ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1518
Скачиваний: 1
§
24.4.
Почленное дифференцир
-
е и интегрир
-
е рядов Фурье
131
ряда
(6)
можно представить в виде
˜
S
n
(
x
;
f
) =
−
Z
π
0
˜
D
n
(
t
)[
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
−
t
)]
dt
=
=
1
π
Z
π
0
h
x
(
t
) cos
n
+
1
2
t
dt
+ ˜
f
(
x
)
,
где
h
x
(
t
)
B
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
−
t
)
2 sin
t
2
,
˜
f
(
x
)
B
−
1
π
Z
π
0
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
−
t
)
2 tg
t
2
dt.
Лемма
3.
Пусть
2
π
-
периодическая функция
f
непрерывна
и кусочно непрерывно дифференцируема
,
a
k
,
b
k
—
ее коэффи
-
циенты Фурье
.
Тогда при некотором
C >
0
и
∀
n
>
2
sup
x
∈
R
∞
X
n
+1
a
k
sin
kx
−
b
k
cos
kx
6
C
ln
n
n
.
(7)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Положим
M
1
B
max
R
|
f
0
|
.
С помо
-
щью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем
|
f
(
x
+
t
)
−
f
(
x
−
t
)
|
6
2
M
1
t,
0
< t
6
π,
откуда следует
,
в частности
,
что
˜
f
(
x
)
существует для каждого
x
(
как интеграл от непрерывной на
(0
, π
]
и ограниченной функ
-
ции
).
Оценим
˜
f
(
x
)
−
˜
S
n
(
x
;
f
) =
−
1
π
Z
π
0
h
x
(
t
) cos
n
+
1
2
t dt,
используя оценки
|
h
x
(
t
)
|
6
πM
1
,
d
dt
h
x
(
t
)
6
|
f
0
(
x
+
t
) +
f
0
(
x
−
t
)
|
1
2 sin
t
2
+
+
|
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
−
h
)
|
cos
t
2
4 sin
2
t
2
6
πM
1
t
+
π
2
M
1
2
t
6
π
2
M
1
t
.
132
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
Так же
,
как при доказательстве теоремы
24.1.2,
получаем
sup
x
∈
R
n
|
˜
f
(
x
)
−
˜
S
n
(
x
;
f
)
|
6
C
ln
n
n
при
n
>
2
,
что равносильно
(7).
В теореме
15.4.2 (
признак Дирихле сходимости числового
ряда
)
установлена сходимость ряда
∞
P
k
=1
a
k
b
k
и оценка его
суммы
∞
X
k
=1
a
k
b
k
6
|
a
1
|
sup
n
∈
N
∞
X
k
=1
b
k
(8)
при выполнении условий
:
1.
◦
последовательность
{
a
k
}
монотонно стремится к нулю
;
2.
◦
правая часть
(8)
конечна
(
т
.
е
.
последовательность
n
P
k
=1
b
k
∞
n
=1
ограничена
).
Теорема
2.
Пусть при
m
∈
N
2
π
-
периодическая функция
f
имеет непрерывные производные до порядка
m
−
1
включи
-
тельно и кусочно непрерывную производную
f
(
m
)
.
Тогда ряд Фурье функции
f
сходится к
f
равномерно и
max
x
∈
R
|
f
(
x
)
−
S
n
(
x
;
f
)
|
=
O
ln
n
n
m
=
=
o
1
n
m
−
ε
при
n
→ ∞
и
∀
ε >
0
.
(9)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Случай
m
= 1
совпадает с теоре
-
мой
24.2.2.
Пусть
ϕ
B
f
(
m
−
1)
и
α
k
,
β
k
—
коэффициенты Фурье
функции
ϕ
.
По теореме
24.2.2
sup
x
∈
R
∞
X
k
=
n
+1
α
k
cos
kx
+
β
k
sin
kx
6
C
ln
n
n
∀
n
>
2
.
(10)
Пусть
a
k
,
b
k
—
коэффициенты Фурье функции
f
.
Пусть сна
-
чала
m
−
1 —
четно
.
Тогда в силу
m
−
1
раз примененной
§
24.4.
Почленное дифференцир
-
е и интегрир
-
е рядов Фурье
133
теоремы
1
при
x
∈
R
имеем
|
r
n
(
x
;
f
)
|
=
∞
X
k
=
n
+1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
=
=
∞
X
k
=
n
+1
1
k
m
−
1
(
α
k
cos
kx
+
β
k
sin
kx
)
.
В силу
(8), (10)
|
r
n
(
x
;
f
)
|
6
C
ln
n
n
1
(
n
+ 1)
m
−
1
6
C
ln
n
n
m
,
и
(9)
в этом случае установлено
.
Пусть теперь
m
−
1
нечетно
.
Тогда
|
r
n
(
x
;
f
)
|
=
∞
X
k
=
n
+1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
=
=
∞
X
k
=
n
+1
1
k
m
−
1
(
α
k
sin
kx
−
β
k
cos
kx
)
.
Ряд
∞
P
k
=
n
+1
α
k
sin
kx
−
β
k
cos
kx
сходится по лемме
3.
В
силу
(7), (8)
|
r
n
(
x
;
f
)
|
6
C
ln
n
n
1
(
n
+ 1)
m
−
1
6
C
ln
n
n
m
,
и теорема доказана
.
