ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1522
Скачиваний: 1
116
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
§
24.2.
Сходимость ряда Фурье
Пусть
x
0
—
точка разрыва первого рода функции
f
.
Введем
следующие обобщения односторонних производных
:
f
0
+
(
x
0
) = lim
h
→
0+0
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
+ 0)
h
,
f
0
−
(
x
0
) = lim
h
→
0+0
f
(
x
0
−
h
)
−
f
(
x
0
−
0)
−
h
,
которые также будем называть односторонними производ
-
ными
.
Определение
1.
Точку
x
0
назовем
почти регулярной
точ
-
кой функции
f
,
если существуют
f
(
x
0
+ 0),
f
(
x
0
−
0),
f
0
+
(
x
0
),
f
0
−
(
x
0
).
Если при этом
f
(
x
0
) =
f
(
x
0
−
0) +
f
(
x
0
+ 0)
2
,
то
x
0
на
-
зовем
регулярной
точкой функции
f
.
Если функция
f
непрерывна в точке
x
0
и имеет в ней пра
-
вую и левую производные
,
то
x
0
—
регулярная точка функ
-
ции
f
.
Теорема
1.
Пусть
2
π
-
периодическая функция
f
абсо
-
лютно интегрируема на отрезке
[
−
π, π
]
,
и
x
0
—
ее почти регу
-
лярная точка
.
Тогда ряд Фурье функции
f
сходится в точке
x
0
к
f
(
x
0
−
0) +
f
(
x
0
+ 0)
2
.
Если же при этом
x
0
—
регулярная
точка
f
(
в частности
,
если
f
непрерывна в точке
x
0
),
то ряд
Фурье в точке
x
0
сходится к
f
(
x
0
)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
x
0
—
почти регулярная
точка функции
f
.
Из формулы
(24.1.8)
с помощью
(24.1.6)
по
-
лучаем
S
n
(
x
;
f
)
−
f
(
x
0
−
0) +
f
(
x
0
+ 0)
2
=
=
1
π
Z
π
0
D
n
(
t
)[
f
(
x
0
+
t
) +
f
(
x
0
−
t
)]
dt
−
−
f
(
x
0
+ 0) +
f
(
x
0
−
0)
2
2
π
Z
π
0
D
n
(
t
)
dt
=
=
1
π
Z
π
0
f
(
x
0
+
t
)
−
f
(
x
0
+ 0)
t
+
§
24.2.
Сходимость ряда Фурье
117
+
f
(
x
0
−
t
)
−
f
(
x
0
−
0)
t
t
2 sin
t
2
sin
n
+
1
2
t
dt.
(1)
Дробь
t
2 sin
t
2
,
доопределенная единицей при
t
= 0,
является
непрерывной на
[0
, π
]
функцией
.
Дробь
f
(
x
0
+
t
)
−
f
(
x
0
+ 0)
t
является абсолютно интегрируемой на
[0
, π
]
функцией
,
по
-
скольку таковой является ее числитель
,
и при
t
→
0 + 0
она имеет конечный предел
.
То же относится и ко вто
-
рой дроби в квадратной скобке
.
Следовательно
,
множитель
при
sin
n
+
1
2
t
в подынтегральном выражении последнего
интеграла представляет собой абсолютно интегрируемую на
[0
, π
]
функцию
.
По теореме Римана об осцилляции
,
последний
интеграл стремится к нулю при
n
→ ∞
,
т
.
е
.
S
n
(
x
0
;
f
)
→
f
(
x
0
−
0)
−
f
(
x
0
+ 0)
2
при
n
→ ∞
.
З а м е ч а н и е
1.
Требование существования
f
0
+
(
x
0
),
f
0
−
(
x
0
)
в условии теоремы можно
(
как это видно из доказатель
-
ства
)
заменить более слабым требованием выполнения нера
-
венств
|
f
(
x
0
+
h
)
−
f
(
x
0
+ 0)
|
6
M h
α
,
∀
h
∈
(0
, δ
)
,
|
f
(
x
0
−
h
)
−
f
(
x
0
−
0)
|
6
M h
α
,
∀
h
∈
(0
, δ
)
(2)
при некоторых
α
∈
(0
,
1],
δ >
0,
M >
0.
