ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1524
Скачиваний: 1
106
Глава
23.
Скалярные и векторные поля
Д о к а з а т е л ь с т в о
состоит в применении формулы
Стокса для каждого куска поверхности
S
i
и сложения полу
-
ченных равенств
.
При этом части контурных интегралов по
общей части
∂S
i
∩
∂S
j
(
i
6
=
j
)
соседних кусков
S
i
и
S
j
взаимно
уничтожаются
,
поскольку они отличаются лишь ориентацией
кривых
,
входящих в
∂S
i
∩
∂S
j
,
определяемой ориентацией
S
i
и
S
j
.
Теорема Стокса дает возможность геометрического под
-
хода к понятию вихря поля
.
Пусть
~a
=
~a
(
x, y, z
) —
непре
-
рывно дифференцируемое в окрестности точки
(
x
0
, y
0
, z
0
)
век
-
торное поле
,
~ν
—
единичный вектор
,
D
ε
—
круг радиуса
ε >
0
с центром в
(
x
0
, y
0
, z
0
)
в плоскости
,
ортогональной
~ν
.
Тогда по
формуле Стокса и теореме о среднем
Z
∂D
ε
(
~a, d~r
) =
Z Z
D
ε
(rot
~a,~ν
)
dS
= (rot
~a,~ν
)
(
x
ε
,y
ε
,z
ε
)
µD
ε
,
где ориентация окружности
∂D
ε
согласована с
~ν
по «правилу
штопора»
,
точка
(
x
ε
, y
ε
, z
ε
)
∈
D
ε
.
Отсюда
(rot
~a,~ν
)
(
x
0
,y
0
,z
0
)
= lim
ε
→
0
1
µD
ε
Z
∂D
ε
(rot
~a, d~r
)
.
(5)
Поскольку криволинейный интеграл второго рода не зави
-
сит от сдвига и поворота ортогональной системы координат
,
то и
(rot
~a,~ν
)
не зависит от сдвига и поворота ортогональной
системы координат
.
То же относится
,
следовательно
,
и к
rot
~a
в силу произвольности вектора
~ν
.
Правая часть
(5)
может быть принята за определение про
-
екции
rot
~a
на
~ν
.
§
23.4.
Потенциальные векторные поля
(
продолжение
)
Напомним определение
20.5.1
потенциального поля
.
Определение
1.
Непрерывное на области
G
⊂
R
3
век
-
торное поле
~a
=
P~ı
+
Q~
+
R~k
называется
потенциальным в
§
23.4.
Потенциальные векторные поля
(
продолжение
)
107
области
G
,
если существует непрерывно дифференцируемая
функция
(
потенциал
)
U
:
G
→
R
такая
,
что
P
=
∂U
∂x
,
Q
=
∂U
∂y
,
R
=
∂U
∂z
на
G.
(1)
Необходимым и достаточным условием потенциальности
непрерывного
в области
G
векторного поля
~a
является в силу
теоремы
20.5.1
условие равенства нулю его циркуляции
Z
Γ
(
~a, d~r
) = 0
(2)
по любому кусочно гладкому контуру
Γ
⊂
G
.
Выясним связь между потенциальностью непрерывно диф
-
ференцируемого векторного поля
~a
=
P~ı
+
Q~
+
R~k
и условием
rot
~a
=
~ı
~
~k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P
Q R
=
= (
R
0
y
−
Q
0
z
)
~ı
+ (
P
0
z
−
R
0
x
)
~
+ (
Q
0
x
−
P
0
y
)
~k
=
~
0
,
(3)
при выполнении которого векторное поле
~a
называется
безвих
-
ревым
.
Теорема
1.
Пусть непрерывно дифференцируемое вектор
-
ное поле в области
G
⊂
R
3
потенциально
.
Тогда оно является безвихревым
.
Эта теорема содержится как часть в теореме
20.5.2.
Условие
(3),
являясь необходимым условием потенциаль
-
ности непрерывно дифференцируемого векторного поля
~a
,
не
является достаточным в случае произвольной области
G
⊂
R
3
.
Пример
1.
Пусть
G
=
R
3
\
Oz
,
~a
=
−
y
x
2
+
y
2
~ı
+
x
x
2
+
y
2
~
+
+ 0
~k
, (
x, y, z
)
∈
G
.
Тогда
rot
~a
=
~
0
в области
G
.
Однако поле
~a
не является
потенциальным
,
в чем можно убедиться
,
вспомнив
,
что цирку
-
ляция его по окружности
C
R
=
{
(
R
cos
θ, R
sin
θ,
0), 0
6
θ
6
2
π
}
радиуса
R
Z
C
R
(
~a, d~r
) = 2
π
6
= 0
,
108
Глава
23.
Скалярные и векторные поля
см
.
пример
20.5.1.
Условие
(3)
оказывается необходимым и достаточным усло
-
вием потенциальности поля для областей
G
⊂
R
3
с некоторым
геометрическим свойством
,
называемым
поверхностной одно
-
связностью
.
Определение
2.
Область
G
⊂
R
3
называется
поверх
-
ностно односвязной
,
если для любой замкнутой ломаной
Λ
⊂
⊂
G
существует удовлетворяющая условиям теоремы Стокса
и натянутая на
Λ
поверхность
S
⊂
G
.
Пример
2.
