ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1578
Скачиваний: 1
Глава
23
СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
§
23.1.
Скалярные и векторные поля
Здесь будут рассматриваться числовые или векторные
функции
,
заданные на плоских или трехмерных областях
.
При
этом будем говорить
,
что на данной области задано скаляр
-
ное или соответственно векторное поле
.
Если заданные функ
-
ции непрерывны
,
дифференцируемы и т
.
п
.,
будем говорить со
-
ответственно
,
что скалярное или векторное поле непрерывно
,
дифференцируемо и т
.
п
.
Введем символический вектор
,
называемый
оператором
Гамильтона
или оператором «
набла
»
:
∇
=
~ı
∂
∂x
+
~
∂
∂y
+
~k
∂
∂z
.
Тогда
градиент
числовой функции
u
grad
u
=
∇
u,
если правую часть понимать как «произведение» вектора на
-
бла на числовую функцию
u
.
Пусть задано векторное поле
~a
:
G
→
R
3
,
G
⊂
R
3
.
Его
производной по направлению
~e
= (cos
α,
cos
β,
cos
γ
)
в
точке
(
x
0
, y
0
, z
0
)
∈
G
называется
∂~a
(
x
0
, y
0
, z
0
)
∂~e
B
d
dt
~a
(
x
0
+
t
cos
α, y
0
+
t
cos
β, z
0
+
t
cos
γ
)
t
=0
,
если производная в правой части существует
.
По правилу дифференцирования сложной функции
∂~a
∂~e
=
∂~a
∂x
cos
α
+
∂~a
∂y
cos
β
+
∂~a
∂z
cos
γ
= (
~e,
∇
)
~a,
где
скалярное произведение
(
~e,
∇
) = cos
α
∂
∂x
+ cos
β
∂
∂y
+ cos
γ
∂
∂z
.
§
23.1.
Скалярные и векторные поля
97
Если
~b
= (
b
x
, b
y
, b
z
) —
произвольный фиксированный век
-
тор
,
то вектор
(
~b,
∇
)
~a
B
b
x
∂~a
∂x
+
b
y
∂~a
∂y
+
b
z
∂~a
∂z
называется
градиентом
вектора
~a
по вектору
~b
.
Если поле
~a
= (
a
x
, a
y
, a
z
)
дифференцируемо в некоторой
точке
,
то число
div
~a
B
∂a
x
∂x
+
∂a
y
∂y
+
∂a
z
∂z
называется
дивергенцией
(
или расходимостью
)
поля
~a
в этой
точке
.
Символически можно записать
div
~a
= (
∇
,~a
)
.
Ротором
или
вихрем
векторного поля
~a
в данной точке на
-
зывается вектор
rot
~a
B
∇ ×
~a
=
~ı
~
~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
a
x
a
y
a
z
B
B
~ı
∂a
z
∂y
−
∂a
y
∂z
+
~
∂a
x
∂z
−
∂a
z
∂x
+
~k
∂a
y
∂x
−
∂a
x
∂y
.
Пусть
Γ —
кусочно гладкий контур в области
G
.
Интеграл
Z
Γ
a
x
dx
+
a
y
dy
+
a
z
dz
C
Z
Γ
(
~a, d~r
)
называется
циркуляцией векторного поля
~a
= (
a
x
, a
y
, a
z
)
по
контуру
Γ.
Ни градиент скалярного поля
,
ни дивергенция
,
ни вихрь
векторного поля не зависят от сдвига и поворота декартовой
системы координат
.
Это утверждение можно доказать как
непосредственными вычислениями
,
так и на основе геометри
-
ческих соображений
.
Например
,
градиент функции
,
как из
-
вестно
,
направлен в сторону быстрейшего роста функции и по
98
Глава
23.
Скалярные и векторные поля
величине равен производной по этому направлению
.
Обсужда
-
емая независимость дивергенции и вихря векторного поля бу
-
дут получены в качестве следствий соответственно из теоремы
Остроградского
–
Гаусса и теоремы Стокса
.
Оператор
∇
,
применяемый к скалярному или векторному
полю
,
действует
,
с одной стороны
,
как оператор дифференци
-
рования
,
а с другой
—
как обычный вектор
.
Выработаны фор
-
мальные правила преобразований выражений
,
содержащих
∇
,
основанные на разделении этих ролей
.
Приведем пример таких
преобразований
,
разъяснения к которому будут даны вслед за
ним
:
rot(
f~a
) =
∇ ×
(
f~a
) =
=
↑
∇ ×
(
↓
f~a
) +
↑
∇ ×
(
f
↓
~a
) = (
↑
∇
↓
f
)
×
~a
+
f
(
↑
∇ ×
↓
~a
) =
= (
∇
f
)
×
~a
+
f
(
∇ ×
~a
) = grad
f
+
~a
+
f
rot
~a.
Здесь
f
—
скалярная
,
~a
—
векторная функции
.
Стрелка
↑
означает
,
что мы «снимаем» операцию дифференцирования с
∇
,
перенося ее
(
что показывается стрелкой
↓
)
на объект дей
-
ствия
∇
,
т
.
е
.
на произведение
f~a
.
Дифференцирование
↓
про
-
изведения проводится по правилу Лейбница
.
Применяем пра
-
вила действия с обычными векторами
(
перенос числового мно
-
жителя
↓
f
или
f
),
стараясь сблизить
↑
∇
с множителем
,
снабжен
-
ным стрелкой
↓
.
Снимаем все стрелки
.
Обоснование этих преобразований можно получить на сле
-
дующем пути
.
