ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1570
Скачиваний: 1
§
24.2.
Сходимость ряда Фурье
121
Заметим
,
что функции
,
удовлетворяющие условию Гёль
-
дера
,
непрерывны и что класс функций
,
удовлетворяющих
условию Гёльдера степени
α
,
сужается при увеличении
α
.
Если функция
f
непрерывна и кусочно непрерывно диф
-
ференцируема на
[
a, b
],
то она удовлетворяет на
[
a, b
]
условию
Липшица
.
Следующая теорема обобщает теорему
2.
Теорема
3.
Пусть
2
π
-
периодическая функция
f
удовле
-
творяет на
R
условию Гёльдера степени
α
,
0
< α
6
1
.
Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на
R
и
sup
x
|
S
n
(
x
;
f
)
−
f
(
x
)
|
6
C
α
ln
n
n
α
∀
n
>
2
,
где
C
α
не зависит от
n
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Воспользуемся формулой
(2)
в виде
S
n
(
x
;
f
)
−
f
(
x
) =
1
π
Z
π
−
π
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
)
2 sin
t
2
sin
n
+
1
2
t
dt.
Положим
h
x
(
t
) =
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
)
2 sin
t
2
,
λ
=
λ
n
=
n
+
1
2
,
δ
>
π
λ
.
Так же
,
как при доказательстве теоремы Римана об осцил
-
ляции
,
получаем
Z
π
−
π
h
x
(
t
) sin
λt dt
=
−
Z
π
−
π
λ
−
π
−
π
λ
h
x
t
+
π
λ
sin
λt dt
=
=
Z
π
−
π
h
x
t
+
π
λ
sin
λt dt
=
1
2
Z
π
−
π
h
h
x
(
t
)
−
h
x
t
+
π
λ
i
sin
λt dt.
Следовательно
,
|
S
n
(
x
;
f
)
−
f
(
x
)
|
6
1
2
π
Z
π
−
π
h
x
t
+
π
λ
−
h
x
(
t
)
dt
=
=
1
2
π
Z
δ
−
δ
. . . dt
+
1
2
Z
−
δ
−
π
+
Z
π
δ
. . . dt
=
I
δ,n
(
x
) +
J
δ,n
(
x
)
.
(5)
122
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
Напомним
,
что
2
π
t <
sin
t < t
при
0
< t <
π
2
.
Заметим
,
что
при
|
t
|
6
2
δ
|
h
x
(
t
)
|
6
πM
α
|
t
|
α
2
|
t
|
=
π
2
M
α
|
t
|
α
−
1
,
так что
I
δ,n
(
x
)
6
M
1
Z
2
δ
0
t
α
−
1
dt
=
1
α
M
α
2
α
δ
α
.
(6)
Для оценки
J
δ,n
(
x
)
при
π
λ
6
δ <
|
t
|
< π
воспользуемся ра
-
венством
h
x
t
+
π
λ
−
h
x
(
t
) =
f
x
+
t
+
π
λ
2 sin
t
+
π
λ
2
−
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
)
2 sin
t
2
=
=
f
x
+
t
+
π
λ
−
f
(
x
)
2 sin
t
+
π
λ
2
−
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
)
2 sin
t
2
=
=
f
x
+
t
+
π
λ
−
f
(
x
+
t
)
2 sin
t
+
π
λ
2
+
1
2
1
sin
t
+
π
λ
2
−
1
sin
t
2
(
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
))
,
так что
h
x
t
+
π
λ
−
h
x
(
t
)
6
6
C
1
f
x
+
t
+
π
λ
−
f
(
x
+
t
)
|
t
|
+
C
2
|
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
)
|
t
2
λ
6
6
C
1
M
α
π
λ
α
|
t
|
+
C
2
M
α
|
t
|
α
t
2
λ
6
CM
α
|
t
|
λ
α
,
(7)
J
δ,n
(
x
)
6
2
Z
π
δ
CM
α
λ
α
dt
t
6
2
CM
α
λ
α
ln
1
δ
.
Полагая
δ
=
7
n
и собирая оценки
,
приходим к утверждению
теоремы
.
Часть теоремы
2,
касающаяся лишь факта равномерной
сходимости
,
допускает следующее обобщение
.
§
24.2.
Сходимость ряда Фурье
123
Теорема
4.
Пусть
2
π
-
периодическая функция
f
абсолютно
интегрируема на
[
−
π, π
]
.
Пусть на некотором отрезке
[
a
0
, b
0
]
f
непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема
.
Тогда ряд Фурье функции
f
равномерно сходится к
f
на
любом отрезке
[
a, b
]
⊂
(
a
0
, b
0
)
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
λ
=
λ
n
=
n
+
1
2
,
π
λ
6
δ
, [
a
−
−
2
δ, b
+ 2
δ
]
⊂
[
a
0
, b
0
],
x
∈
[
a, b
].
Воспользуемся оценкой
(5).
В
силу
(6)
при
α
= 1
I
δ,n
(
x
)
6
2
δ
max
[
a
0
,b
0
]
|
f
0
|
.
Для получения оценки
J
δ,n
используем оценку
(7)
разности
в подынтегральном выражении
.
Тогда
J
δ,n
(
x
)
6
C
1
δ
Z
π
−
π
f
u
+
π
λ
−
f
(
u
)
du
+
+
C
2
δ
2
λ
Z
π
−
π
|
f
(
u
)
|
du
+ 2
π
max
[
a,b
]
|
f
|
.
Пусть задано
ε >
0.
