ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 1565

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

§

25.2.

Пространства

CL

1

,

CL

2

,

RL

1

,

RL

2

,

L

1

,

L

2

151

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Первое утверждение леммы пред

-

ставляет собой переформулировку следствия

14.8.1.

Устано

-

вим второе утверждение

.

Пусть

f

RL

2

((

a, b

)),

ε >

0.

Тогда

существует функция

f

ε

RL

2

((

a, b

))

такая

,

что

f

ε

= 0

вне не

-

которого отрезка

[

A, B

]

(

a, b

),

f

ε

интегрируема по Риману

на

[

A, B

],

k

f

f

ε

k

L

2

((

a,b

))

< ε.

Функция

f

ε

строится так же

,

как при доказательстве тео

-

ремы

14.8.3.

Пусть

M

B

sup

(

a,b

)

|

f

ε

|

.

В силу следствия

14.8.1

существует

функция

ϕ

C

0

((

a, b

))

такая

,

что

Z

b

a

|

f

ε

(

x

)

ϕ

(

x

)

|

dx <

ε

2

2

M

.

При этом

,

как видно из построения

,

можно считать

,

что

|

ϕ

|

6

M

.

Тогда

Z

b

a

|

f

ε

(

x

)

ϕ

(

x

)

|

2

dx

6

2

M

Z

b

a

|

f

ε

(

x

)

ϕ

(

x

)

|

dx < ε

2

,

k

f

ϕ

k

L

2

((

a,b

))

6

k

f

f

ε

k

L

2

((

a,b

))

+

k

f

ε

ϕ

k

L

2

((

a,b

))

<

2

ε.

Можно показать

,

что пространства

RL

1

((

a, b

)),

RL

2

((

a, b

))

не являются полными

(

см

.,

например

,

§

19.7

учебника С

.

М

.

Ни

-

кольского «Курс математического анализа»

;

Т

. 2.

М

.:

На

-

ука

, 1973).

Мы не будем приводить доказательства

,

поскольку

оно требует привлечения теории интеграла Лебега

.

Укажем

лишь последовательность

{

f

k

}

k

=1

функций

,

фундаментальную

в

RL

1

((0

,

1)),

но не имеющую предела в

RL

1

((0

,

1)).

Перенумеруем все рациональные точки интервала

(0

,

1)

и

покроем

k

-

ю из них интервалом

I

k

(0

,

1)

с центром в этой

точке и длиной

µI

k

< ε

2

k

(0

< ε <

1,

k

= 1, 2, . . . ).

Пусть

f

k

(

t

) =

1

,

t

k

S

j

=1

I

j

,

0

,

t

(0

,

1)

\

k

S

j

=1

I

j

.


background image

152

Глава

25.

Метрические

,

нормированные и гильбертовы пр

-

ва

Очевидно

,

что последовательность

{

f

k

}

k

=1

фундамен

-

тальна в

RL

1

((0

,

1)).

Можно показать

,

что она не имеет пре

-

дела в

RL

1

((0

,

1)).

Упражнение

1.

Показать

,

что в пространствах

RL

1

((

a, b

)),

RL

2

((

a, b

))

счетное множество финитных ступен

-

чатых функций с рациональными параметрами

(

начало и ко

-

нец ступени

,

высота ступени

)

является плотным

.

У к а з а н и е

.

Использовать теорему

14.8.3.

Для

описания

пополнений

пространств

RL

1

((

a, b

)),

RL

2

((

a, b

))

придется ввести понятия меры и интеграла

Лебега

.

Мы лишь коснемся этих понятий

,

избегая точных

определений

.

Понятие измеримости множества по Лебегу

шире понятия измеримости по Жордану

:

всякое множество

,

измеримое по Жордану

,

является измеримым по Лебегу и его

мера Лебега совпадает с мерой Жордана

.

Множество всех рациональных точек отрезка

[0

,

1]

изме

-

римо по Лебегу

(

и имеет лебегову меру нуль

),

но не измеримо

по Жордану

.

Рассмотрим для примера определенную на отрезке

[

a, b

]

функцию

f

со значениями

,

лежащими на отрезке

[

A, B

].