Представим
∇
в виде
∇
=
∇
1
+
∇
2
+
∇
3
,
где
∇
1
=
~ı
∂
∂x
,
∇
2
=
~
∂
∂y
,
∇
3
=
~k
∂
∂z
.
Такое представление озна
-
чает
,
что результат действия
∇
на числовую или векторную
функцию равен сумме результатов действий на эту функцию
∇
1
,
∇
2
и
∇
3
.
Приведенные же формальные операции
,
если за
-
менить в них
∇
на
∇
1
,
или на
∇
2
,
или на
∇
3
,
превращаются
в неформальные и хорошо известные
.
Остается провести их и
результат записать в желаемой форме
.
§
23.2.
Формула Остроградского
–
Гаусса
99
§
23.2.
Формула Остроградского
–
Гаусса
Определение
1.
Область
G
⊂
R
3
вида
G
=
{
(
x, y, z
) :
ϕ
(
x, y
)
< z < ψ
(
x, y
)
,
(
x, y
)
∈
D
}
(1)
назовем простой относительно оси
Oz
(
короче
:
Oz
-
простой
),
если
D
—
ограниченная плоская область
,
∂D
—
простой ку
-
сочно гладкий контур
,
функции
ϕ
,
ψ
непрерывны на
D
и не
-
прерывно дифференцируемы на
D
,
ϕ < ψ
на
D
.
Как видим
,
граница
∂G
=
S
1
∪
S
2
∪
S
0
состоит из нижней
S
1
,
верхней
S
2
и боковой
S
0
частей
,
причем нижняя и верхняя
части являются явно заданными почти гладкими кусками по
-
верхности
,
а боковая часть
—
частью цилиндрической поверх
-
ности с образующей
,
параллельной оси
Oz
и направляющей
∂D
.
Граница
∂G
представляет собой кусочно гладкую поверх
-
ность
,
состоящую из трех или более кусков
.
Будем считать принятыми также и аналогичные определе
-
ния
Ox
-
простой
области и
Oy
-
простой
области
.
Пусть в
R
3
задана измеримая область
G
,
граница
∂G
ко
-
торой состоит из конечного числа попарно непересекающихся
кусочно гладких поверхностей
,
~n
—
единичный вектор внеш
-
ней нормали к
∂G
.
Пусть в замыкании
G
области
G
задано непрерывное век
-
торное поле
~a
=
P~ı
+
Q~
+
R~k
,
для которого
∂P
∂x
,
∂Q
∂y
,
∂R
∂z
не
-
прерывны на
G
.
Нашей целью будет доказать равенство
Z Z Z
G
div
~a
=
Z Z
∂G
(
~a,~n
)
dS
(2)
при
некоторых
дополнительных
условиях
,
налагаемых
на область
G
.
Это равенство называется формулой
Остроградского
–
Гаусса
.
Теорема
1 (
Остроградского
–
Гаусса
).
Пусть для
замкнутой области
G
существуют три разбиения
:
τ
x
=
=
{
G
x,m
}
m
x
m
=1
,
τ
y
=
{
G
y,m
}
m
y
m
=1
,
τ
z
=
{
G
z,m
}
m
z
m
=1
,
где
G
x,m
,
G
y,m
,
G
z,m
соответственно
Ox
-
простые
,
Oy
-
простые и
Oz
-
простые
области
.
100
Глава
23.
Скалярные и векторные поля
Пусть
~a
=
P~ı
+
Q~
+
R~k
—
непрерывное векторное поле на
G
,
∂P
∂x
,
∂Q
∂y
,
∂R
∂z
непрерывны на
G
.
Тогда справедлива формула
(2)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Будем рассматривать лишь поле
вида
~a
=
R~k
,
т
.
к
.
случаи полей
P~ı
,
Q~
рассматриваются ана
-
логично
,
а из доказательства формулы
(2)
во всех трех случаях
следует утверждение теоремы
.
1-
й ш а г
.
Пусть область
G
является
Oz
-
простой
(
см
.
определение
1).
Тогда
,
сводя тройной интеграл к повторному
и используя формулу Ньютона
–
Лейбница
,
получаем
Z Z Z
G
div
~a dx dy dz
=
Z Z Z
G
∂R
∂z
dx dy dz
=
=
Z Z
D
Z
ψ
(
x,y
)
ϕ
(
x,y
)
∂R
∂z
dz
!
dx dy
=
=
Z Z
D
R
(
x, y, ψ
(
x, y
))
dx dy
−
Z Z
D
R
(
x, y, ϕ
(
x, y
))
dx dy.
Пусть
S
1
—
нижняя
,
S
2
—
верхняя
,
S
0
—
боковая сторона
поверхности
∂G
.
Ориентируем их с помощью единичного век
-
тора
~n
внешней
(
по отношению к
G
)
нормали
.
Тогда из последней цепочки равенств получаем
,
что
Z Z Z
G
div
~a dx dy dz
=
=
Z Z
S
~
n
2
R
(
x, y, z
)
dx dy
+
Z Z
S
~
n
1
R
(
x, y, z
)
dx dy
=
=
Z Z
S
2
(
~a,~n
)
dS
+
Z Z
S
1
(
~a,~n
)
dS
+
Z Z
S
0
(
~a,~n
)
dS,
поскольку последнее слагаемое равно нулю
,
т
.
к
. (
~a,~n
) = 0
на
S
0
.
Следовательно
,
в условиях шага
1
формула
(2)
справед
-
лива
.
2-
й ш а г
.
Пусть условия теоремы выполнены при
~a
=
R~k
и
τ
z
=
{
G
z,m
}
m
z
m
=1
—
разбиение
G
из условия теоремы
.
Тогда
,