ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1579
Скачиваний: 1
§
22.1.
Поверхностные интегралы первого рода
91
u
v
0
h
h E
i
x
y
z
u
=
const
v
=
const
~
r
v
h
~
r
u
h
Рис
. 22.1
Рис
. 22.2
области
D
.
Пусть
m
достаточно велико и
E
i
∩
∂D
=
∅
.
Тогда
E
i
представляет собой квадрат вида
E
i
=
{
(
u, v
) :
u
i
6
u
6
u
i
+
h, v
i
6
v
6
v
i
+
h
} ⊂
D.
При переходе от вершины
(
u
i
, v
i
)
к соседним вершинам
E
i
радиус
-
вектор
~r
(
u, v
)
получит приращения
~r
(
u
i
+
h, v
i
)
−
~r
(
u
i
, v
i
) =
~r
0
u
(
u
i
, v
i
)
h
+
~o
(
h
)
,
~r
(
u
i
, v
i
+
h
)
−
~r
(
u
i
, v
i
) =
~r
0
v
(
u
i
, v
i
)
h
+
~o
(
h
)
.
Заменим образ квадрата
E
i
«близким» ему параллелограммом
,
лежащим в касательной плоскости к поверхности
S
в точке
ˆ
r
(
u
i
, v
i
)
и построенным на векторах
~r
0
u
(
u
i
, v
i
)
h
,
~r
0
v
(
u
i
, v
i
)
h
с пло
-
щадью
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
(
u
i
,v
i
)
µE
i
.
Если же
E
i
∩
∂D
6
=
∅
,
то
E
i
⊂
U
2
−
m
+1
(
∂D
)
и че
-
рез
(
u
i
, v
i
)
обозначим произвольную точку из
E
i
.
Поскольку
µ
∗
U
2
−
m
+1
(
∂D
)
→
0
при
m
→ ∞
(
лемма
18.2.3),
получаем в
силу сходимости сумм Римана к интегралу
,
что при
m
→ ∞
X
1
6
i
6
im
Ei
6∈
U
2
−
m
+1 (
∂G
)
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
(
u
i
,v
i
)
µE
i
→
Z Z
S
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
du dv.
Часто выражение
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
du dv
называют
элементом пло
-
щади
и обозначают символом
dS
.
Учитывая еще фор
-
92
Глава
22.
Поверхностные интегралы
мулы
(21.2.4), (21.5.3),
получаем различные виды записи
dS
:
dS
=
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
du dv
=
=
s
∂
(
y, z
)
∂
(
u, v
)
2
+
∂
(
z, x
)
∂
(
u, v
)
2
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
2
du dv
=
=
p
EG
−
F
2
du dv,
где
E
,
F
,
G
—
коэффициенты первой квадратичной формы
.
Поверхностный интеграл первого рода по кусочно гладкой
поверхности
S
=
S
I
i
=1
S
i
(
см
.
§
21.7)
определяется как сумма
поверхностных интегралов по каждому из кусков
S
i
(1
6
i
6
I
).
Аналогично площадь кусочно
-
гладкой поверхности
S
=
=
S
I
i
=1
S
i
определяется как сумма
I
P
i
=1
µS
i
площадей каждого
из кусков
.
§
22.2.
Поверхностные интегралы второго рода
Пусть в
R
3
задана гладкая поверхность
S
=
{
~r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
}
,
(1)
где
D
—
измеримая область
.
По определению
~r
0
u
,
~r
0
v
—
непрерывны на
D
,
~r
0
u
×
~r
0
v
6
=
~
0
на
D
.
Ориентируем
S
с помощью выбора непрерывного вектор
-
ного поля единичных нормалей
~ν
=
±
~n
и обозначим через
S
~ν
,
где
~n
=
~r
0
u
×
~r
0
v
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
= (cos
α,
cos
β,
cos
γ
)
.
(2)
В случае
~ν
=
~n
поверхность
S
~n
будем называть ориентиро
-
ванной положительно и обозначать также через
S
+
,
в случае
~ν
=
−
~n
поверхность
S
−
~n
будем называть ориентированной от
-
рицательно и обозначать также через
S
−
.
Пусть на поверхности
S
задано векторное поле
~a
(
x, y, z
) =
=
P
(
x, y, z
)
~ı
+
Q
(
x, y, z
)
·
+
R
(
x, y, z
)
~k
.
§
22.2.
Поверхностные интегралы второго рода
93
Определение
1.
Потоком
вектор
-
функции
~a
через ори
-
ентированную поверхность
S
~ν
(
говорят также
:
через поверх
-
ность
S
в направлении
~ν
)
называется поверхностный интеграл
первого рода
Z Z
S
(
~a,~ν
)
dS.
(3)
В
силу
свойств
поверхностных
интегралов
пер
-
вого
рода
этот
интеграл
существует
,
если
функ
-
ции
P
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
)),
Q
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
)),
R
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
как функции
(
u, v
)
интегрируемы
на
D
,
в частности
,
если
P
,
Q
,
R
непрерывны на
S
.
Интеграл
(2)
меняет знак при замене ориентации
~ν
на
−
~ν
,
т
.
е
.
на противоположную
.
Интеграл
(3),
вычисляемый через двойной интеграл на
области
D
изменения параметров
,
не зависит от допустимой
замены параметров
,
сохраняющих ориентацию поверхности
.
Определение
2.
Интеграл
(3)
называют
поверхностным
интегралом второго рода
от вектор
-
функции
~a
по ориентиро
-
ванной поверхности
S
~ν
.