Условия
(2)
называ
-
ются
(
односторонними
)
условиями Гёльдера степени
α
,
а при
α
= 1
еще и
(
односторонними
)
условиями Липшица
.
Следствие
1.
Пусть
2
π
-
периодическая функция
f
абсо
-
лютно интегрируема на отрезке
[
−
π, π
]
,
и существует
f
0
(
x
0
)
.
Тогда ряд Фурье функции
f
сходится в точке
x
0
к
f
(
x
0
)
.
З а м е ч а н и е
2.
Непрерывность на
R
2
π
-
периоди
-
ческой функции не является достаточным условием сходимо
-
сти ее ряда Фурье в данной точке
x
0
.
Существуют примеры
2
π
-
периодических непрерывных на
R
функций
,
ряды Фурье ко
-
торых расходятся в каждой рациональной точке
.
118
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
В теореме
1,
замечании
1
и следствии
1
приводятся доста
-
точные условия сходимости ряда Фурье в данной точке
.
Суще
-
ствуют и значительно более общие достаточные условия такой
сходимости
.
З а м е ч а н и е
3.
Пусть функция
f
задана и аб
-
солютно интегрируема на отрезке длиной
2
π
,
например
,
на
[
−
π, π
].
Для выяснения сходимости ее ряда Фурье в концах
отрезка можно применить теорему
1,
продолжив функцию
f
(
изменив при необходимости ее значения на одном или обоих
концах
)
до
2
π
-
периодической функции
.
После такого продол
-
жения точка
x
=
−
π
будет почти регулярной тогда и только
тогда
,
когда
∃
f
0
+
(
−
π
),
f
0
−
(
π
).
В этом случае ряд Фурье функ
-
ции
f
сходится в точке
x
0
=
−
π
к
f
(
−
π
+ 0) +
f
(
π
−
0)
2
.
Аналогично решается вопрос о сходимости ряда Фурье в
точке
x
0
=
π
.
Пример
1.
Найдем ряд Фурье функции
f
(
x
) =
π
−
x
2
,
x
∈
∈
[0
,
2
π
].
Пусть
˜
f
:
R
→
R
— 2
π
-
периодическая функция
, ˜
f
(
x
) =
f
(
x
)
при
0
< x <
2
π
, ˜
f
(0) = 0.
Как мы знаем
,
коэффициенты Фурье
функции
˜
f
можно вычислить по формулам
(24.1.2)
либо от
-
личающихся от них сдвигом отрезка интегрирования
.
В силу
нечетности
˜
f
,
a
k
= 0
∀
k
∈
N
0
.
Интегрируя по частям
,
полу
-
чаем
b
k
=
1
π
Z
2
π
0
π
−
x
2
sin
kx dx
=
=
−
1
π
(
π
−
x
)
cos
kx
x
2
π
0
−
1
2
πk
Z
2
π
0
cos
kx dx
=
1
k
.
Заметим
,
что всякая точка
x
∈
R
является регулярной точ
-
кой функции
˜
f
.
Следовательно
,
˜
f
(
x
) =
∞
X
k
=1
sin
kx
k
∀
x
∈
R
.
(3)
§
24.2.
Сходимость ряда Фурье
119
Итак
,
на отрезке
[0
,
2
π
]
сумма ряда Фурье
˜
f
функции
f
совпадает с
f
на интервале
(0
,
2
π
)
и отличается от
f
в концах
интервала
.
Определение
2.
Функцию
f
называют
непрерывной и ку
-
сочно непрерывно дифференцируемой
на отрезке
[
a, b
],
если она
непрерывна на
[
a, b
]
и существует такое разбиение
{
a
i
}
m
i
=0
от
-
резка
[
a, b
] (
a
=
a
0
< a
1
< a
2
< . . . < b
m
=
b
),
что производная
f
0
непрерывна на каждом отрезке
[
a
i
−
1
, a
i
],
если в концах его
производную понимать как одностороннюю
.
