ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1523
Скачиваний: 1
§
24.1.
Определение ряда Фурье и принцип локализации
111
и этот ряд сходится равномерно на
R
.
Тогда
a
0
=
1
π
Z
π
−
π
f
(
x
)
dx,
a
k
=
1
π
Z
π
−
π
f
(
x
) cos
kx dx,
b
k
=
1
π
Z
π
−
π
f
(
x
) sin
kx dx,
k
∈
N
.
(2)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Функция
f
непрерывна на
[
−
π, π
]
как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функ
-
ций
.
Домножим равенство
(1)
почленно на
cos
nx
или
sin
nx
(
n
∈
N
).
Полученные ряды также будут сходиться равномерно
и их почленное интегрирование с использованием свойства ор
-
тогональности функций системы дает
Z
π
−
π
f
(
x
) cos
nx dx
=
Z
π
−
π
a
n
cos
2
nx dx
=
πa
n
,
Z
π
−
π
f
(
x
) sin
nx dx
=
Z
π
−
π
b
n
sin
2
nx dx
=
πb
n
,
откуда получаем вторую и третью формулы из
(2).
Первая из
формул
(2)
получается почленным интегрированием ряда
(1).
Заметим
,
что члены тригонометрического ряда являются
определенными на действительной оси
2
π
-
периодическими
функциями
.
Поэтому и сумма тригонометрического ряда
(
если
этот ряд сходится
)
также является
2
π
-
периодической функ
-
цией
.
Определение
2.
Пусть
f
— 2
π
-
периодическая функ
-
ция
,
абсолютно интегрируемая на отрезке
[
−
π, π
].
Тригономе
-
трический ряд с коэффициентами
a
k
,
b
k
,
определенными фор
-
мулами
(2),
называется
(
тригонометрическим
)
рядом Фурье
функции
f
,
а коэффициенты
a
k
,
b
k
—
коэффициентами Фурье
функции
f
.
В этом случае пишут
f
(
x
)
∼
a
0
2
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx,
(3)
112
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
понимая под такой записью
,
что функции
f
поставлен в соот
-
ветствие ее ряд Фурье
.
Лемму
1
можно переформулировать так
:
равномерно сходя
-
щийся тригонометрический ряд является рядом Фурье своей
суммы
.
Упражнение
1.
Показать
,
что тригонометрический ряд
∞
P
k
=1
sin
kx
k
1+
ε
,
ε >
0,
является рядом Фурье
.
Заметим
,
что если
2
π
-
периодическая функция
f
абсолютно
интегрируема на каком
-
либо отрезке
[
a, a
+ 2
π
]
длины
2
π
,
то
она будет абсолютно интегрируемой и на любом сдвинутом
отрезке
[
b, b
+ 2
π
]
и при этом
Z
b
+2
π
b
f
(
x
)
dx
=
Z
a
+2
π
a
f
(
x
)
dx.
Это свойство
,
очевидное с геометрической точки зрения
,
без
труда можно доказать и аналитически
.
В частности
,
коэффи
-
циенты Фурье
2
π
-
периодической функции
f
можно вычислять
,
заменив в формулах
(2)
интеграл по отрезку
[
−
π, π
]
на инте
-
грал по любому отрезку
[
a, a
+ 2
π
].
С другой стороны
,
каждую заданную на
[
a
−
π, a
+
π
]
абсо
-
лютно интегрируемую функцию можно
(
изменив при необхо
-
димости ее значение в точке
a
−
π
или в точке
a
+
π
,
или и в
той и в другой точке
)
продолжить до определенной на всей оси
2
π
-
периодической функции
.
При этом изменение ее значения в
одной или двух точках не изменит коэффициентов Фурье ее
2
π
-
периодического продолжения
(2),
а значит
,
и ряда Фурье
(3).
Поэтому сходимость и другие свойства ряда Фурье можно из
-
учать
,
считая
,
что функция
f
задана лишь на отрезке длиной
2
π
,
например
,
на
[
−
π, π
].
Мы будем изучать в первую очередь вопросы сходимости
ряда Фурье в данной точке
,
на отрезке
,
равномерной сходимо
-
сти на всей числовой оси и т
.
п
.
Наибольший интерес пред
-
ставляет случай
,
когда ряд Фурье функции
f
сходится в том
или ином смысле к функции
f
.
В этом случае говорят
,
что
функция
f
разложена в ряд Фурье
.
§
24.1.
Определение ряда Фурье и принцип локализации
113
Теорема
1 (
Римана об осцилляции
).
Пусть функция
f
абсолютно интегрируема на конечном или бесконечном интер
-
вале
(
a, b
)
.
Тогда
lim
λ
→∞
Z
b
a
f
(
x
) cos
λx dx
= lim
λ
→∞
Z
b
a
f
(
x
) sin
λx dx
= 0
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Без ограничения общности будем
считать
,
что
(
a, b
) = (
−∞
,
+
∞
) (
если это не так
,
то функ
-
цию
f
можно доопределить нулем на
(
−∞
,
+
∞
)
\
(
a, b
)).
По
теореме
14.8.4,
функция
f
является непрерывной по сдвигу в
среднем
,
т
.
е
.
Z
+
∞
−∞
|
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
|
dx
→
0
при
h
→
0
.