Выберем
δ
=
δ
(
ε
)
>
0
столь малым
,
что
sup
[
a,b
]
I
δ,n
<
ε
2
при
∀
n
>
π
δ
.
При выбранном
δ
∃
n
δ
∈
N
: sup
[
a,b
]
J
δ,n
<
ε
2
∀
n
>
n
δ
.
Тогда из
(5)
и полученных оценок следует
,
что
sup
x
∈
[
a,b
]
|
S
n
(
x
;
f
)
−
f
(
x
)
| →
0
при
n
→ ∞
,
и теорема доказана
.
Отметим
,
что теорема
4
расширяет сформулированный
ранее принцип локализации
,
показывая
,
что для утвержде
-
ния о равномерной сходимости ряда Фурье функции
f
на от
-
резке
[
a, b
]
достаточно учесть поведение этой функции лишь на
окрестности
(
a
−
ε, b
+
ε
)
этого отрезка при сколь угодно малом
ε >
0.
Из теоремы
4
следует
,
например
,
что ряд
∞
P
k
=1
sin
kx
k
из при
-
мера
1
на любом отрезке
[
ε,
2
π
−
ε
],
ε >
0,
равномерно сходится
к функции
f
(
x
) =
π
−
x
2
.
124
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
Теорему
4
можно обобщить
,
заменив условие кусочно не
-
прерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени
α >
0
на
[
a
0
, b
0
].
§
24.3.
Приближение непрерывных функций
многочленами
Определение
1.
Функция вида
A
0
2
+
n
X
k
=1
A
k
cos
kx
+
B
k
sin
kx
(
A
2
n
+
B
2
n
>
0)
называется
тригонометрическим многочленом
(
тригономе
-
трическим полиномом
)
степени
n
.
Теорема
1 (
Вейерштрасса
).
Пусть
f
—
2
π
-
периодичес
-
кая непрерывная функция
.
Тогда для каждого
ε >
0
суще
-
ствует такой тригонометрический многочлен
T
,
что
max
x
∈
R
|
f
(
x
)
−
T
(
x
)
|
< ε.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Зададим
ε >
0.
Пусть
τ
=
{
x
j
}
J
j
=0
,
x
j
=
−
π
+
j
2
π
J
, —
разбиение отрезка
[
−
π, π
].
Построим ло
-
маную
(
вписанную в график функции
f
),
соединив отрезками
последовательно точки
(
x
j
, f
(
x
j
))
графика
f
.
Обозначим через
Λ
J
:
R
→
R
2
π
-
периодическую непрерывную функцию
,
гра
-
фик которой совпадает на
[
−
π, π
]
с построенной ломаной
.
Оче
-
видно
, Λ
J
—
кусочно линейная на
[
−
π, π
]
функция
,
а значит
,
и кусочно непрерывно дифференцируемая
(
т
.
е
. Λ
0
J
кусочно не
-
прерывна
).
Непрерывная функция
f
является равномерно непрерыв
-
ной
.
Поэтому
|
f
(
x
0
)
−
f
(
x
00
)
|
<
ε
4
при
|
x
0
−
x
00
|
6
2
π
J
,
если
J
=
J
(
ε
)
∈
N
достаточно велико
.
Тогда
max
|
f
(
x
)
−
Λ
J
(
x
)
|
<
ε
2
.
§
24.3.
Приближение непрерывных функций многочленами
125
Функция
Λ
J
удовлетворяет условиям теоремы
24.2.1,
по
-
этому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на
R
.
Следова
-
тельно
,
существует такое
n
=
n
(
ε
),
что
max
x
∈
R
|
Λ
j
(
x
)
−
S
n
(
x
; Λ
J
)
|
<
ε
2
.
Из последних двух неравенств получаем
,
что
max
x
∈
R
|
f
(
x
)
−
S
n
(
x
; Λ
J
)
|
< ε,
т
.
е
.
утверждение теоремы при
T
(
x
) =
S
n
(
x
; Λ
J
)
.
Теорему
1
в эквивалентной форме можно сформулировать
следующим образом
.
Теорема
1
0
. (
Вейерштрасса
).
Пусть функция
f
непре
-
рывна на отрезке
[
−
π, π
]
и
f
(
−
π
) =
f
(
π
)
.
Тогда для каждого
ε >
0
существует такой тригонометрический многочлен
T
,
что
max
−
π
6
x
6
π
|
f
(
x
)
−
T
(
x
)
|
< ε.
Упражнение
1.
Показать
,
что последняя теорема пере
-
стает быть верной
,
если отбросить условие
f
(
−
π
) =
f
(
π
).
Заметим
,
что в теореме
1
в качестве тригонометрического
многочлена
T
нельзя
(
вообще говоря
)
взять
S
n
(
x
;
f
) (
частич
-
ную сумму ряда Фурье функции
f
),
поскольку ряд Фурье не
-
прерывной функции не обязан равномерно сходиться
(
не обязан
даже и поточечно сходиться
)
к функции
f
.
Однако в качестве
T
можно взять
σ
n
(
x
;
f
) (
сумму Фейера функции
f
)
при доста
-
точно большом
n
,
где
σ
n
(
x
;
f
) =
S
0
(
x
;
f
) +
S
1
(
x
;
f
) +
. . .
+
S
n
(
x
;
f
)
n
+ 1
—
среднее арифметическое сумм Фурье
,
как это следует из
теоремы Фейера
.
Теорема
2 (
Фейера
).
Пусть
f
—
2
π
-
периодическая не
-
прерывная функция
.
Тогда
σ
n
(
x
;
f
)
⇒
R
f
(
x
)
при
n
→ ∞
.