Эту

функцию будем считать

измеримой

,

т

.

е

.

такой

,

что множество

{

x

[

a, b

]:

f

(

x

)

6

α

}

измеримо по Лебегу при

α

R

.

Поделим отрезок

[

A, B

]

на

k

равных частей точками

A

=

=

y

0

< y

1

< . . . < y

k

=

B

и составим интегральную сумму

k

X

j

=1

y

k

mes

e

k

,

e

k

=

{

x

: 0

6

x

6

1

, y

k

1

< f

(

x

)

6

y

k

}

,

(3)

где

mes

e

k

мера Лебега

.

Тогда

lim

k

→∞

k

X

j

=1

y

k

mes

e

k

называется

интегралом Лебега

функции

f

по отрезку

[

a, b

].

Как видим

,

при построении интегральной суммы

(3)

в каче

-

стве «представителя» функции

f

на множестве

e

k

выступает


background image

§

25.2.

Пространства

CL

1

,

CL

2

,

RL

1

,

RL

2

,

L

1

,

L

2

153

число

y

k

,

близкое к значениям

f

в любой точке

e

k

.

В то же

время при построении интегральной суммы Римана

k

X

i

=1

f

(

ξ

i

)(

x

i

x

i

1

)

,

ξ

i

[

x

i

1

, x

i

]

,

представителем функции

f

на отрезке

[

x

i

1

, x

i

]

выступает чи

-

сло

f

(

ξ

i

) —

значение функции

f

в одной из точек отрезка

.

Та

-

кой представитель может считаться удачным

,

если

f

мало ме

-

няется на отрезке разбиения

(

например

,

если

f

непрерывна на

[

a, b

]).

В общем же случае

,

число

f

(

ξ

i

)

не обязательно является

удачным представителем значений

f

на

[

x

i

1

, x

i

].

Естественно ожидать

(

и легко показывается

),

что функция

,

интегрируемая по Риману

,

интегрируема и по Лебегу

,

и эти

интегралы совпадают

.

С другой стороны

,

функция

f

: [0

,

1]

R

,

(

1

,

если

x

рационально

,

0

,

если

x

иррационально

интегрируема по Лебегу

(

и ее интеграл Лебега равен нулю

),

но не интегрируема по Риману

.

Таким образом

,

понятие инте

-

грала Лебега шире понятия интеграла Римана

.

Пример

6.

Обозначим через

L

((

a, b

)) =

L

1

((

a, b

))

полунор

-

мированное пространство интегрируемых по Лебегу на

(

a, b

)

(

−∞

,

+

)

функций с полунормой

(1),

интеграл в которой

понимается как интеграл Лебега

.

Тогда можно показать

,

что

пространство

L

1

((

a, b

))

является полным и что

RL

1

((

a, b

)),

а

значит

,

в силу леммы

1

и

C

0

L

1

((

a, b

))

плотны в нем

.

Согласно

определению пополнения

,

пространство

L

1

((

a, b

))

является по

-

полнением как пространства

RL

1

((

a, b

)),

так и пространства

C

0

L

1

((

a, b

)).

Пример

7.

Обозначим через

L

2

((

a, b

))

полунормирован

-

ное пространство измеримых по Лебегу на

(

a, b

)

(

−∞

,

+

)

функций

,

квадрат которых интегрируем по Лебегу

.

Полу

-

норму в нем зададим равенством

(2),

интеграл в котором по

-

нимается как интеграл Лебега

.

Можно показать

,

что про

-


background image

154

Глава

25.

Метрические

,

нормированные и гильбертовы пр

-

ва

странство

L

2

((

a, b

))

является полным и что

RL

2

((

a, b

)),

а зна

-

чит

(

в силу леммы

1),

и

C

0

L

2

((

a, b

))

плотны в нем

.

Согласно

определению пополнения

,

пространство

L

2

((

a, b

))

является по

-

полнением как пространства

RL

2

((

a, b

)),

так и пространства

C

0

L

2

((

a, b

)).

З а м е ч а н и е

2.

