ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1521
Скачиваний: 1
86
Глава
21.
Элементы теории поверхностей
∂
(
i
)
S
j
внутренней частью края
∂S
j
,
а
∂
(
e
)
S
j
B
∂S
j
\
∂
(
i
)
S
j
на
-
зовем внешней частью края
∂S
j
.
Краем
кусочно гладкой поверхности
S
назовем множество
∂S
B
I
S
i
=1
∂
(
e
)
S
i
.
Край
∂S
является либо пустым множеством
(
в этом случае
S
называется поверхностью без края
),
либо со
-
стоит из конечного числа кусочно гладких контуров
(
в этом
случае
S
называется поверхностью с краем
).
Так
,
например
,
краем боковой поверхности пирамиды явля
-
ется периметр ее основания
,
а поверхность куба является ку
-
сочно гладкой поверхностью без края
.
З а м е ч а н и е
.
Понятия кусочно гладкой поверх
-
ности
S
и края
∂S
кусочно гладкой поверхности можно было
бы обобщить
,
если считать
,
что соседние куски поверхности
S
i
и
S
j
«склеиваются» не по всем кривым из
∂S
i
∩
∂S
j
(
как в
нашем случае
),
а лишь по некоторым избранным
(
и не называ
-
ются соседними
,
если в
∂S
i
∩
∂S
j
нет кривых «склейки»
).
При
таком подходе краем
∂S
лежащего в плоскости
z
= 0
кольца с
разрезом по радиусу можно считать объединение двух окруж
-
ностей и этого разреза по радиусу
,
а у последнего различать
два берега
.
Однако для наших дальнейших целей достаточно
приведенных менее сложных определений соседних кусков по
-
верхностей и края кусочно гладкой поверхности
.
Рассмотрим пример другой поверхности
,
называемой ли
-
стом Мёбиуса
.
Он получится
,
если
,
взяв полоску бумаги пря
-
моугольной формы
,
повернуть один из ее концов вокруг сред
-
ней линии на
180
◦
и склеить оба конца
.
На листе Мёбиуса
нельзя задать непрерывное поле нормалей
.
Такая поверхность
называется неориентируемой или односторонней
.
Разрезав же
лист Мёбиуса по месту склейки бумаги
,
можно представить
его как
(
ориентируемый
,
т
.
е
.
двусторонний
)
кусок поверхно
-
сти
.
Обсудим связь между ориентацией гладкого куска поверх
-
ности
S
(1)
и ориентацией его края
∂S
.
Пусть контур
∂D
ориентирован положительно относитель
-
§
21.7.
Кусочно гладкие поверхности
87
но плоской области
D
.
Тогда его ориентация индуцирует ори
-
ентацию края
∂S
(
который как образ
∂D
является кусочно
гладким контуром в
R
3
).
Эта ориентация края
∂S
называ
-
ется согласованной с ориентацией
~n
=
~r
0
u
×
~r
v
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
гладкого куска
поверхности
.
Противоположная же ориентация края
∂S
назы
-
вается согласованной с ориентацией
−
~n
гладкого куска поверх
-
ности
S
.
Выясним геометрический смысл этого понятия согласован
-
ности
.
Пусть
S
—
явно заданный кусок поверхности
S
(21.2.6),
причем
D
—
круг малого радиуса
,
∂D
—
окружность
,
функ
-
ция
f
непрерывно дифференцируема на
D
.
При положитель
-
ной ориентации контура
(
окружности
)
∂D
относительно
D
эта
окружность проходится против часовой стрелки
.
Край
∂S
лежит на боковой поверхности кругового цилин
-
дра с осью
,
параллельной оси
Oz
,
и проекцией
∂S
на плоскость
z
= 0
является
∂D
.
Ориентация
∂S
определяется тем
,
что при
движении точки по
∂S
в направлении
,
задаваемом этой ориен
-
тацией
,
проекция этой точки движется по
∂D
против часовой
стрелки
.
В то же время нормаль
~n
=
−
f
0
x
~ı
−
f
0
y
~
+
~k
q
1 +
f
0
2
n
+
f
0
2
y
составляет
острый угол с положительным направлением оси
Oz
.
Таким образом
,
ориентация
~n
куска поверхности
S
согла
-
сована с ориентацией
∂S
по «правилу штопора»
(
штопор дви
-
жется в направлении
~n
,
если его ручка вращается в соответ
-
ствии с ориентацией
∂S
).
Это же согласование ориентаций можно выразить иначе
:
если мы движемся по контуру
∂S
в направлении его ориен
-
тации так
,
что нормаль
~n
пронизывает нас с ног до головы
,
то ближайшая часть куска поверхности
S
остается слева
.
По
-
следняя формулировка носит более общий характер
,
т
.
к
.
при
-
менима к произвольному явно заданному куску поверхности
,
а
значит
,
и к произвольному параметрически заданному куску
поверхности
,
т
.
к
.
каждый такой кусок поверхности локально
можно представить в виде явно заданного куска поверхности
.
88
Глава
21.
Элементы теории поверхностей
Такое согласование ради краткости также будем называть
согласованием по «правилу штопора»
.
Таким образом
,
задание ориентации куска поверхности
S
(1)
равносильно заданию ориентации его края
∂S
(
являюще
-
гося кусочно гладким контуром
).
Поэтому ориентацию края
∂S
также будем называть ориентацией
S
.
Пусть теперь
S
~ν
1
1
и
S
~ν
2
2
—
два соседних куска поверхно
-
сти
,
каждый из которых ориентирован каким
-
либо способом
(
одним из двух
).
Их ориентации
~ν
1
,
~ν
2
будем называть со
-
гласованными
,
если каждая из них на любой кусочно гладкой
кривой из
∂S
1
∩
∂S
2
порождает противоположные ориентации
.
