ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1511
Скачиваний: 1
§
25.1.
Метрические и нормированные пространства
141
Определение
4.
Линейное пространство
R
называется
нормированным пространством
,
если каждому элементу
x
∈
∈
R
поставлено в соответствие действительное неотрицатель
-
ное число
k
x
k
>
0,
называемое
нормой
элемента
x
и удовле
-
творяющее следующим условиям
(
аксиомам
):
1.
◦
k
x
k
>
0,
k
x
k
= 0
⇐⇒
x
=
~
0;
2.
◦
k
λx
k
=
|
λ
|k
x
k ∀
x
∈
R
,
∀
λ
∈
R
(
C
);
3.
◦
k
x
+
y
k
6
k
x
k
+
k
y
k ∀
x, y
∈
R
(
неравенство треуголь
-
ника
).
Всякое нормированное пространство является метрическим
пространством с расстоянием
ρ
(
x, y
)
B
k
x
−
y
k
.
Обратное неверно уже потому
,
что произвольное метриче
-
ское пространство не обязательно линейно
(
не обязательно вве
-
дены понятия суммы элементов и произведения элемента на
число
).
Даже в линейном метрическом пространстве
R ρ
(
x,
0)
не обязательно является нормой элемента
x
∈
R
.
В послед
-
нем можно убедиться на примере линейного метрического про
-
странства числовых последовательностей
.
x
=
{
ξ
i
}
∞
i
=1
,
ξ
i
∈
R
,
в котором при
x
=
{
ξ
i
}
∞
i
=1
,
y
=
{
η
i
}
∞
i
=1
,
λ
∈
R
x
+
y
B
{
ξ
i
+
η
i
}
∞
i
=1
,
λx
=
{
λξ
i
}
∞
i
=1
,
ρ
(
x, y
) =
∞
X
i
=1
1
2
i
|
ξ
i
−
η
i
|
1 +
|
ξ
i
−
η
i
|
.
Приведем примеры нормированных пространств
.
Пример
1.
Пространства
R
,
C
(
действительных или ком
-
плексных чисел
)
с нормой
k
x
k
=
|
x
|
.
Пример
2.
Пространство
R
n
с нормой
k
x
k
=
v
u
u
t
n
X
i
=1
x
2
i
,
(
x
= (
x
1
, . . . , x
n
))
,
142
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
или
k
x
k
1
=
n
X
i
=1
|
x
i
|
,
или
k
x
k
∞
= max
1
6
i
6
n
|
x
i
|
.
Говоря о линейных пространствах функций
,
определенных
на
E
⊂
R
n
,
всегда будем предполагать
,
что операции сложения
и умножения на число введены в них естественным образом
,
т
.
е
.
(
x
+
y
)(
t
)
B
x
(
t
) +
y
(
t
)
∀
t
∈
E,
(
λx
)(
t
)
B
λx
(
t
)
∀
t
∈
E.
Пример
3.
C
([
a, b
]) —
линейное пространство непрерыв
-
ных на отрезке
[
a, b
]
функций с нормой
k
x
k
=
k
x
k
C
([
a,b
])
B
max
a
6
t
6
b
|
x
(
t
)
|
.
Все свойства нормы в примерах
1–3
проверяются элемен
-
тарно
.
Изучим некоторые понятия и свойства нормированных про
-
странств
,
связанные с понятием расстояния и обобщающие из
-
вестные понятия и свойства числовых последовательностей и
множеств
.
До конца параграфа символом
R
будем обозначать
нормированное пространство
.
При
x
0
∈
R ε
-
окрестностью
точки
x
0
в нормированном
пространстве
R
называется множество
U
ε
(
x
0
)
B
{
x
:
x
∈
R,
k
x
−
x
0
k
< ε
}
.
Точка
x
0
называется центром этой окрестности
,
а
ε
—
ее
радиусом
.
Множество
E
⊂
R
называется
ограниченным
,
если
∃
M
:
E
⊂
U
M
(
~
0).
Точка
a
∈
R
называется
предельной
точкой множества
E
⊂
⊂
R
,
если любая
ε
-
окрестность точки
a
содержит бесконечно
много точек множества
E
.
Предельная точка множества
E
может принадлежать
,
а мо
-
жет и не принадлежать множеству
E
.
§
25.1.
Метрические и нормированные пространства
143
Объединение множества
E
⊂
R
и множества всех предель
-
ных множества
E
называется
замыканием
множества
E
и обо
-
значается символом
E
.
Операцией замыкания
(
замыканием
)
множества
E
⊂
R
на
-
зывается переход от множества
E
к его замыканию
E
.
Множество
E
⊂
R
называется
замкнутым
,
если оно содер
-
жит все свои предельные точки
,
т
.
е
.
если
E
=
E
.
Замыкание
E
множества
E
⊂
R
является замкнутым мно
-
жеством
(
доказательство то же
,
что и в случае
R
=
R
n
).
Пересечение любого числа и объединение конечного числа
замкнутых множеств суть замкнутые множества
(
доказатель
-
ство то же
,
что и в случае
R
=
R
n
).
Точка
x
называется
внутренней
точкой множества
E
⊂
R
,
если существует окрестность
U
ε
(
x
)
этой точки
,
содержащаяся
в
E
.
Множество
,
все точки которого внутренние
,
называется
открытым
.
Объединение любого числа и пересечение конечного числа
открытых множеств суть открытые множества
(
доказатель
-
ство то же
,
что и в случае
R
=
R
n
).