В случае конечных

a

,

b

вместо

L

p

((

a, b

))

можно писать

L

p

([

a, b

]),

p

= 1, 2.

З а м е ч а н и е

3.

Часто

,

допуская некоторую воль

-

ность

,

пространства

L

1

((

a, b

)),

L

2

((

a, b

))

называют нормиро

-

ванными пространствами функций

,

в которых отождествлены

функции

,

отличающиеся между собой лишь на множестве ле

-

беговой меры нуль

.

Придерживаясь точных формулировок

,

следовало бы гово

-

рить о нормированных пространствах

˜

L

1

((

a, b

))

и

˜

L

2

((

a, b

)) ,

элементами которых являются классы эквивалентных

(

т

.

е

.

от

-

личающихся на множестве лебеговой меры нуль

)

функций с

соответственно введенными операциями сложения и умноже

-

ния на число и нормой

(

ср

.

пространства

g

RL

1

,

g

RL

2

из приме

-

ров

5, 6).

§

25.3.

Евклидовы и гильбертовы пространства

Определение

1.

Скалярным произведением

в действи

-

тельном линейном пространстве

R

называется вещественная

функция

(

x, y

),

определенная для каждой пары элементов

x, y

R

и удовлетворяющая условиям

:

1.

(

x, y

) = (

y, x

),

2.

(

x

1

+

x

2

, y

) = (

x

1

, y

) + (

x

2

, y

),

3.

(

λx, y

) =

λ

(

x, y

)

λ

R

,

4.

(

x, x

)

>

0, (

x, x

) = 0

⇐⇒

x

=

~

0.

Определение

2.

Действительное линейное пространство

с фиксированным скалярным произведением называется

евкли

-

довым

пространством

.

В евклидовом пространстве вводится норма формулой

k

x

k

=

p

(

x, x

)

.

(1)


background image

§

25.3.

Евклидовы и гильбертовы пространства

155

Выполнение для

k

x

k

всех аксиом нормы очевидно

,

за ис

-

ключением неравенства треугольника

.

Установим его

,

дока

-

зав предварительно

неравенство Коши

Буняковского

:

|

(

x, y

)

|

6

k

x

k · k

y

k

.

(2)

Рассмотрим квадратный трехчлен

(

tx

+

y, tx

+

y

)

2

=

t

2

(

x, x

) + 2(

x, y

) + (

y, y

) =

=

k

x

k

2

t

2

+ 2(

x, y

)

t

+

k

y

k

2

.

Так как он неотрицателен

(

по свойству

4

скалярного про

-

изведения

),

то его дискриминант

4

|

(

x, y

)

|

2

4

k

x

k

2

· k

y

k

2

6

0,

откуда и следует

(2).

С помощью

(2)

получаем неравенство

k

x

+

y

k

2

= (

x

+

y, x

+

y

) =

k

x

k

2

+ 2(

x, y

) +

k

y

k

2

6

6

k

x

k

2

+ 2

k

x

k · k

y

k

+

k

y

k

2

= (

k

x

k

+

k

y

k

)

2

,

равносильное неравенству треугольника

:

k

x

+

y

k

6

k

x

k

+

k

y

k

.

Приведем примеры евклидовых пространств

.

Пример

1.

Пространство

R

n

точек

x

= (

x

1

, . . . , x

n

)

с

вещественными координатами и скалярным произведением

(

x, y

) =

n

X

i

=1

x

i

y

i

(

где

x

= (

x

1

, . . . , x

n

)

, y

= (

y

1

, . . . , y

n

))

.

Пример

2.

CL

2

([

a, b

]) —

линейное пространство непре

-

рывных на отрезке

[

a, b

]

функций со скалярным произведением

(

f, g

) =

R

b

a

f

(

t

)

g

(

t

)

dt

,

где

f, g

: [

a, b

]

R

.

Вводя норму

k

f

k

=

k

f

k

L

2

([

a,b

])

=

p

(

f, f

) =

s

Z

b

a

f

(

t

)

2

dt,

получаем

,

что

CL

2

([

a, b

])

совпадает с линейным нормирован

-

ным пространством

CL

2

([

a, b

])

из примера

25.2.2.