ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 1575

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

Глава

23

СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

§

23.1.

Скалярные и векторные поля

Здесь будут рассматриваться числовые или векторные

функции

,

заданные на плоских или трехмерных областях

.

При

этом будем говорить

,

что на данной области задано скаляр

-

ное или соответственно векторное поле

.

Если заданные функ

-

ции непрерывны

,

дифференцируемы и т

.

п

.,

будем говорить со

-

ответственно

,

что скалярное или векторное поле непрерывно

,

дифференцируемо и т

.

п

.

Введем символический вектор

,

называемый

оператором

Гамильтона

или оператором «

набла

»

:

=

∂x

+

~

∂y

+

~k

∂z

.

Тогда

градиент

числовой функции

u

grad

u

=

u,

если правую часть понимать как «произведение» вектора на

-

бла на числовую функцию

u

.

Пусть задано векторное поле

~a

:

G

R

3

,

G

R

3

.

Его

производной по направлению

~e

= (cos

α,

cos

β,

cos

γ

)

в

точке

(

x

0

, y

0

, z

0

)

G

называется

∂~a

(

x

0

, y

0

, z

0

)

∂~e

B

d

dt

~a

(

x

0

+

t

cos

α, y

0

+

t

cos

β, z

0

+

t

cos

γ

)




t

=0

,

если производная в правой части существует

.

По правилу дифференцирования сложной функции

∂~a

∂~e

=

∂~a

∂x

cos

α

+

∂~a

∂y

cos

β

+

∂~a

∂z

cos

γ

= (

~e,

)

~a,

где

скалярное произведение

(

~e,

) = cos

α

∂x

+ cos

β

∂y

+ cos

γ

∂z

.


background image

§

23.1.

Скалярные и векторные поля

97

Если

~b

= (

b

x

, b

y

, b

z

) —

произвольный фиксированный век

-

тор

,

то вектор

(

~b,

)

~a

B

b

x

∂~a

∂x

+

b

y

∂~a

∂y

+

b

z

∂~a

∂z

называется

градиентом

вектора

~a

по вектору

~b

.

Если поле

~a

= (

a

x

, a

y

, a

z

)

дифференцируемо в некоторой

точке

,

то число

div

~a

B

∂a

x

∂x

+

∂a

y

∂y

+

∂a

z

∂z

называется

дивергенцией

(

или расходимостью

)

поля

~a

в этой

точке

.

Символически можно записать

div

~a

= (

,~a

)

.

Ротором

или

вихрем

векторного поля

~a

в данной точке на

-

зывается вектор

rot

~a

B

∇ ×

~a

=







~

~k

∂x

∂y

∂z

a

x

a

y

a

z







B

B

∂a

z

∂y

∂a

y

∂z

+

~

∂a

x

∂z

∂a

z

∂x

+

~k

∂a

y

∂x

∂a

x

∂y

.

Пусть

Γ —

кусочно гладкий контур в области

G

.

Интеграл

Z

Γ

a

x

dx

+

a

y

dy

+

a

z

dz

C

Z

Γ

(

~a, d~r

)

называется

циркуляцией векторного поля

~a

= (

a

x

, a

y

, a

z

)

по

контуру

Γ.

Ни градиент скалярного поля

,

ни дивергенция

,

ни вихрь

векторного поля не зависят от сдвига и поворота декартовой
системы координат

.

Это утверждение можно доказать как

непосредственными вычислениями

,

так и на основе геометри

-

ческих соображений

.

Например

,

градиент функции

,

как из

-

вестно

,

направлен в сторону быстрейшего роста функции и по


background image

98

Глава

23.

Скалярные и векторные поля

величине равен производной по этому направлению

.

Обсужда

-

емая независимость дивергенции и вихря векторного поля бу

-

дут получены в качестве следствий соответственно из теоремы
Остроградского

Гаусса и теоремы Стокса

.

Оператор

,

применяемый к скалярному или векторному

полю

,

действует

,

с одной стороны

,

как оператор дифференци

-

рования

,

а с другой

как обычный вектор

.

Выработаны фор

-

мальные правила преобразований выражений

,

содержащих

,

основанные на разделении этих ролей

.

Приведем пример таких

преобразований

,

разъяснения к которому будут даны вслед за

ним

:

rot(

f~a

) =

∇ ×

(

f~a

) =

=

∇ ×

(

f~a

) +

∇ ×

(

f

~a

) = (

f

)

×

~a

+

f

(

∇ ×

~a

) =

= (

f

)

×

~a

+

f

(

∇ ×

~a

) = grad

f

+

~a

+

f

rot

~a.

Здесь

f

скалярная

,

~a

векторная функции

.

Стрелка

означает

,

что мы «снимаем» операцию дифференцирования с

,

перенося ее

(

что показывается стрелкой

)

на объект дей

-

ствия

,

т

.

е

.

на произведение

f~a

.

Дифференцирование

про

-

изведения проводится по правилу Лейбница

.

Применяем пра

-

вила действия с обычными векторами

(

перенос числового мно

-

жителя

f

или

f

),

стараясь сблизить

с множителем

,

снабжен

-

ным стрелкой

.

Снимаем все стрелки

.

Обоснование этих преобразований можно получить на сле

-

дующем пути

.

Представим

в виде

=

1

+

2

+

3

,

где

1

=

∂x

,

2

=

~

∂y

,

3

=

~k

∂z

.

