ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1519
Скачиваний: 1
126
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
Оставим эту теорему без доказательства
.
Факт сходимости последовательности сумм Фейера в тео
-
реме Фейера выражают еще и следующим образом
:
Ряд Фурье
2
π
-
периодической непрерывной функции
f
сум
-
мируем к
f
(
x
)
методом средних арифметических
.
Метод суммирования ряда средними арифметическими
(
по
-
следовательности его частичных сумм
)
дает возможность и
для некоторых расходящихся рядов определить понятие их
суммы как предела последовательности этих средних арифме
-
тических
.
Для сходящегося ряда это понятие совпадает с по
-
нятием суммы ряда
.
Пример
1.
Расходящийся ряд
1
−
1 + 1
−
1 +
. . .
суммируем
методом средних арифметических к числу
1
2
.
С помощью теоремы
1 (
Вейерштрасса
)
доказывается и воз
-
можность приближения с любой точностью непрерывной на
отрезке функции подходящим алгебраическим многочленом
P
.
Теорема
3 (
Вейерштрасса
).
Пусть функция
f
непре
-
рывна на отрезке
[
a, b
]
.
Тогда для любого
ε >
0
существует
такой алгебраический многочлен
P
,
что
max
a
6
x
6
b
|
f
(
x
)
−
P
(
x
)
|
< ε.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Отобразим линейно отрезок
[0
, π
]
на отрезок
[
a, b
]:
x
=
a
+
b
−
a
π
t,
0
6
t
6
π,
a
6
x
6
b,
и положим
f
∗
(
t
) =
f
a
+
b
−
a
π
t
, 0
6
t
6
π
.
Продолжим ее
четным образом на отрезок
[
−
π,
0]
и затем на всю ось с пери
-
одом
2
π
,
сохранив обозначение
f
∗
.
Полученная функция
f
∗
:
R
→
R
является
2
π
-
периодической и непрерывной на
R
.
По
теореме
1
для каждого
ε >
0
найдется такой тригонометриче
-
ский многочлен
T
,
что
max
0
6
t
6
π
|
f
∗
(
t
)
−
T
(
t
)
|
6
max
x
∈
R
|
f
∗
(
t
)
−
T
(
t
)
|
<
ε
2
.
Функции
cos
kt
, sin
kt
(
а значит
,
и
T
(
t
))
раскладываются в
степенные ряды с радиусом сходимости
R
= +
∞
,
и
,
следова
-
§
24.4.
Почленное дифференцир
-
е и интегрир
-
е рядов Фурье
127
тельно
,
равномерно сходящиеся на каждом отрезке
.
Поэтому
существует такой номер
n
=
n
(
ε
),
что
max
0
6
t
6
π
|
T
(
t
)
−
P
n
(
t
)
|
<
ε
2
,
где
P
n
—
многочлен Тейлора функции
T
.
Из последних двух неравенств получаем
,
что
max
0
6
t
6
π
|
f
∗
(
t
)
−
P
n
(
t
)
|
<
ε
2
+
ε
2
=
ε,
или
(
возвращаясь к переменной
x
)
max
a
6
x
6
b
f
(
x
)
−
P
n
π
x
−
a
b
−
a
< ε.
Теорема доказана
.
Теорему
3
можно переформулировать следующим образом
:
Всякая непрерывная на отрезке
[
a, b
]
функция является
равномерным пределом некоторой последовательности алге
-
браических многочленов
.
§
24.4.
Почленное дифференцирование и
интегрирование тригонометрических рядов
.
Скорость стремления к нулю коэффициентов
и остатка ряда Фурье
Лемма
1.
Пусть
f
—
2
π
-
периодическая и кусочно непре
-
рывная функция
,
a
k
,
b
k
—
ее коэффициенты Фурье
.
Тогда справедливо
неравенство Бесселя
:
a
2
0
2
+
∞
X
k
=1
(
a
2
k
+
b
2
k
)
6
1
π
Z
π
−
π
f
2
(
x
)
dx.
(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть сначала
f
является
2
π
-
пе
-
риодической непрерывной и кусочно непрерывно дифференци
-
руемой функцией
.
По теореме
2,
она раскладывается в равно
-
мерно сходящийся ряд Фурье
:
f
(
x
) =
a
0
2
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx.
(2)
128
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
Домножим равенство
(2)
почленно на
f
(
x
)
и проинтегрируем
полученный ряд
(
также равномерно сходящийся
)
почленно
.
Получим в силу формул
(24.1.2)
для коэффициентов Фурье
ра
-
венство Парсеваля
:
a
0
2
+
∞
X
k
=1
(
a
2
k
+
b
2
k
) =
1
π
Z
π
−
π
f
2
(
x
)
dx,
(3)
следствием которого является
(2).
Пусть теперь функция
f
удовлетворяет условиям леммы и
Λ
J
:
R
→
R
— 2
π
-
периодическая непрерывная функция
,
ку
-
сочно линейная на
[
−
π, π
],
построенная при доказательстве те
-
оремы Вейерштрасса
24.3.1 (
график
Λ
J
представляет собой
вписанную в график
f
ломаную
).
Обозначим через
a
k
(
f
),
b
k
(
f
)
коэффициенты Фурье функции
f
.
