ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1514
Скачиваний: 1
146
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
ных последовательностей
.
Аналогично введем понятие рассто
-
яния между «идеальным» элементом и рациональным числом
.
Объединение
R
и множества полученных «идеальных» эле
-
ментов обозначим через
R
∗
.
Наделенное введенным расстоя
-
нием
,
оно является искомым пополнением метрического про
-
странства
R
.
Определение
10.
Пусть
R
—
нормированное простран
-
ство
,
x, x
k
∈
R
∀
k
∈
N
.
Будем говорить
,
что ряд
∞
P
k
=1
x
k
схо
-
дится к
x
,
если
lim
n
→∞
n
P
k
=1
x
k
=
x
,
где предел понимается в смысле
сходимости по норме
,
т
.
е
.
если
lim
n
→∞
x
−
n
X
k
=1
x
k
= 0
.
§
25.2.
Пространства
CL
1
,
CL
2
,
RL
1
,
RL
2
,
L
1
,
L
2
Если в аксиомах нормы из определения
25.1.3
снять тре
-
бование
k
x
k
= 0
⇒
x
= 0,
то
k
x
k
будет называться
полунор
-
мой
,
а определение нормированного пространства превратится
в определение
полунормированного
пространства
.
На полунор
-
мированные пространства дословно переносятся понятия пре
-
дельного перехода
,
замыкания множества
,
плотности множе
-
ства
,
полноты пространства и другие
.
Рассмотрим примеры нормированных и полунормирован
-
ных пространств
,
норма
(
полунорма
)
которых задается с по
-
мощью интегралов
.
Пример
1.
CL
([
a, b
]) =
CL
1
([
a, b
]) —
линейное простран
-
ство непрерывных на отрезке
[
a, b
]
функций с нормой
k
x
k
=
k
x
k
L
([
a,b
])
=
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
dt.
§
25.2.
Пространства
CL
1
,
CL
2
,
RL
1
,
RL
2
,
L
1
,
L
2
147
Пример
2.
CL
2
([
a, b
]) —
линейное пространство непре
-
рывных на отрезке
[
a, b
]
функций с нормой
k
x
k
=
k
x
k
L
2
([
a,b
])
=
s
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
2
dt.
Все свойства нормы в примерах
1, 2
проверяются элемен
-
тарно
,
за исключением неравенства треугольника в примере
2.
Последнее будет выведено позднее из свойств скалярного про
-
изведения
.
Определение
1.
Пусть
(
a, b
)
⊂
(
−∞
,
∞
).
Функция
f
:
(
a, b
)
→
R
называется
финитной на
(
a, b
),
если
f
= 0
вне неко
-
торого отрезка
[
α, β
]
⊂
(
a, b
).
Пример
3.
C
0
L
p
((
a, b
)),
p
∈ {
1
,
2
}
, —
линейное простран
-
ство непрерывных и финитных на
(
a, b
)
функций с нормой
k
x
k
=
k
x
k
L
p
((
a,b
))
=
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
p
dt
1
p
.
Пример
4.
RL
((
a, b
)) =
RL
1
((
a, b
)) —
полунормиро
-
ванное пространство абсолютно интегрируемых на интервале
(
a, b
)
⊂
(
−∞
,
∞
)
функций
x
: (
a, b
)
→
R
,
т
.
е
.
функций со сходя
-
щимся интегралом
R
b
a
|
x
(
t
)
|
dt
,
понимаемым как несобственный
с конечным числом особенностей
,
и интегрируемых по Риману
на каждом отрезке из
(
a, b
),
не содержащем особенностей
(
см
.
определение
14.8.2).
При этом
k
x
k
=
k
x
k
L
1
((
a,b
))
B
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
dt.
(1)
Эта полунорма не является нормой на линейном простран
-
стве
RL
1
((
a, b
)),
т
.
к
.
