ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1526
Скачиваний: 1
§
23.2.
Формула Остроградского
–
Гаусса
101
используя результат шага
1,
имеем
Z Z Z
G
div
~a dx dy dz
=
m
z
X
m
=1
Z Z Z
G
z,m
div
~a dx dy dz
=
=
m
z
X
m
=1
Z Z
∂G
z,m
(
~a,~n
(
m
)
)
dS
=
Z Z
∂G
(
~a,~n
)
dS.
Здесь
~n
(
m
)
—
единичный вектор внешней нормали к гра
-
нице
∂G
z,m
области
G
z,m
.
При получении последнего равен
-
ства учтено
,
что на общей части
∂G
z,m
∩
∂G
z,p
границ двух
Oz
-
простых областей
G
z,m
и
G
z,p
(
m
6
=
p
)
внешние нормали
~n
(
m
)
и
~n
(
p
)
противоположны
.
Поэтому сумма потоков вектора
~a
через эту общую часть границы в направлениях
~n
(
m
)
и
~n
(
p
)
равна нулю
.
Следовательно
,
в последней сумме интегралы по
∂G
z,m
можно заменить интегралами по
∂G
∩
∂G
z,m
.
Поскольку
S
m
z
m
=1
(
∂G
∩
G
z,m
) =
∂G
,
мы приходим к последнему равенству
последней цепочки равенств
.
Таким образом
,
утверждение теоремы для
~a
=
R~k
,
а вместе
с ним и для общего случая векторного поля
~a
,
установлено
.
Получим одно следствие формулы Остроградского
–
Гаусса
.
Пусть векторное поле
~a
=
P~ı
+
Q~
+
R~k
непрерывно вместе с
производными
P
0
x
,
Q
0
y
,
R
0
z
в некоторой окрестности
U
(
M
)
точки
M
∈
R
3
.
Пусть
B
ε
—
шар радиуса
ε >
0
с центром в точке
M
,
∂B
ε
—
поверхность шара
,
~n
—
единичный вектор внешней
нормали к
∂B
ε
.
Тогда при всех достаточно малых
ε >
0
Z Z Z
B
ε
div
~a dx dy dz
=
Z Z
∂B
ε
(
~a,~n
)
dS.
В силу теоремы о среднем для некоторой точки
M
ε
∈
B
ε
div
~a
(
M
ε
) =
1
µB
ε
Z Z
∂B
ε
(
~a,~n
)
dS,
а в силу непрерывности
div
~a
div
~a
(
M
) = lim
ε
→
0
1
µB
ε
Z Z
∂B
ε
(
~a,~n
)
dS.
(3)
102
Глава
23.
Скалярные и векторные поля
Интеграл в правой части
(3)
не зависит от выбора прямоуголь
-
ной системы координат в
R
3
,
так что и дивергенция векторного
поля не зависит от выбора прямоугольной системы координат
.
Формула
(3)
может служить определением дивергенции
.
Такое
определение дивергенции называют
геометрическим
.
Упражнение
1.
Выразить меру области
G
⊂
R
3
через по
-
верхностные интегралы
,
применив формулу Остроградского
–
Гаусса к каждому из векторных полей
:
~a
=
x~ı
,
~a
=
y~
,
~a
=
z~k
,
~a
=
1
3
(
x~ı
+
y~
+
z~k
).
Определение
2.
Ограниченную область
G
⊂
R
3
,
удовле
-
творяющую условиям теоремы Остроградского
–
Гаусса
,
будем
называть
допустимой
.
Определение
3.
Непрерывно дифференцируемое в обла
-
сти
G
⊂
R
3
векторное поле
~a
=
~a
(
x, y, z
)
называется
соленои
-
дальным
,
если
div
~a
= 0
на
G.
Теорема
2.
Для того чтобы непрерывно дифференцируе
-
мое в области
G
векторное поле было соленоидальным
,
необ
-
ходимо и достаточно
,
чтобы был равен нулю его поток в на
-
правлении внешней нормали через границу любой допустимой
области
D
,
замыкание которой
D
⊂
G
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
достаточности следует из фор
-
мулы
(23.3.3),
а необходимости
—
из формулы Остроградско
-
го
–
Гаусса
(23.3.2).
Определение
4.
Область
G
⊂
R
3
называется
объемно
односвязной
,
если для любой допустимой области
D
⊂
R
3
из
условия
∂D
⊂
G
следует
,
что
D
⊂
G
.
Можно сказать условно
,
что объемно односвязная область
не имеет «дыр»
,
«пустот»
.
З а м е ч а н и е
1.
Дают и отличное от определения
3
определение соленоидального поля в области
G
⊂
R
3
,
называя
соленоидальным такое непрерывно дифференцируемое вектор
-
ное поле
,
для которого равен нулю поток в направлении внеш
-
ней нормали через границу
∂D
любой допустимой области
D
с границей
∂D
⊂
G
.
§
23.3.
Формула Стокса
103
Ясно
,
что оба этих определения совпадают
,
если область
G
объемно односвязна
.
§
23.3.
Формула Стокса
Пусть дважды непрерывно дифференцируемый
(
элемен
-
тарный гладкий
)
кусок поверхности
S
=
{
~r
(
u, v
)
,
(
u, v
)
∈
D
} ⊂
G
⊂
R
3
,
где
G
—
область в
R
3
,
D
—
плоская ограниченная область с
границей
∂D
= Γ
D
=
{
(
u
(
t
)
, v
(
t
))
, a
6
t
6
b
}
,
(1)
представляющей собой простой кусочно гладкий контур
,
∂S
= Γ =
{
~r
(
u
(
t
)
, v
(
t
))
, a
6
t
6
b
}
.
