
Если рассмотреть поверхность уровня функции
F
,
т
.
е
.
по
-
верхность
,
определяемую уравнением
F
(
x, y, z
) =
c
,
то из пред
-
шествующего следует
,
что
grad
F
ортогонален поверхности
уровня
.
Последнее свойство согласуется
,
конечно
,
с тем
,
что
grad
F
указывает направление быстрейшего роста функции
F
.
§
21.7.
Кусочно гладкие поверхности
85
§
21.7.
Кусочно гладкие поверхности
В дальнейшем будет использовано понятие кусочно гладкой
поверхности
,
которое приведем здесь для простейшего случая
.
Определение
1.
Гладкую параметрически заданную по
-
верхность
S
=
{
~r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
}
(1)
назовем
элементарным гладким куском
поверхности
(
сокра
-
щенно
—
гладким куском
или
куском
поверхности
),
если гра
-
ница
∂D
представляет собой простой кусочно гладкий контур
.
Краем
∂S
куска поверхности
S
(1)
назовем
∂S
B
{
~r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
∂D
}
.
(2)
Край
∂S
куска поверхности представляет собой
,
очевидно
,
кусочно гладкий контур в
R
3
.
Два куска поверхности
S
i
=
{
~r
i
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
i
}
,
i
= 1
,
2
,
назовем
соседними
,
если пересечение их краев
S
1
∩
S
2
=
∂S
1
∩
∩
∂S
2
6
=
∅
представляет собой объединение конечного числа
кусочно гладких кривых и
,
быть может
,
конечного числа то
-
чек
.
Определение
2.
Объединение
S
=
I
T
i
=1
S
i
кусков поверхно
-
сти
S
i
(1
6
i
6
I
)
называется кусочно гладкой поверхностью
при выполнении следующих условий
:
1.
◦
для любых двух кусков поверхности
S
i
и
S
j
существует
такой набор кусков поверхности
S
i
=
S
i
1
,
S
i
2
, . . . ,
S
i
j
=
=
S
j
,
что любые два стоящие в нем рядом куска поверх
-
ности являются соседними
;
2.
◦
если при
i
6
=
j
пересечение
∂S
i
∩
∂S
j
содержит более чем
конечное множество точек
,
то куски поверхности
S
i
и
S
j
являются соседними
;
3.
◦
пересечение краев
∂S
i
∩
∂S
j
∩
∂S
k
любых трех различных
кусков поверхности состоит не более чем из конечного
числа точек
.
Для каждого куска
S
j
кусочно гладкой поверхности
S
обо
-
значим через
∂
(
i
)
S
j
часть его края
∂S
j
,
состоящую из объеди
-
нения всех кусочно гладких кривых из
S
k
6
=
i
(
∂S
k
∩
∂S
j
).
Назовем