из равенства
k
θ
k
=
R
b
a
|
θ
(
t
)
|
dt
= 0
не
следует
,
что
θ
≡
0 (
а ведь именно тождественно равная нулю
функция является нулевым элементом рассматриваемого ли
-
нейного пространства
).
В самом деле
,
равенство
k
θ
k
= 0
вы
-
полняется
,
например
,
и для функции
θ
,
принимающей нулевые
значения всюду на
(
a, b
),
за исключением конечного числа то
-
чек
,
в которых она отлична от нуля
.
148
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
З а м е ч а н и е
1.
Отметим без доказательства
следующие два свойства интегрируемой по Риману функции
:
1.
◦
ограниченная функция
θ
: [
α, β
]
→
R
интегрируема по
Риману на
[
α, β
]
тогда и только тогда
,
когда множество
ее точек разрыва имеет лебегову меру нуль
,
т
.
е
.
может
быть покрыто объединением счетного числа интервалов
сколь угодно малой суммарной длины
;
2.
◦
для интегрируемой по Риману на
[
α, β
]
функции
θ
усло
-
вие
R
β
α
|
θ
(
t
)
|
dt
= 0
эквивалентно тому
,
что
θ
(
t
) = 0
в
каждой точке
t
непрерывности функции
θ
.
Для множества функций
RL
1
((
a, b
))
можно построить дру
-
гое линейное пространство
g
RL
1
((
a, b
)),
которое уже окажется
нормированным с помощью интеграла
(1).
Две функции
x, y
∈
RL
1
((
a, b
))
назовем
эквивалентными
,
если
R
b
a
|
x
(
t
)
−
y
(
t
)
|
dt
= 0.
Таким образом
,
линейное простран
-
ство
RL
1
((
a, b
))
разбивается на классы эквивалентных функ
-
ций
.
В силу замечания
1
две эквивалентные функции «мало»
отличаются друг от друга
:
их значения могут быть различны
лишь на множестве точек нулевой лебеговой меры
.
Совокупность всех таких классов называется
фактор
-
пространством
пространства
RL
1
((
a, b
)).
Обозначим его че
-
рез
g
RL
1
((
a, b
)).
Превратим его в линейное пространство
,
введя
операции сложения и умножения на действительное число сле
-
дующим образом
.
Пусть
˜
x
, ˜
y
—
два класса из
g
RL
1
((
a, b
)),
а
x
(
∈
˜
x
),
y
(
∈
˜
y
) —
два каких
-
либо из их представителей
.
Суммой
˜
x
+ ˜
y
классов
˜
x
, ˜
y
назовем тот класс
˜
z
,
который содержит
x
+
+
y
,
а произведением
λ
˜
x
класса
˜
x
на число
λ
∈
R
—
тот класс
,
который содержит
λx
.
Легко проверить независимость суммы
и произведения от выбора представителей и выполнения для
g
RL
1
([
a, b
])
всех аксиом линейного пространства
.
Нулевым элементом
~
0
пространства
g
RL
1
((
a, b
))
является
множество абсолютно интегрируемых на
(
a, b
)
функций
θ
,
для
которых
R
b
a
|
θ
(
t
)
|
dt
= 0.
§
25.2.
Пространства
CL
1
,
CL
2
,
RL
1
,
RL
2
,
L
1
,
L
2
149
Положим
k
˜
x
k
e
L
1
([
a,b
])
B
k
x
k
L
1
([
a,b
])
=
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
dt,
где
x
∈
˜
x
.
Нетрудно проверить
,
что
k
˜
x
k
e
L
1
([
a,b
])
является нормой
в
g
RL
1
([
a, b
]).
Пример
5.
RL
2
((
a, b
)) —
полунормированное простран
-
ство определенных на интервале
(
a, b
)
⊂
(
−∞
,
+
∞
)
функций
x
: (
a, b
)
→
R
со сходящимся интегралом
R
b
a
|
x
(
t
)
|
2
dt
,
понима
-
емым как несобственный с конечным числом особенностей
,
и
интегрируемых по Риману на каждом отрезке из
(
a, b
),
не со
-
держащем особенностей
.