Такое представление озна

-

чает

,

что результат действия

на числовую или векторную

функцию равен сумме результатов действий на эту функцию

1

,

2

и

3

.

Приведенные же формальные операции

,

если за

-

менить в них

на

1

,

или на

2

,

или на

3

,

превращаются

в неформальные и хорошо известные

.

Остается провести их и

результат записать в желаемой форме

.


background image

§

23.2.

Формула Остроградского

Гаусса

99

§

23.2.

Формула Остроградского

Гаусса

Определение

1.

Область

G

R

3

вида

G

=

{

(

x, y, z

) :

ϕ

(

x, y

)

< z < ψ

(

x, y

)

,

(

x, y

)

D

}

(1)

назовем простой относительно оси

Oz

(

короче

:

Oz

-

простой

),

если

D

ограниченная плоская область

,

∂D

простой ку

-

сочно гладкий контур

,

функции

ϕ

,

ψ

непрерывны на

D

и не

-

прерывно дифференцируемы на

D

,

ϕ < ψ

на

D

.

Как видим

,

граница

∂G

=

S

1

S

2

S

0

состоит из нижней

S

1

,

верхней

S

2

и боковой

S

0

частей

,

причем нижняя и верхняя

части являются явно заданными почти гладкими кусками по

-

верхности

,

а боковая часть

частью цилиндрической поверх

-

ности с образующей

,

параллельной оси

Oz

и направляющей

∂D

.

Граница

∂G

представляет собой кусочно гладкую поверх

-

ность

,

состоящую из трех или более кусков

.

Будем считать принятыми также и аналогичные определе

-

ния

Ox

-

простой

области и

Oy

-

простой

области

.

Пусть в

R

3

задана измеримая область

G

,

граница

∂G

ко

-

торой состоит из конечного числа попарно непересекающихся
кусочно гладких поверхностей

,

~n

единичный вектор внеш

-

ней нормали к

∂G

.

Пусть в замыкании

G

области

G

задано непрерывное век

-

торное поле

~a

=

P~ı

+

Q~

+

R~k

,

для которого

∂P

∂x

,

∂Q

∂y

,

∂R

∂z

не

-

прерывны на

G

.

Нашей целью будет доказать равенство

Z Z Z

G

div

~a

=

Z Z

∂G

(

~a,~n

)

dS

(2)

при

некоторых

дополнительных

условиях

,

налагаемых

на область

G

.

Это равенство называется формулой

Остроградского

Гаусса

.

Теорема

1 (

Остроградского

Гаусса

).

Пусть для

замкнутой области

G

существуют три разбиения

:

τ

x

=

=

{

G

x,m

}

m

x

m

=1

,

τ

y

=

{

G

y,m

}

m

y

m

=1

,

τ

z

=

{

G

z,m

}

m

z

m

=1

,

где

G

x,m

,

G

y,m

,

G

z,m

соответственно

Ox

-

простые

,

Oy

-

простые и

Oz

-

простые

области

.


background image

100

Глава

23.

Скалярные и векторные поля

Пусть

~a

=

P~ı

+

Q~

+

R~k

непрерывное векторное поле на

G

,

∂P

∂x

,

∂Q

∂y

,

∂R

∂z

непрерывны на

G

.

Тогда справедлива формула

(2)

.

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Будем рассматривать лишь поле

вида

~a

=

R~k

,

т

.

к

.

случаи полей

P~ı

,

Q~

рассматриваются ана

-

логично

,

а из доказательства формулы

(2)

во всех трех случаях

следует утверждение теоремы

.

1-

й ш а г

.

Пусть область

G

является

Oz

-

простой

(

см

.

определение

1).

Тогда

,

сводя тройной интеграл к повторному

и используя формулу Ньютона

Лейбница

,

получаем

Z Z Z

G

div

~a dx dy dz

=

Z Z Z

G

∂R

∂z

dx dy dz

=

=

Z Z

D

 

Z

ψ

(

x,y

)

ϕ

(

x,y

)

∂R

∂z

dz

!

dx dy

=

=

Z Z

D

R

(

x, y, ψ

(

x, y

))

dx dy

Z Z

D

R

(

x, y, ϕ

(

x, y

))

dx dy.

Пусть

S

1

нижняя

,

S

2

верхняя

,

S

0

боковая сторона

поверхности

∂G

.

Ориентируем их с помощью единичного век

-

тора

~n

внешней

(

по отношению к

G

)

нормали

.

Тогда из последней цепочки равенств получаем

,

что

Z Z Z

G

div

~a dx dy dz

=

=

Z Z

S

~

n

2

R

(

x, y, z

)

dx dy

+

Z Z

S

~

n

1

R

(

x, y, z

)

dx dy

=

=

Z Z

S

2

(

~a,~n

)

dS

+

Z Z

S

1

(

~a,~n

)

dS

+

Z Z

S

0

(

~a,~n

)

dS,

поскольку последнее слагаемое равно нулю

,

т

.

к

. (

~a,~n

) = 0

на

S

0

.

Следовательно

,

в условиях шага

1

формула

(2)

справед

-

лива

.

2-

й ш а г

.

Пусть условия теоремы выполнены при

~a

=

R~k

и

τ

z

=

{

G

z,m

}

m

z

m

=1

разбиение

G

из условия теоремы

.

Тогда

,