Для того чтобы множество
E
было открытым
,
необходимо
и достаточно
,
чтобы его дополнение
R
\
E
до всего простран
-
ства
R
было замкнутым
(
доказать в качестве упражнения
).
Определение
5.
Говорят
,
что последовательность
{
x
k
}
∞
i
=1
точек
R
сходится к точке
x
0
∈
R
,
если
lim
k
→∞
k
x
k
−
x
0
k
= 0
.
Точку
x
0
называют при этом пределом последовательности
{
x
k
}
и пишут
lim
k
→∞
x
k
=
x
0
.
Такую сходимость часто называют
сходимостью по норме
.
Это определение можно сформулировать еще и следующим
образом
:
последовательность
{
x
k
}
∞
k
=1
сходится к
x
0
,
если
∀
ε >
0
∃
n
ε
∈
N
:
x
n
∈
U
ε
(
x
0
)
(
т
.
е
.
k
x
n
−
x
0
k
< ε
)
∀
n
>
n
ε
.
Из определения предела следует
,
что никакая последова
-
тельность не может иметь двух различных пределов и что если
144
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
последовательность
{
x
k
}
∞
k
=1
сходится к точке
x
0
,
то и всякая
ее подпоследовательность сходится к
x
0
.
С использованием понятия предела последовательности
можно дать эквивалентное определение предельной точки мно
-
жества
:
точка
a
∈
R
называется предельной точкой множества
E
⊂
R
,
если существует последовательность
{
x
k
}
∞
k
=1
,
x
k
∈
E
,
x
k
6
=
a
∀
k
∈
N
,
сходящаяся к
a
(
доказать эту эквивалентность
в качестве упражнения
).
Определение
6.
Последовательность
{
x
k
}
точек
R
назы
-
вается
фундаментальной
,
если
∀
ε >
0
∃
n
ε
∈
N
:
k
x
k
−
x
j
k
< ε
∀
k, j
>
n
ε
.
Всякая сходящаяся последовательность является
,
очевидно
,
фундаментальной
,
но не наоборот
.
Определение
7.
Нормированное пространство
R
назы
-
вается
полным
,
если всякая фундаментальная последователь
-
ность его точек является сходящейся
,
т
.
е
.
имеет в
R
предел
.
Ранее было установлено
(
критерий Коши
),
что линейные
нормированные пространства
R
,
R
n
из примеров
1, 2
являются
полными
.
Из теоремы
16.1.1
и теоремы
17.3.1
следует
,
что простран
-
ство
C
([
a, b
])
из примера
3
является полным
.
Полное нормированное пространство называется
банахо
-
вым пространством
.
Определение
8.
Пусть
A
⊂
B
⊂
R
.
Множество
A
назы
-
вается
плотным
в
B
,
если
A
⊃
B
.
Теорему
24.3.3 (
Вейерштрасса
)
можно переформулировать
следующим образом
:
множество всех алгебраических много
-
членов плотно в пространстве
C
([
a, b
]).
Если пространство
R
не полно
,
то его всегда можно
попол
-
нить
,
т
.
е
.
«экономно» включить некоторым
(
и
,
по существу
,
единственным
)
способом в полное пространство
.
Определение
9.
Пусть
R
—
нормированное простран
-
ство
.
Полное нормированное пространство
R
∗
называется
по
-
полнением
пространства
R
,
если
§
25.1.
Метрические и нормированные пространства
145
1.
◦
R
является подпространством
R
∗
,
т
.
е
.
R
⊂
R
∗
и опреде
-
ления суммы
,
произведения элемента на число и нормы
в пространствах
R
и
R
∗
совпадают для элементов из
R
;
2.
◦
R
=
R
∗
,
т
.
е
.
R
плотно в
R
∗
.
Теорема
1.
Каждое нормированное пространство имеет
пополнение
.
Не приводя доказательства
,
укажем лишь идею
,
с помо
-
щью которой его можно осуществить
.
Сделаем это на при
-
мере
метрического
пространства
R
,
представляющего собой
множество всех рациональных чисел с естественным расстоя
-
нием
ρ
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
.
Задача состоит прежде всего в том
,
чтобы «экономно» при
-
соединить к
R
некоторые новые
(
«идеальные»
)
элементы и рас
-
пространить на полученное расширенное множество понятие
расстояния
.
Рассмотрим всевозможные фундаментальные по
-
следовательности
{
x
k
}
∞
k
=1
рациональных чисел
,
не являющи
-
еся сходящимися в
R
.
Расстоянием между двумя такими по
-
следовательностями назовем
ρ
(
{
x
k
}
,
{
y
k
}
)
B
lim
k
→∞
|
x
k
−
y
k
|
.
Этот предел существует в силу фундаментальности числовой
последовательности
{|
x
k
−
y
k
|}
∞
k
=1
и полноты
R
.
Расстоянием между такой последовательностью и рацио
-
нальным числом
x
0
назовем
ρ
(
{
x
k
}
, x
0
) = lim
k
→∞
|
x
k
−
x
0
|
.
Две не сходящиеся в
R
фундаментальные последовательно
-
сти
{
x
k
}
,
{
y
k
}
назовем эквивалентными
,
если
ρ
(
{
x
k
}
,
{
y
k
}
) =
= 0.
Все фундаментальные последовательности рациональ
-
ных чисел
,
не сходящиеся в
R
,
разбиваются на классы эквива
-
лентных последовательностей
.
Каждый такой класс назовем
«идеальным» элементом
.
Расстояние между двумя «идеаль
-
ными» элементами введем как расстояние между какими
-
либо
двумя представителями соответствующих классов эквивалент
-