ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 1574

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

§

22.1.

Поверхностные интегралы первого рода

91

u

v

0

h

h E

i

x

y

z

u

=

const

v

=

const

~

r

v

h

~

r

u

h

Рис

. 22.1

Рис

. 22.2

области

D

.

Пусть

m

достаточно велико и

E

i

∂D

=

.

Тогда

E

i

представляет собой квадрат вида

E

i

=

{

(

u, v

) :

u

i

6

u

6

u

i

+

h, v

i

6

v

6

v

i

+

h

} ⊂

D.

При переходе от вершины

(

u

i

, v

i

)

к соседним вершинам

E

i

радиус

-

вектор

~r

(

u, v

)

получит приращения

~r

(

u

i

+

h, v

i

)

~r

(

u

i

, v

i

) =

~r

0

u

(

u

i

, v

i

)

h

+

~o

(

h

)

,

~r

(

u

i

, v

i

+

h

)

~r

(

u

i

, v

i

) =

~r

0

v

(

u

i

, v

i

)

h

+

~o

(

h

)

.

Заменим образ квадрата

E

i

«близким» ему параллелограммом

,

лежащим в касательной плоскости к поверхности

S

в точке

ˆ

r

(

u

i

, v

i

)

и построенным на векторах

~r

0

u

(

u

i

, v

i

)

h

,

~r

0

v

(

u

i

, v

i

)

h

с пло

-

щадью

|

~r

0

u

×

~r

0

v

|

(

u

i

,v

i

)

µE

i

.

Если же

E

i

∂D

6

=

,

то

E

i

U

2

m

+1

(

∂D

)

и че

-

рез

(

u

i

, v

i

)

обозначим произвольную точку из

E

i

.

Поскольку

µ

U

2

m

+1

(

∂D

)

0

при

m

→ ∞

(

лемма

18.2.3),

получаем в

силу сходимости сумм Римана к интегралу

,

что при

m

→ ∞

X

1

6

i

6

im

Ei

6∈

U

2

m

+1 (

∂G

)

|

~r

0

u

×

~r

0

v

|

(

u

i

,v

i

)

µE

i

Z Z

S

|

~r

0

u

×

~r

0

v

|

du dv.

Часто выражение

|

~r

0

u

×

~r

0

v

|

du dv

называют

элементом пло

-

щади

и обозначают символом

dS

.

Учитывая еще фор

-


background image

92

Глава

22.

Поверхностные интегралы

мулы

(21.2.4), (21.5.3),

получаем различные виды записи

dS

:

dS

=

|

~r

0

u

×

~r

0

v

|

du dv

=

=

s

(

y, z

)

(

u, v

)

2

+

(

z, x

)

(

u, v

)

2

(

x, y

)

(

u, v

)

2

du dv

=

=

p

EG

F

2

du dv,

где

E

,

F

,

G

коэффициенты первой квадратичной формы

.

Поверхностный интеграл первого рода по кусочно гладкой

поверхности

S

=

S

I
i

=1

S

i

(

см

.

§

21.7)

определяется как сумма

поверхностных интегралов по каждому из кусков

S

i

(1

6

i

6

I

).

Аналогично площадь кусочно

-

гладкой поверхности

S

=

=

S

I
i

=1

S

i

определяется как сумма

I

P

i

=1

µS

i

площадей каждого

из кусков

.

§

22.2.

Поверхностные интегралы второго рода

Пусть в

R

3

задана гладкая поверхность

S

=

{

~r

(

u, v

)

,

(

u, v

)

D

}

,

(1)

где

D

измеримая область

.

По определению

~r

0

u

,

~r

0

v

непрерывны на

D

,

~r

0

u

×

~r

0

v

6

=

~

0

на

D

.

Ориентируем

S

с помощью выбора непрерывного вектор

-

ного поля единичных нормалей

=

±

~n

и обозначим через

S

,

где

~n

=

~r

0

u

×

~r

0

v

|

~r

0

u

×

~r

0

v

|

= (cos

α,

cos

β,

cos

γ

)

.

(2)

В случае

=

~n

поверхность

S

~n

будем называть ориентиро

-

ванной положительно и обозначать также через

S

+

,

в случае

=

~n

поверхность

S

~n

будем называть ориентированной от

-

рицательно и обозначать также через

S

.

Пусть на поверхности

S

задано векторное поле

~a

(

x, y, z

) =

=

P

(

x, y, z

)

+

Q

(

x, y, z

)

·

+

R

(

x, y, z

)

~k

.


background image

§

22.2.

Поверхностные интегралы второго рода

93

Определение

1.

Потоком

вектор

-

функции

~a

через ори

-

ентированную поверхность

S

(

говорят также

:

через поверх

-

ность

S

в направлении

)

называется поверхностный интеграл

первого рода

Z Z

S

(

~a,~ν

)

dS.

(3)

В

силу

свойств

поверхностных

интегралов

пер

-

вого

рода

этот

интеграл

существует

,

если

функ

-

ции

P

(

x

(

u, v

)

, y

(

u, v

)

, z

(

u, v

)),

Q

(

x

(

u, v

)

, y

(

u, v

)

, z

(

u, v

)),

R

(

x

(

u, v

)

, y

(

u, v

)

, z

(

u, v

))

как функции

(

u, v

)

интегрируемы

на

D

,

в частности

,

если

P

,

Q

,

R

непрерывны на

S

.

Интеграл

(2)

меняет знак при замене ориентации

на

,

т

.

е

.

на противоположную

.

Интеграл

(3),

вычисляемый через двойной интеграл на

области

D

изменения параметров

,

не зависит от допустимой

замены параметров

,

сохраняющих ориентацию поверхности

.

