ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1517
Скачиваний: 1
136
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
Кроме того
,
ее производная
F
0
(
t
) =
f
(
t
)
−
a
0
2
кусочно не
-
прерывна на
[
−
π, π
].
В силу теоремы
2
и замечания к ней ряд
Фурье функции
F
сходится к ней равномерно на
[
−
π, π
]:
F
(
x
) =
A
0
2
+
∞
X
k
=1
A
k
cos
kx
+
B
k
sin
kx.
(14)
Найдем связь между коэффициентами Фурье
A
k
,
B
k
функ
-
ции
F
и коэффициентами Фурье функции
f
.
Интегрируя по частям
,
получаем
A
k
=
1
π
π
Z
−
π
F
(
x
) cos
kx dx
=
=
1
π
F
(
x
)
sin
kx
k
π
−
π
−
1
kπ
π
Z
−
π
h
f
(
x
)
−
a
0
2
i
sin
kx dx
=
−
b
k
k
, k
∈
N
.
Аналогично
B
k
=
a
k
k
,
k
∈
N
.
Для нахождения
A
0
положим в
(14)
x
= 0.
Получим
A
0
2
+
∞
X
k
=1
A
k
= 0
,
откуда
A
0
2
=
∞
X
k
=1
b
k
k
.
Следовательно
,
F
(
x
) =
∞
X
k
=1
a
k
k
sin
kx
+
b
k
k
(1
−
cos
kx
)
.
§
24.5.
Ряды Фурье
2
l
-
периодических функций
.
Комплексная форма рядов Фурье
Пусть
l >
0
и
f
— 2
l
-
периодическая функция
,
абсолютно
интегрируемая на отрезке
[
−
l, l
].
Положим
f
l
(
x
) =
f
πx
l
.
То
-
гда функция
f
l
— 2
π
-
периодическая и абсолютно интегрируе
-
мая на отрезке
[
−
π, π
].
Построив для
f
l
ряд Фурье и произведя
обратную замену переменной
x
на
lx
π
,
получаем для функции
f
ряд
f
(
x
)
∼
a
0
2
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kπx
l
+
b
k
sin
kπx
l
,
§
24.5.
Комплексная форма рядов Фурье
137
где
a
0
=
1
l
Z
l
−
l
f
(
x
)
dx,
a
k
=
1
l
Z
l
−
l
f
(
x
) cos
kπx
l
dx,
b
k
=
1
l
Z
l
−
l
f
(
x
) sin
kπx
l
dx,
который называется тригонометрическим рядом Фурье функ
-
ции
f
периода
2
l
.
Подобным же образом переносится и вся теория тригономе
-
трических рядов Фурье на случай
2
l
-
периодических функций
.
Вместо такого способа перенесения теории на случай
2
l
-
периодических функций можно было бы с самого начала рас
-
смотреть ортогональную на
[
−
l, l
]
систему тригонометриче
-
ских функций
1
,
cos
π
l
x,
sin
π
l
x,
cos
2
π
l
x,
sin
2
π
l
x,
. . .
и на ее основе построить теорию тригонометрических рядов
Фурье
,
повторяющую все полученные при
l
=
π
результаты и
выкладки
.
Оба указанных подхода приводят к одним и тем же резуль
-
татам
.
Для рядов Фурье существует комплексная форма записи
.
Пусть
f
(
x
)
∼
a
0
2
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx.
Заменим в членах этого ряда
cos
kx
, sin
kx
,
воспользовавшись
формулами Эйлера
:
cos
kx
=
e
ikx
+
e
−
ikx
2
,
sin
kx
=
e
ikx
−
e
−
ikx
2
.
Получим
f
(
x
)
∼
a
0
2
+
∞
X
k
=1
1
2
(
a
k
−
b
k
i
)
e
ikx
+
1
2
(
a
k
+
b
k
i
)
e
−
ikx
.
138
Глава
24.
Тригонометрические ряды Фурье
Полагая
c
0
=
a
0
2
,
c
k
=
1
2
(
a
k
−
b
k
i
)
,
c
−
k
=
1
2
(
a
k
+
b
k
i
)
,
получаем
f
(
x
)
∼
∞
X
k
=
−∞
c
k
e
ikx
,
c
k
=
1
2
π
Z
π
−
π
f
(
x
)
e
−
ikx
dx,
(
k
= 0
,
±
1
,
±
2
, . . .
)
.
Здесь частичной суммой ряда называется
S
n
(
x
;
f
)
=
=
n
P
k
=
−
n
c
k
e
ikx
,
а ряд называется сходящимся
,
если существует
lim
n
→∞
S
n
(
x
;
f
),
который называется суммой ряда
.