(4)
Заменив переменную
x
на
x
+
π
λ
,
получаем
I
(
λ
)
B
Z
+
∞
−∞
f
(
x
) cos
λx dx
=
−
Z
+
∞
−∞
f
x
+
π
λ
cos
λx dx
=
=
−
1
2
Z
+
∞
−∞
h
f
x
+
π
λ
−
f
(
x
)
i
cos
λx dx.
В силу
(4)
|
I
(
λ
)
|
6
1
2
Z
+
∞
−∞
f
x
+
π
λ
−
f
(
x
)
dx
→
0
(
λ
→ ∞
)
.
Для интеграла
R
+
∞
−∞
f
(
x
) sin
λx dx
доказательство аналогично
.
Следствие
1.
Коэффициенты Фурье
(2)
абсолютно инте
-
грируемой на отрезке
[
−
π, π
]
функции стремятся к нулю при
k
→ ∞
.
Пусть
2
π
-
периодическая функция
f
абсолютно интегриру
-
ема на
[
−
π, π
].
Частичная сумма ряда Фурье
S
n
(
x
;
f
)
B
a
0
2
+
n
X
k
=1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
называется суммой Фурье порядка
n
∈
N
0
функции
f
.
Приве
-
дем ее к компактному виду
,
удобному для дальнейших иссле
-
дований
.
114
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
Назовем
ядром Дирихле
функцию
D
n
(
x
)
B
1
2
+
n
X
k
=1
cos
kx
=
sin
n
+
1
2
x
2 sin
x
2
.
(5)
Последнее равенство
(
правая часть понимается при
x
=
= 2
mπ
,
m
∈
Z
,
как предел частного при
x
→
2
mπ
)
устана
-
вливается следующим образом
.
При
x
6
= 2
mπ
D
n
(
x
) =
1
2 sin
x
2
sin
x
2
+
n
X
k
=1
2 sin
x
2
cos
kx
!
=
=
1
2 sin
x
2
sin
x
2
+
n
X
k
=1
sin
2
k
+ 1
2
x
−
sin
2
k
−
1
2
x
!
=
=
sin
n
+
1
2
x
2 sin
x
2
.
Ядро Дирихле
(5)
является
,
очевидно
, 2
π
-
периодической
,
четной
,
непрерывной функцией
:
max
|
D
n
(
x
)
|
=
D
n
(0) =
n
+
1
2
,
2
π
Z
π
0
D
n
(
x
)
dx
=
1
π
Z
π
−
π
D
n
(
x
)
dx
= 1
.
(6)
Преобразуем сумму Фурье
S
n
(
x
;
f
),
подставив в нее вместо
коэффициентов Фурье их выражения
(2).
Получим
S
n
(
x
;
f
) =
=
1
2
π
π
Z
−
π
f
(
t
)
dt
+
n
X
k
=1
1
π
π
Z
−
π
f
(
t
)(cos
kt
cos
kx
+ sin
kt
sin
kx
)
dt
=
=
1
π
π
Z
−
π
f
(
t
)
"
1
2
+
n
X
k
=1
cos
k
(
t
−
x
)
#
dt
=
=
1
π
π
Z
−
π
D
n
(
t
−
x
)
f
(
t
)
dt.
(7)
§
24.1.
Определение ряда Фурье и принцип локализации
115
Произведя в последнем интеграле
(
называемом интегралом
Дирихле
)
замену переменной
t
на
t
+
x
и сдвиг отрезка инте
-
грирования
,
получим
S
n
(
x
;
f
) =
1
π
π
Z
−
π
D
n
(
t
)
f
(
x
+
t
)
dt
=
1
π
0
Z
−
π
+
π
Z
0
D
(
t
)
f
(
x
+
t
)
dt
=
=
1
π
π
Z
0
D
n
(
t
)[
f
(
x
+
t
) +
f
(
x
−
t
)]
dt.
(8)
При произвольном
δ
, 0
< δ < π
,
представим последний
интеграл в виде
S
n
(
x
;
f
) =
1
π
δ
Z
0
+
π
Z
δ
f
(
x
+
t
) +
f
(
x
−
t
)
2 sin
t
2
sin
n
+
1
2
t
dt.
Во
втором
из
этих
интегралов
знаменатель
дроби
2 sin
t
2
>
2 sin
δ
2
>
0,
поэтому сама дробь абсолютно ин
-
тегрируема как функция
t
.
Следовательно
,
второй интеграл стремится к нулю при
n
→
→ ∞
по теореме Римана об осцилляции
.
Мы приходим
,
таким
образом
,
к следующему утверждению
.
Теорема
2 (
принцип локализации
).
Пусть
2
π
-
периоди
-
ческая функция
f
абсолютно интегрируема на отрезке
[
−
π, π
]
,
x
0
∈
R
,
0
< δ < π
.
Пределы
lim
n
→∞
S
n
(
x
0
;
f
)
,
lim
n
→∞
1
π
Z
δ
0
f
(
x
0
+
t
) +
f
(
x
0
−
t
)
2 sin
t
2
sin
n
+
1
2
t
dt
существуют или не существуют одновременно и совпадают в
случае их существования
.
Мы видим
,
таким образом
,
что
сходимость ряда Фурье
функции
f
в точке
x
0
и величина его суммы в случае схо
-
димости определяются поведением функции
f
на интервале
(
x
0
−
δ, x
0
+
δ
)
,
т
.
е
.
в сколь угодно малой окрестности точки
x
0
.