Определение

2.

Интеграл

(3)

называют

поверхностным

интегралом второго рода

от вектор

-

функции

~a

по ориентиро

-

ванной поверхности

S

.

В случае положительно ориентированной поверхности

S

+

(

=

~n

)

поверхностный интеграл второго рода по

S

+

обознача

-

ется символом

Z Z

S

+

P

(

x, y, z

)

dy dz

+

Q

(

x, y, z

)

dz dx

+

R

(

x, y, z

)

dx dy

B

B

Z Z

S

(

~a,~n

)

dS.

(4)

В силу определения

21.1.2

поверхностного интеграла пер

-

вого рода и

(2)

имеем

Z Z

S

+

P dy dz

+

Q dz dx

+

R dx dy

=

=

Z Z

S

[

P

(

x, y, z

) cos

α

+

Q

(

x, y, z

) cos

β

+

R

(

x, y, z

) cos

γ

]

dS

=

=

Z Z

S

P

(

x

(

u, v

)

, y

(

u, v

)

, z

(

u, v

))

(

y, z

)

(

u, v

)

+


background image

94

Глава

22.

Поверхностные интегралы

+

Q

(

x

(

u, v

)

, y

(

u, v

)

, z

(

u, v

))

(

z, x

)

(

u, v

)

+

+

R

(

x

(

u, v

)

, y

(

u, v

)

, z

(

u, v

))

(

x, y

)

(

u, v

)

du dv.

(5)

Поверхностный интеграл второго рода по ориентированной

кусочно гладкой поверхности определяется как сумма поверх

-

ностных по соответственно ориентированным гладким кускам
этой поверхности

.

При доказательстве теоремы Остроградского

Гаусса нам

понадобится выражение потока векторного поля через гладкий
кусок поверхности в некоторой повернутой декартовой системе
координат

,

который в исходной системе координат имеет явное

описание более общего вида

,

чем в определении

21.5.1.

Приве

-

дем в связи с этим

Определение

3.

Поверхность

S

=

{

(

x, y, f

(

x, y

))

,

(

x, y

)

D

}

,

(6)

где

D

ограниченная плоская область

,

∂D

простой ку

-

сочно гладкий контур

,

назовем

явно заданным почти гладким

куском поверхности

,

если

1.

функция

f

непрерывна на

D

и непрерывно дифферен

-

цируема на

D

;

2.

в некоторой декартовой системе координат

O

˜

x

˜

y

˜

z

,

повер

-

нутой относительно

Oxyz

,

множество

S

из

(6)

предста

-

вляется как явно заданный гладкий кусок поверхности

.

Почти гладкий кусок поверхности является гладким кус

-

ком поверхности

(

определение

21.5.1),

если

f

непрерывно диф

-

ференцируема не только на

D

,

но и на

D

.

Примером почти гладкого куска поверхности является

часть сферы

{

(

x, y, z

) :

x

2

+

y

2

+

z

2

= 1

, x

>

0

, y

>

ε, z

>

0

}

,

0

6

ε <

1

.

Ее можно представить как явно заданный гладкий кусок по

-

верхности в повернутой системе координат

O

˜

x

˜

y

˜

z

,

в которой

O

˜

z

совпадает с лучом

x

=

y

=

z

>

0 (

при

ε >

0

в качестве оси

O

˜

z

можно взять ось

Oy

).


background image

§

22.2.

Поверхностные интегралы второго рода

95

Определение

4.

Потоком

непрерывного векторного поля

~a

(

x, y, z

) = 0

+ 0

~

+

R

(

x, y, z

)

~k

через почти гладкий кусок по

-

верхности

(1)

в направлении нормали

f

0

x

f

0

y

~

+

~k

называется

Z Z

D

R

(

x, y, f

(

x, y

))

dx dy.

(7)

Это определение обобщает определение потока данного век

-

торного поля

,

введенное в случае явно заданного гладкого

куска поверхности

(

см

. (5)

при

P

Q

0, (

u, v

) = (

x, y

)).

Можно показать

,

что поток вектора

~a

через поверхность

S

(6)

в направлении указанной нормали

,

вычисленный в повер

-

нутой координатной системе

O

˜

x

˜

y

˜

z

как поток через явно задан

-

ный гладкий кусок поверхности

˜

S

,

совпадает с интегралом

(7).

Другой довод в пользу естественности такого обобщения

(7)

состоит в следующем

.

Пусть

S

ε

часть поверхности

(6)

S

ε

=

{

(

x, y, f

(

x, y

))

,

(

x, y

)

D

ε

}

,

где

ε >

0,

D

ε

=

{

(

x, y

)

D

: dist((

x, y

)

, ∂D

)

> ε

}

.

Тогда

S

ε

гладкий кусок поверхности и поток вектора

R~k

через

S

ε

в направлении той же нормали равен

(

согласно

определению

1):

Z Z

D

ε

R

(

x, y, f

(

x, y

))

dx dy.

Последний интеграл при

ε

0

стремится к

(7)

в силу не

-

прерывности

R

(

x, y, f

(

x, y

))

на

D

и стремления

µ

(

D

\

D

ε

)

0.

Наряду с определениями

1, 2

будем считать принятыми

и аналогичные определения почти гладких кусков поверхно

-

сти

,

заданных в явном виде формулами

x

=

g

(

y, z

)

или

y

=

=

h

(

z, x

)

и соответственно потоков непрерывных векторных

полей

P

(

x, y, z

)

,

Q

(

x, y, z

)

~

.

Определение

5.

Расширим понятие кусочно гладкой по

-

верхности

,

считая

,

что наравне с гладкими кусками она может

содержать и явно заданные почти гладкие куски

.