2
π
-
периодическую функцию будем называть
кусочно непре
-
рывной
(
непрерывной и кусочно непрерывно дифференцируе
-
мой
),
если она кусочно непрерывна
(
непрерывна и кусочно не
-
прерывно дифференцируема
)
на отрезке
[
−
π, π
].
Теорема
2.
Пусть
f
—
2
π
-
периодическая непрерывная и
кусочно непрерывно дифференцируемая функция
.
Тогда ряд Фурье функции
f
сходится к
f
равномерно на
R
и
sup
x
∈
R
|
S
n
(
x
;
f
)
−
f
(
x
)
|
6
C
ln
n
n
при
n
>
2
,
где
C
не зависит от
n
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
M
1
= max
|
f
0
|
,
g
x
(
t
)
B
f
(
x
+
t
) +
f
(
x
−
t
)
−
2
f
(
x
)
2 sin
t
2
.
С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях
получаем
,
что при
0
< t
6
π
|
f
(
x
+
t
) +
f
(
x
−
t
)
−
2
f
(
x
)
|
6
2
M
1
t.
Следовательно
,
при
0
< t
6
π
|
g
x
(
t
)
|
6
2
M
1
t
2 sin
t
2
6
πM
1
и
(
за исключением
,
быть может
,
конечного числа значений
t
)
d
dt
g
x
(
t
)
6
|
f
0
(
x
+
t
)
−
f
0
(
x
−
t
)
|
1
2 sin
t
2
+
120
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
+
|
f
(
x
+
t
) +
f
(
x
−
t
)
−
2
f
(
x
)
|
cos
t
2
4 sin
2
t
2
6
πM
1
t
+
π
2
M
1
2
t
6
π
2
M
1
t
.
Пусть
0
< δ
=
δ
n
< π
.
Перепишем формулу
(1)
в виде
S
n
(
x
;
f
)
−
f
(
x
) =
=
1
π
Z
δ
0
+
Z
π
δ
g
x
(
t
) sin
n
+
1
2
t
dt
=
I
n
+
J
n
.
(4)
Очевидно
,
что
|
I
n
|
6
δM
1
.
C
помощью интегрирования по частям имеем
J
n
=
−
1
π
g
x
(
t
)
cos
n
+
1
2
t
n
+
1
2
π
δ
−
1
π
π
Z
δ
d
dt
g
x
(
t
)
cos
n
+
1
2
t
n
+
1
2
dt.
Отсюда
|
J
n
|
6
M
1
n
+
1
2
+
πM
1
ln
1
2
n
+
1
2
=
1 +
π
ln
1
δ
M
1
1
n
+
1
2
.
Полагая
δ
=
δ
n
=
1
n
,
получаем
,
что при
n
>
2
sup
x
∈
R
|
S
n
(
x
;
f
)
−
f
(
x
)
|
6
|
I
n
|
+
|
J
n
|
6
C
ln
n
n
,
где
C
не зависит от
n
.
Теорема доказана
.
Другое доказательство теоремы
2
совпадает с доказатель
-
ством случая
α
= 1
теоремы
3.
Подчеркнем
,
что теорема
2
не только устанавливает рав
-
номерную сходимость ряда Фурье
,
но и дает оценку быстроты
стремления к нулю остатка этого ряда
.
Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функ
-
ции может быть установлена и при условиях более общих
,
чем
в теореме
2,
например
,
для функций
,
удовлетворяющих усло
-
вию Гёльдера
.
Определение
3.
Говорят
,
что функция
f
: [
a, b
]
→
R
удо
-
влетворяет условию Гёльдера степени
α
, 0
< α
6
1 (
или усло
-
вию Липшица в случае
α
= 1),
если
∃
M
α
>
0:
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
6
M
α
|
x
−
y
|
α
∀
x, y
∈
[
a, b
]
.