При этом
k
x
k
=
k
x
k
L
2
((
a,b
))
B
s
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
2
dt.
(2)
Аналогично тому
,
как это сделано при рассмотрении при
-
мера
4,
можно построить фактор
-
пространство
g
RL
2
((
a, b
))
про
-
странства
RL
2
((
a, b
)),
состоящее из классов функций
,
причем
две функции
x
,
y
входят в один и тот же класс
(
называются
эквивалентными
,
отождествляются
,
не различаются
),
если
Z
b
a
|
x
(
t
)
−
y
(
t
)
|
2
dt
= 0
.
Операции сложения и умножения на число
λ
∈
R
вводятся
в
g
RL
2
([
a, b
])
так же
,
как в примере
3.
Построенное фактор
-
пространство является линейным нормированным простран
-
ством с нормой
k
˜
x
k
e
L
2
((
a,b
))
B
k
x
k
L
2
((
a,b
))
=
s
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
2
dt,
где
x
—
произвольная функция из
˜
x
(
x
∈
˜
x
).
Нулевым элемен
-
том
~
0
пространства
g
RL
2
((
a, b
))
является множество функций
θ
∈
RL
2
((
a, b
)),
для которых
R
b
a
|
θ
(
t
)
|
2
dt
= 0.
Пространства
CL
p
([
a, b
]),
C
0
L
p
((
a, b
)),
p
= 1
,
2,
из приме
-
ров
1–3
не являются полными
.
Покажем это на примере про
-
150
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
странства
CL
1
([
−
1
,
1]).
Рассмотрим последовательность не
-
прерывных на
[
−
1
,
1]
функций
f
k
(
t
) =
0
при
−
1
6
t
6
0
,
kt
при
0
6
t
6
1
k
,
1
при
1
k
6
t
6
1
.
Последовательность
{
f
k
}
∞
k
=1
является фундаментальной в
CL
1
([
−
1
,
1]),
т
.
к
.
k
f
m
−
f
k
k
L
1
([
−
1
,
1])
6
Z
max
{
1
m
,
1
k
}
0
2
dt
= 2 max
1
m
,
1
k
.
Однако не существует функции из
CL
1
([
−
1
,
1]),
явля
-
ющейся
пределом
этой
последовательности
по
норме
CL
1
([
−
1
,
1]).
В самом деле
,
предполагая противное
,
обо
-
значим предельную функцию через
ϕ
.
Она непрерывна на
[
−
1
,
1]
как функция из
CL
([
−
1
,
1]),
и
Z
1
−
1
|
ϕ
(
t
)
−
f
k
(
t
)
|
dt
→
0
(
k
→ ∞
)
.
Но тогда при
k
→ ∞
Z
0
−
1
|
ϕ
(
t
)
−
f
k
(
t
)
|
dt
=
Z
0
−
1
|
ϕ
(
t
)
|
dt
→
0
,
так что
Z
0
−
1
|
ϕ
(
t
)
|
dt
= 0
⇒
ϕ
(
t
) = 0
при
−
1
6
t
6
0
.
Аналогично устанавливается
,
что
ϕ
(
t
) = 1
при
0
< δ
6
t
6
1
∀
δ
∈
(0
,
1)
.
Как видим
,
функция
ϕ
разрывна в точке
t
= 0,
что про
-
тиворечит предположению о существовании в
CL
([
−
1
,
1])
пре
-
дела последовательности
{
f
k
}
∞
k
=1
.
Следовательно
,
простран
-
ство
CL
1
([
a, b
])
не полно
.
Лемма
1.
Множество
C
0
((
a, b
))
непрерывных и финитных
на
(
a, b
)
функций плотно как в
RL
1
((
a, b
))
,
так и в
RL
2
((
a, b
))
.