(2)
Говорят
,
что контур
Γ
ограничивает
поверхность
S
,
а
также
,
что поверхность
S
натянута
на контур
Γ.
Будем считать контур
Γ
D
ориентированным положительно
относительно
D
.
Пусть
~n
=
~r
0
u
×
~r
0
v
|
~r
0
u
×
~r
0
v
|
= (cos
α,
cos
β,
cos
γ
)
—
ориентация поверхности
S
.
При этом ориентации
S
и
∂S
оказываются согласованными по правилу штопора
(
см
.
§
21.5).
Теорема
1 (
Стокса
).
Пусть в области
G
задано непре
-
рывно дифференцируемое векторное поле
~a
=
P~ı
+
Q~
+
R~k
и
поверхность
S
описанного типа
.
Тогда
Z Z
S
(rot
~a,~n
)
dS
=
Z
Γ
(
~a, d~r
)
,
(3)
т
.
е
.
поток вихря векторного поля через поверхность
S
равен
циркуляции векторного поля по контуру
,
ограничивающему
эту поверхность
.
При этом ориентации
S
и
Γ
согласованы по «правилу што
-
пора»
.
Формула
(3)
называется
формулой Стокса
.
104
Глава
23.
Скалярные и векторные поля
В координатной форме формула
(3)
имеет вид
Z Z
S
cos
α
cos
β
cos
γ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P
Q
R
dS
=
Z Z
S
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
cos
α
+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
cos
β
+
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
cos
γ
dS
=
=
Z
Γ
P dx
+
Q dy
+
R dz.
(4)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Рассмотрим лишь случай вектор
-
ного поля
~a
=
P~ı
+ 0
~
+ 0
~k
,
так как случаи поля
Q~
и
R~k
рас
-
сматриваются аналогично и все вместе приводят к формуле
(4)
общего вида
.
Итак
,
Z
Γ
P
(
x, y, z
)
dx
=
=
Z
b
a
P
[
x
(
u
(
t
)
, v
(
t
))
, y
(
u
(
t
)
, v
(
t
))
, z
(
u
(
t
)
, v
(
t
))]
×
×
[
x
0
u
(
u
(
t
)
, v
(
t
))
u
0
t
+
x
0
v
(
u
(
t
)
, v
(
t
))
v
0
t
]
dt
=
=
Z
Γ
D
P
[
x
(
u, v
)
, y
(
u, v
)
, z
(
u, v
)][
x
0
u
(
u, v
)
du
+
x
0
v
(
u, v
)]
dv.
Применив формулу Грина к последнему интегралу
,
полу
-
чаем
,
что
Z
Γ
P dx
=
Z Z
D
∂
∂u
P
∂x
∂v
−
∂
∂v
P
∂x
∂u
du dv
=
=
Z Z
D
∂P
∂x
∂x
∂u
+
∂P
∂y
∂y
∂u
+
∂P
∂z
∂z
∂u
∂x
∂v
+
P
∂
2
x
∂u∂v
−
−
∂P
∂x
∂x
∂v
+
∂P
∂y
∂y
∂v
+
∂P
∂z
∂z
∂v
∂x
∂u
−
P
∂
2
x
∂v∂u
du dv
=
=
Z Z
D
∂P
∂z
∂
(
z, x
)
∂
(
u, v
)
−
∂P
∂y
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
du dv
=
=
Z Z
S
∂P
∂z
cos
β
−
∂P
∂y
cos
γ
dS,
что и требовалось показать
.
§
23.3.
Формула Стокса
105
З а м е ч а н и е
1.
Справедливость теоремы
(
фор
-
мулы
)
Стокса сохранится
,
если в ее условиях уменьшить тре
-
бование к поверхности
S
,
сняв условие непрерывности вто
-
рых производных
(
которое является лишь «техническим»
,
т
.
е
.
нужным лишь для проведения приведенного доказательства
).
Таким образом
,
теорема Стокса остается верной
,
если под
S
понимать произвольный параметрически заданный
(
эле
-
ментарный гладкий
)
кусок поверхности
(
см
.
терминологию
в
§
21.5).
План доказательства такого обобщения теоремы
Стокса может состоять в аппроксимации гладкого куска по
-
верхности гладким дважды непрерывно дифференцируемым
куском
,
применением к последнему доказанной теоремы Стокса
и предельном переходе по последовательности аппроксимирую
-
щих гладких дважды непрерывно дифференцируемых кусков
.
Не приводя самого доказательства
,
будем считать
,
что те
-
орема
(
формула
)
Стокса верна в указанной более общей фор
-
мулировке
.
Формула Стокса
(3)
остается справедливой и при одновре
-
менной замене ориентаций куска поверхности
S
и его края
∂S
= Γ
на противоположные
,
т
.
к
.
при этом обе части равен
-
ства
(3)
поменяют знаки на противоположные
.
Ориентации
S
и
∂S
= Γ
после смены на противоположные также окажутся
взаимно согласованными по «правилу штопора»
.
Теорему Стокса можно обобщить на случай ориентиро
-
ванной кусочно
-
гладкой поверхности
S
(
см
.
терминологию
в
§
21.7).
Теорема
2 (
Стокса
).
Пусть
S
=
S
I
i
=1
S
i
—
ориентиро
-
ванная полем
~ν
=
{
~ν
i
}
I
i
=1
единичных нормалей кусочно глад
-
кая поверхность
,
лежащая в области
G
⊂
R
3
,
∂S
—
ее край
с ориентацией
,
порожденной заданной ориентацией поверхно
-
сти
S
.
Тогда для непрерывно дифференцируемого в области
G
векторного поля
~a
Z Z
S
(rot
~a,~ν
)
dS
=
I
X
i
=1
Z Z
S
i
(rot
~a,~ν
i
)
dS
=
Z
∂S
(
~a, d~r
)
.