Область
G
⊂
R
3
называется
выпуклой
,
если
вместе с любыми двумя своими точками она содержит и отре
-
зок с концами в этих точках
.
Выпуклая область является поверхностно односвязной
.
В
самом деле
,
пусть замкнутая ломаная
Λ
⊂
G
.
Покажем
,
что
на нее можно натянуть лежащую в области
G
поверхность
S
,
удовлетворяющую условиям теоремы Стокса
.
Пусть
Λ =
{
~ρ
(
u
)
,
0
6
u
6
2
π
}
,
0 =
u
0
< u
1
< . . . < u
I
= 2
π
,
A
i
= ˆ
ρ
(
u
i
) —
последовательно за
-
нумерованные ее вершины
(
A
i
=
A
0
).
Выберем произвольную
точку
B
⊂
G
,
не лежащую ни на одной прямой
,
соединяющей
точки
A
i
−
1
и
A
i
(
i
= 1, . . . ,
I
).
Рассмотрим кусочно гладкую
поверхность
S
=
S
I
i
=1
S
i
,
гладкие куски
S
i
которой являются
треугольниками с вершинами
A
i
−
1
,
A
i
,
B
.
Очевидно
,
что
S
и
является искомой поверхностью
.
Пример
3.
Область
G
из примера
1
не является поверх
-
ностно односвязной
,
т
.
к
.,
например
,
на ломаную
Λ,
лежащую
в плоскости
z
= 0
и «охватывающую» ось
Oz
,
нельзя натянуть
требуемую поверхность
S
,
лежащую в области
G
,
т
.
е
.
не пере
-
секающую ось
Oz
.
В качестве такой ломаной
Λ
можно взять
,
например
,
ломаную
,
вписанную в окружность
C
R
из примера
1,
в частности
,
равносторонний треугольник в плоскости
z
= 0
с
центром в точке
(0
,
0).
Пример
4.
Область
,
образованная вращением открытого
круга плоскости
Oxz
,
не пересекающего оси
Oz
,
вокруг оси
Oz
и называемая
тором
,
не является поверхностно односвязной
.
§
23.4.
Потенциальные векторные поля
(
продолжение
)
109
Теорема
2.
Пусть непрерывно дифференцируемое вектор
-
ное поле
~a
задано в поверхностно односвязной области
G
.
Тогда для его потенциальности необходимо и достаточно
,
чтобы оно было безвихревым
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Необходимость установлена в тео
-
реме
20.5.2.
Для доказательства достаточности покажем
,
что
выполняется условие
(2)
для произвольного кусочно гладкого
контура
Γ
⊂
G
.
В силу леммы об аппроксимации криволиней
-
ного интеграла второго рода достаточно убедиться в выполне
-
нии условия
Z
Λ
(
~a, d~r
) = 0
(4)
для любой замкнутой ломаной
Λ
⊂
G
.
Натянем на
Λ
поверх
-
ность
S
⊂
G
,
удовлетворяющую условиям теоремы Стокса
,
что
можно сделать в силу поверхностной односвязности области
G
.
Тогда по теореме Стокса
Z
Λ
(
~a, d~r
) =
Z Z
S
(rot
~a,~ν
)
dS
=
Z Z
S
(
~
0
,~ν
)
dS
= 0
.
Следовательно
,
условие
(4)
выполняется и теорема дока
-
зана
.
З а м е ч а н и е
1.
Сравним характер усло
-
вий
(1), (2), (3)
потенциальности непрерывно дифференцируе
-
мого поля
~a
.
Условие
(3)
является
локальным
(
для его проверки в дан
-
ной точке достаточно знать поведение поля
~a
в сколь угодно
малой окрестности этой точки
).
Условия
(1), (2)
называют
интегральными
(
для их проверки требуется знание поведения
поля
~a
«в целом»
).
Мы видели
(
теорема
1),
что из интеграль
-
ного условия вытекает локальное для произвольной области
G
,
т
.
к
.
для доказательства привлекаются свойства поля
~a
в ле
-
жащем в области малом шаре с центром в данной точке
.
Из локального условия
(3)
интегральное условие
(1)
или
(2)
вытекает лишь при некотором специальном геометрическом
условии
(
поверхностная односвязность
)
на область
(
см
.
тео
-
рему
2
и пример
1).
Глава
24
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
ФУРЬЕ
§
24.1.
Определение ряда Фурье и принцип
локализации
Определение
1.
Ряд вида
a
0
2
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
(
a
k
, b
k
∈
R
)
называется
тригонометрическим рядом
.
Множество функций
1
2
,
cos
x,
sin
x,
cos
2
x,
sin 2
x,
cos 3
x,
sin 3
x, . . .
называется
тригонометрической системой
.
Тригонометрическая система функций является
ортого
-
нальной
системой в том смысле
,
что
Z
π
−
π
cos
kx
cos
mx dx
= 0
,
k, m
∈
N
0
,
k
6
=
m,
Z
π
−
π
sin
kx
sin
mx dx
= 0
,
k, m
∈
N
0
,
k
6
=
m,
Z
π
−
π
cos
kx
sin
mx dx
= 0
,
k
∈
N
0
,
m
∈
N
.
Кроме того
,
Z
π
−
π
cos
2
kx dx
=
Z
π
−
π
sin
2
kx dx
=
π,
k
∈
N
.
Лемма
1.
Пусть
f
(
x
) =
a
0
2
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx,
(1)