Заметим
,
что мы пришли бы к тому же ряду
∞
P
k
=
−∞
c
k
e
ikx
,
если бы
,
исходя из системы
{
e
ikx
}
∞
k
=
−∞
,
ортогональной в том
смысле
,
что
Z
π
−
π
e
ikx
e
isx
dx
=
Z
π
−
π
e
ikx
e
−
isx
dx
= 0
при
k
6
=
s,
начали строить такую же теорию рядов Фурье
,
как для триго
-
нометрической системы
.
Глава
25
МЕТРИЧЕСКИЕ
,
НОРМИРОВАННЫЕ
И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
§
25.1.
Метрические и нормированные
пространства
Определение
1.
Множество
R
называется
метрическим
пространством
,
если каждой паре его элементов
x
,
y
поста
-
влено в соответствие действительное неотрицательное число
ρ
(
x, y
)
>
0,
называемое
расстоянием
между элементами
x
и
y
и удовлетворяющее следующим условиям
(
аксиомам
):
1.
◦
ρ
(
x, y
)
>
0,
ρ
(
x, y
) = 0
⇐⇒
x
=
y
;
2.
◦
ρ
(
x, y
) =
ρ
(
y, x
) (
аксиома симметрии
);
3.
◦
ρ
(
x, y
)
6
ρ
(
x, z
) +
ρ
(
z, y
) (
неравенство треугольника
).
Элементы метрического пространства называют также
точками
.
Примером метрического пространства является
n
-
мерное
евклидово пространство
R
n
элементов
x
= (
x
1
, . . . , x
n
),
x
i
∈
R
(1
6
i
6
n
)
с расстоянием
ρ
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
=
v
u
u
t
n
X
i
=1
(
x
i
−
y
i
)
2
.
Другим примером является множество
C
([
a, b
])
непрерыв
-
ных на отрезке
[
a, b
]
функций с расстоянием
ρ
(
f, g
) = max
a
6
t
6
b
|
f
(
t
)
−
g
(
t
)
|
.
С помощью понятия расстояния можно ввести понятия
сходящейся последовательности точек метрического простран
-
ства
,
фундаментальной последовательности
,
полноты метри
-
ческого пространства
,
ε
-
окрестности точки
,
открытого и зам
-
кнутого множества
,
замыкания множества и другие
.
Мы по
-
знакомимся с этими понятиями на примере линейных норми
-
рованных пространств
,
входящих в класс метрических про
-
140
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
странств
.
Перенос этих понятий и свойств на случай произ
-
вольного метрического пространства не составляет труда
.
Определение
2.
Множество
R
называется
действитель
-
ным
(
или
вещественным
)
линейным
(
или
векторным
)
про
-
странством
,
если для каждых двух его элементов
x, y
∈
R
определена их
сумма
x
+
y
∈
R
и для каждого элемента
x
∈
∈
R
и любого вещественного числа
λ
определено
произведение
λx
∈
R
,
удовлетворяющие следующим аксиомам
:
1.
◦
x
+
y
=
y
+
x
∀
x, y
∈
R
;
2.
◦
(
x
+
y
) +
z
=
x
+ (
y
+
z
)
∀
x, y, z
∈
R
;
3.
◦
в
R
существует такой элемент
~
0,
что
x
+
~
0 =
~x
∀
x
∈
R
;
4.
◦
для каждого
x
∈
R
существует противоположный эле
-
мент
,
обозначаемый через
−
x
такой
,
что
x
+ (
−
x
) =
~
0
∀
x
∈
R
;
5.
◦
(
λ
+
µ
)
x
=
λx
+
µx
∀
x
∈
R
,
∀
λ, µ
∈
R
;
6.
◦
λ
(
x
+
y
) =
λx
+
λx
∀
x, y
∈
R
,
∀
λ
∈
R
;
7.
◦
(
λµ
)
x
=
λ
(
µx
)
∀
x
∈
R
,
∀
λ, µ
∈
R
(
C
);
8.
◦
1
x
=
x
∀
x
∈
R
.
Вычитанием называется операция
,
обратная сложению
.
Под разностью
x
−
y
понимают
x
−
y
B
x
+ (
−
y
).
Если в этом определении множество
R
вещественных чисел
заменить на множество
C
комплексных чисел
(
λ, µ
∈
C
),
то по
-
лучим определение
комплексного линейного
(
векторного
)
про
-
странства
.
Определение
3.
Если в линейном пространстве можно
найти
n
линейно независимых элементов
,
а любые
n
+ 1
эле
-
ментов этого пространства линейно зависимы
,
то говорят
,
что
линейное пространство
имеет размерность
n
.
Если же в линейном пространстве можно указать систему
из произвольного конечного числа линейно независимых эле
-
ментов
,
то говорят
,
что линейное пространство
бесконечно
-
мерно
.
Бесконечная система элементов линейного пространства
называется
линейно независимой
,
если любое конечное число
ее элементов линейно независимо
.