Определение
3.
Кусочно гладкая поверхность
S
=
=
S
I
i
=1
S
i
называется
ориентируемой
,
если существуют такие
ориентации
~ν
1
,
. . . ,
~ν
I
кусков поверхности
S
1
,
. . . ,
S
I
,
что
ориентации
~ν
i
и
~ν
j
любых двух соседних кусков поверхности
S
i
и
S
j
согласованы
.
Совокупность
~ν
=
{
~ν
i
}
таких ориентаций кусков поверх
-
ности
S
i
(1
6
i
6
I
),
если она существует
,
называется ори
-
ентацией
~ν
поверхности
S
.
Совокупность противоположных
ориентаций
(
−
~ν
i
)
кусков
S
i
(1
6
i
6
I
)
называется при этом
противоположной ориентацией поверхности
S
.
Ориентируемая кусочно гладкая поверхность
S
,
у которой
фиксирована одна
(
из двух
)
ее ориентаций
~ν
,
называется
ори
-
ентированной
;
обозначим ее через
S
~ν
.
Край ориентированной кусочно гладкой поверхности
(
с
краем
)
состоит из конечного числа контуров
.
Любой из этих
контуров представляет собой объединение конечного числа
кривых
,
каждая из которых является частью одного из ори
-
ентированных контуров
∂S
i
и потому сама имеет ориентацию
.
Можно показать
,
что совокупность ориентаций всех таких
кривых определяет ориентацию всех контуров из
∂S
.
Совокуп
-
ность этих ориентаций контуров из
∂S
называется
ориента
-
цией края
∂S
,
порожденной заданной ориентацией поверхности
S
~ν
.
Глава
22
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§
22.1.
Поверхностные интегралы первого рода
Пусть в трехмерном евклидовом пространстве задана глад
-
кая поверхность
S
=
{
~r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
}
,
(1)
где
D
—
плоская измеримая область
.
Согласно определе
-
нию
21.1.4
~r
0
u
,
~r
v
—
непрерывны на
D
,
~r
0
u
×
~r
0
v
6
=
~
0
на
D
.
В определении
допустимой
замены параметров
(
u, v
)
по
-
верхности
(1) (
u
=
u
(
u
1
, v
1
),
v
=
v
(
u
1
, v
1
), (
u
1
, v
1
)
∈
D
)
будем
теперь включать еще дополнительное требование
измеримо
-
сти
области
D
1
.
Определение
1.
Пусть числовая функция
F
:
E
→
R
за
-
дана на
S
.
Тогда
Z Z
S
F
(
x, y, z
)
dS
B
B
Z Z
D
F
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
du dv
(2)
называется
поверхностным интегралом первого рода
от
функции
F
по поверхности
S
.
Установим некоторые свойства поверхностного инте
-
грала
(2).
1.
◦
Для
существования
интеграла
RR
S
F
(
z, y, z
)
dS
необходимо
и
достаточно
,
чтобы
функция
F
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
(
как
функция
переменных
u
,
v
)
была интегрируемой на
D
.
В частности
,
если
F
непрерывна на
S
(
см
.
определе
-
ние
10.5.2
),
то
RR
S
F
(
z, y, z
)
dS
существует
.
2.
◦
Поверхностный интеграл первого рода
(2)
не зависит
от параметризации гладкой поверхности
(1)
(
при ко
-
торой область изменения параметров измерима
).
90
Глава
22.
Поверхностные интегралы
Пусть гладкая поверхность
S
(1)
имеет другое представле
-
ние
S
=
{
~ρ
(
u
1
, v
1
)
,
(
u
1
, v
1
)
∈
D
1
}
,
где
D
1
—
измеримая область
,
~ρ
(
u
1
, v
1
) =
~r
(
u
(
u
1
, v
1
)
, v
(
u
1
, v
1
)) =
= (
ϕ
(
u
1
, v
1
)
, ψ
(
u
1
, v
1
)
, χ
(
u
1
, v
1
))
,
а
(
u
=
u
(
u
1
, v
1
)
v
=
v
(
u
1
, v
1
)
—
допустимая замена параметра на
S
.
То
-
гда с помощью формулы
(21.3.3)
и теоремы
19.5.2
получаем
,
что
Z Z
D
1
F
(
ϕ
(
u
1
, v
1
)
, ψ
(
u
1
, v
1
)
, χ
(
u
1
, v
1
))
|
~ρ
0
u
1
×
~ρ
0
v
1
|
du
1
dv
1
=
=
Z Z
D
1
F
(
ϕ
(
u
1
, v
1
)
, ψ
(
u
1
, v
1
)
, χ
(
u
1
, v
1
))
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
∂
(
u, v
)
∂
(
u
1
, v
1
)
du
1
dv
1
=
=
Z Z
D
F
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
du dv.
Определение
2.
Площадью гладкой поверхности
S
(1)
называется число
µS
B
Z Z
S
dS
=
Z Z
D
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
du dv.
(3)
В силу свойств
1
◦
и
2
◦
площадь гладкой поверхности
S
существует и не зависит от параметризации поверхности
(
при
допустимой замене параметров
).
Приведем соображения в пользу естественности определе
-
ния площади поверхности формулой
(3).
Рассмотрим разбие
-
ние плоскости
R
2
u,v
на квадраты ранга
m
∈
N
:
Q
(
k
)
j,k
=
{
(
u, v
)
,
j
−
1
2
m
6
u
6
j
2
m
,
k
−
1
2
m
6
v
6
k
2
m
}
, j, k
∈
Z
.
Перенумеруем непустые пересечения
D
∩
Q
j,k
и переобозна
-
чим их через
E
i
, 1
6
i
6
i
m
.
Получим разбиение
τ
m
=
{
E
i
}
i
m
i
=1