Используя уже доказанный случай неравенства
(1),
полу
-
чаем
a
2
0
(Λ
J
)
2
+
n
X
k
=1
(
a
2
k
(Λ
J
) +
b
2
k
(Λ
J
))
6
1
π
Z
π
−
π
Λ
2
J
(
x
)
dx
∀
n
∈
N
.
(4)
Пусть
n
∈
N
фиксировано
,
а
J
→ ∞
.
Тогда
,
как легко
видеть
,
a
k
(Λ
J
)
→
a
k
(
f
)
,
b
k
(Λ
J
)
→
b
k
(
f
)
,
Z
π
−
π
Λ
2
J
(
x
)
dx
→
Z
π
−
π
f
2
(
x
)
dx.
Переходя к пределу в неравенстве
(10),
получаем
,
что
a
2
0
(
f
)
2
+
n
X
k
=1
(
a
2
k
(
f
) +
b
2
k
(
f
))
6
1
π
Z
π
−
π
f
2
(
x
)
dx.
Переходя в последнем неравенстве к пределу при
n
→ ∞
,
приходим к утверждению леммы
.
З а м е ч а н и е
1.
Равенство Парсеваля
(3)
и
(
сле
-
довательно
)
неравенство Бесселя
(1)
будут распространены
в
§
25.4
на абсолютно интегрируемые на
(
−
π, π
)
функции со
сходящимися интегралами в правых частях
(3), (1).
§
24.4.
Почленное дифференцир
-
е и интегрир
-
е рядов Фурье
129
Теорема
1.
Пусть
2
π
-
периодическая функция
f
непре
-
рывна и кусочно непрерывно дифференцируема и пусть
f
(
x
) =
a
0
2
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
—
ее разложение в ряд Фурье
.
Тогда
f
0
(
x
)
∼
∞
X
k
=1
−
ka
k
sin
kx
+
kb
k
cos
kx,
т
.
е
.
ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функ
-
ции почленным дифференцированием
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
f
0
(
x
)
∼
α
0
2
+
∞
X
k
=1
α
k
cos
kx
+
β
k
sin
kx.
Тогда
α
0
=
1
π
Z
π
−
π
f
0
(
x
)
dx
=
1
π
[
f
(
π
)
−
f
(
−
π
)] = 0
.
Интегрируя по частям
,
получим
α
k
=
1
π
Z
π
−
π
f
0
(
x
) cos
kx dx
=
=
1
π
f
(
x
) cos
kx
π
−
π
+
k
π
Z
π
−
π
f
(
x
) sin
kx dx
=
kb
k
,
β
k
=
1
π
Z
π
−
π
f
0
(
x
) sin
kx dx
=
=
1
π
f
(
x
) sin
kx
π
−
π
−
k
π
Z
π
−
π
f
(
x
) cos
kx dx
=
−
ka
k
.
Лемма
2.
Пусть
2
π
-
периодическая функция
f
имеет не
-
прерывные производные до порядка
m
−
1
включительно и ку
-
сочно непрерывную производную порядка
m
∈
N
.
Тогда для коэффициентов Фурье функции
f
выполняются
оценки
|
a
k
|
+
|
b
k
|
=
o
1
k
m
при
k
→ ∞
.
(5)
130
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
m
>
1
и
f
(
m
)
(
x
)
∼
∞
X
k
=1
α
k
cos
kx
+
β
k
sin
kx.
Применяя
m
раз теорему
1,
получаем
,
что
|
α
k
|
+
|
β
k
|
=
k
m
(
|
a
k
|
+
|
b
k
|
)
,
k
∈
N
0
.
Поскольку
α
k
,
β
k
→
0 (
k
→ ∞
)
по лемме о стремлении
к нулю коэффициентов Фурье
,
из последнего равенства полу
-
чаем
(5).
Лемма
2
показывает
,
что коэффициенты Фурье функции
f
тем быстрее стремятся к нулю
,
чем лучше дифференциальные
свойства функции
f
.
Утверждение леммы
2
можно несколько усилить
,
если при
-
менить неравенство Бесселя
(1)
к производной
f
(
m
)
:
∞
X
k
=1
k
2
m
(
a
2
k
+
b
2
k
)
6
1
π
Z
π
−
π
(
f
(
m
)
(
x
))
2
dx <
∞
.
Установим оценки скорости приближения функции ее сум
-
мами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств
функции
.
Изучим для этого характер сходимости ряда
,
со
-
пряженного с рядом Фурье
2
π
-
периодической непрерывной и
кусочно непрерывно дифференцируемой функции
f
,
т
.
е
.
ряда
˜
S
(
x
;
f
)
B
∞
X
k
=1
a
k
sin
kx
−
b
k
cos
kx,
(6)
где
a
k
,
b
k
—
коэффициенты Фурье функции
f
.
Сопряженным ядром Дирихле
называется
˜
D
n
(
x
) =
n
X
k
=1
sin
kx
=
cos
x
2
−
cos
n
+
1
2
x
2 sin
x
2
.
Последнее равенство устанавливается так же
,
как
(24.1.5).
Так
же
,
как
(24.1.8),
устанавливается
,
что частичную сумму
˜
S
n
(
x
;
f
) =
n
X
k
=1
a
k
sin
kx
−
b
k
cos
kx