Теорема
2
показывает
,
что чем больше производных имеет
функция
f
,
тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье
.
З а м е ч а н и е
2.
Лемму
2
и теорему
2
можно
переформулировать для функции
f
,
заданной лишь на отрезке
[
−
π, π
],
добавив условия в концах отрезка
,
гарантирующие вы
-
полнение для ее
2
π
-
периодического продолжения условий соот
-
ветственно леммы
2
и теоремы
2.
Именно
,
следует для функ
-
ции
f
: [
−
π, π
]
→
R
считать выполненными следующие допол
-
нительные условия на односторонние производные
:
f
(
j
)
(
−
π
) =
f
(
j
)
(
π
)
при
j
= 0
,
1
, . . . , m
−
1
.
134
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
При соответствующей переформулировке теоремы
24.2.2
и
теоремы
1
для функции
f
: [
−
π, π
]
→
R
следует считать вы
-
полненным равенство
f
(
−
π
) =
f
(
π
).
Наряду с теоремой
2
установим и другую теорему
2
0
,
хотя
и менее сильную
,
но также указывающую на связь между диф
-
ференциальными свойствами
2
π
-
периодической функции и ско
-
ростью сходимости ее ряда Фурье
.
Доказательство теоремы
2
0
в отличие от доказательства
теоремы
2
опирается не на анализ сходимости сопряженного с
рядом Фурье ряда
,
а на неравенство Бесселя
(1).
Читатель может по своему усмотрению ограничиться из
-
учением одной из этих двух теорем
.
Теорема
2
0
.
Пусть при
m
∈
N
2
π
-
периодическая функция
f
имеет непрерывные производные до порядка
m
−
1
включи
-
тельно и кусочно непрерывную производную
f
(
m
)
.
Тогда ряд Фурье функции
f
сходится к ней равномерно на
R
и
max
x
∈
R
|
f
(
x
)
−
S
n
(
x
;
f
)
|
=
o
1
n
m
−
1
2
при
n
→ ∞
.
(11)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Равномерная сходимость к функ
-
ции
f
ее ряда Фурье установлена в теореме
24.2.2.
Оценим
остаток ее ряда Фурье
.
|
r
n
(
x
;
f
)
|
=
∞
X
k
=
n
+1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
6
6
∞
X
k
=
n
+1
(
|
a
k
|
+
|
b
k
|
)
6
∞
X
k
=
n
+1
(
|
α
k
|
+
|
β
k
|
)
1
k
m
,
где
α
k
,
β
k
—
коэффициенты Фурье функции
f
(
m
)
,
а последнее
неравенство получено
m
-
кратным применением теоремы
1.
В
силу неравенства Коши
–
Шварца
(10.1.2)
N
X
k
=
n
+1
(
|
α
k
|
+
|
β
k
|
)
1
k
m
6
v
u
u
t
N
X
k
=
n
+1
(
|
α
k
|
+
|
β
k
|
)
2
v
u
u
t
N
X
k
=
n
+1
1
k
2
m
.
§
24.4.
Почленное дифференцир
-
е и интегрир
-
е рядов Фурье
135
Предельный переход в последнем неравенстве при
N
→ ∞
показывает
,
что оно остается верным
,
если в нем вместо
N
поставить
∞
.
Используя его
,
получаем
,
что
|
r
n
(
x
;
f
)
|
6
6
v
u
u
t
2
∞
X
k
=
n
+1
(
α
2
k
+
β
2
k
)
v
u
u
t
∞
X
k
=
n
+1
1
k
2
m
=
ε
n
v
u
u
t
∞
X
k
=
n
+1
1
k
2
m
,
(12)
причем
ε
n
→
0 (
n
→ ∞
)
в силу сходимости ряда
∞
P
k
=1
(
α
2
k
+
+
β
2
k
),
вытекающей из неравенства Бесселя для функции
f
(
m
)
.
Заметим
,
что
∞
X
k
=
n
+1
1
k
2
m
6
∞
X
k
=
n
+1
Z
m
k
−
1
dx
x
2
m
6
Z
∞
n
dx
x
2
m
=
1
(2
m
−
1)
n
2
m
−
1
.
Отсюда и из
(12)
следует
(11).
Теорема
3 (
о почленном интегрировании ряда Фу
-
рье
).
Пусть
f
—
кусочно непрерывная на отрезке
[
−
π, π
]
функ
-
ция и
f
(
x
)
∼
a
0
2
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
—
ее ряд Фурье
.
Тогда
Z
x
0
f
(
t
)
dt
=
Z
x
0
a
0
dt
2
+
∞
X
k
=1
Z
x
0
(
a
k
cos
kt
+
b
k
sin
kt
)
dt
=
=
a
0
x
2
+
∞
X
k
=1
a
k
k
sin
kx
+
b
k
k
(1
−
cos
kx
)
(13)
и ряд в правой части равенства сходится равномерно на
R
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Положим
F
(
x
) =
Z
x
0
h
f
(
t
)
−
a
0
2
i
dt.
Функция
F
непрерывна на отрезке
[
−
π, π
]
и
F
(
π
)
−
F
(
−
π
) =
Z
π
−
π
f
(
t
)
dt
−
πa
0
= 0
.