В случае положительно ориентированной поверхности
S
+
(
~ν
=
~n
)
поверхностный интеграл второго рода по
S
+
обознача
-
ется символом
Z Z
S
+
P
(
x, y, z
)
dy dz
+
Q
(
x, y, z
)
dz dx
+
R
(
x, y, z
)
dx dy
B
B
Z Z
S
(
~a,~n
)
dS.
(4)
В силу определения
21.1.2
поверхностного интеграла пер
-
вого рода и
(2)
имеем
Z Z
S
+
P dy dz
+
Q dz dx
+
R dx dy
=
=
Z Z
S
[
P
(
x, y, z
) cos
α
+
Q
(
x, y, z
) cos
β
+
R
(
x, y, z
) cos
γ
]
dS
=
=
Z Z
S
P
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
∂
(
y, z
)
∂
(
u, v
)
+
94
Глава
22.
Поверхностные интегралы
+
Q
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
∂
(
z, x
)
∂
(
u, v
)
+
+
R
(
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
))
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
du dv.
(5)
Поверхностный интеграл второго рода по ориентированной
кусочно гладкой поверхности определяется как сумма поверх
-
ностных по соответственно ориентированным гладким кускам
этой поверхности
.
При доказательстве теоремы Остроградского
–
Гаусса нам
понадобится выражение потока векторного поля через гладкий
кусок поверхности в некоторой повернутой декартовой системе
координат
,
который в исходной системе координат имеет явное
описание более общего вида
,
чем в определении
21.5.1.
Приве
-
дем в связи с этим
Определение
3.
Поверхность
S
=
{
(
x, y, f
(
x, y
))
,
(
x, y
)
∈
D
}
,
(6)
где
D
—
ограниченная плоская область
,
∂D
—
простой ку
-
сочно гладкий контур
,
назовем
явно заданным почти гладким
куском поверхности
,
если
1.
◦
функция
f
непрерывна на
D
и непрерывно дифферен
-
цируема на
D
;
2.
◦
в некоторой декартовой системе координат
O
˜
x
˜
y
˜
z
,
повер
-
нутой относительно
Oxyz
,
множество
S
из
(6)
предста
-
вляется как явно заданный гладкий кусок поверхности
.
Почти гладкий кусок поверхности является гладким кус
-
ком поверхности
(
определение
21.5.1),
если
f
непрерывно диф
-
ференцируема не только на
D
,
но и на
D
.
Примером почти гладкого куска поверхности является
часть сферы
{
(
x, y, z
) :
x
2
+
y
2
+
z
2
= 1
, x
>
0
, y
>
ε, z
>
0
}
,
0
6
ε <
1
.
Ее можно представить как явно заданный гладкий кусок по
-
верхности в повернутой системе координат
O
˜
x
˜
y
˜
z
,
в которой
O
˜
z
совпадает с лучом
x
=
y
=
z
>
0 (
при
ε >
0
в качестве оси
O
˜
z
можно взять ось
Oy
).
§
22.2.
Поверхностные интегралы второго рода
95
Определение
4.
Потоком
непрерывного векторного поля
~a
(
x, y, z
) = 0
~ı
+ 0
~
+
R
(
x, y, z
)
~k
через почти гладкий кусок по
-
верхности
(1)
в направлении нормали
−
f
0
x
~ı
−
f
0
y
~
+
~k
называется
Z Z
D
R
(
x, y, f
(
x, y
))
dx dy.
(7)
Это определение обобщает определение потока данного век
-
торного поля
,
введенное в случае явно заданного гладкого
куска поверхности
(
см
. (5)
при
P
≡
Q
≡
0, (
u, v
) = (
x, y
)).
Можно показать
,
что поток вектора
~a
через поверхность
S
(6)
в направлении указанной нормали
,
вычисленный в повер
-
нутой координатной системе
O
˜
x
˜
y
˜
z
как поток через явно задан
-
ный гладкий кусок поверхности
˜
S
,
совпадает с интегралом
(7).
Другой довод в пользу естественности такого обобщения
(7)
состоит в следующем
.
Пусть
S
ε
—
часть поверхности
(6)
S
ε
=
{
(
x, y, f
(
x, y
))
,
(
x, y
)
∈
D
ε
}
,
где
ε >
0,
D
ε
=
{
(
x, y
)
∈
D
: dist((
x, y
)
, ∂D
)
> ε
}
.
Тогда
S
ε
—
гладкий кусок поверхности и поток вектора
R~k
через
S
ε
в направлении той же нормали равен
(
согласно
определению
1):
Z Z
D
ε
R
(
x, y, f
(
x, y
))
dx dy.
Последний интеграл при
ε
→
0
стремится к
(7)
в силу не
-
прерывности
R
(
x, y, f
(
x, y
))
на
D
и стремления
µ
(
D
\
D
ε
)
→
0.
Наряду с определениями
1, 2
будем считать принятыми
и аналогичные определения почти гладких кусков поверхно
-
сти
,
заданных в явном виде формулами
x
=
g
(
y, z
)
или
y
=
=
h
(
z, x
)
и соответственно потоков непрерывных векторных
полей
P
(
x, y, z
)
~ı
,
Q
(
x, y, z
)
~
.
Определение
5.
Расширим понятие кусочно гладкой по
-
верхности
,
считая
,
что наравне с гладкими кусками она может
содержать и явно заданные почти гладкие куски
.