ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1509
Скачиваний: 1
§
25.2.
Пространства
CL
1
,
CL
2
,
RL
1
,
RL
2
,
L
1
,
L
2
151
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Первое утверждение леммы пред
-
ставляет собой переформулировку следствия
14.8.1.
Устано
-
вим второе утверждение
.
Пусть
f
∈
RL
2
((
a, b
)),
ε >
0.
Тогда
существует функция
f
ε
∈
RL
2
((
a, b
))
такая
,
что
f
ε
= 0
вне не
-
которого отрезка
[
A, B
]
⊂
(
a, b
),
f
ε
интегрируема по Риману
на
[
A, B
],
k
f
−
f
ε
k
L
2
((
a,b
))
< ε.
Функция
f
ε
строится так же
,
как при доказательстве тео
-
ремы
14.8.3.
Пусть
M
B
sup
(
a,b
)
|
f
ε
|
.
В силу следствия
14.8.1
существует
функция
ϕ
∈
C
0
((
a, b
))
такая
,
что
Z
b
a
|
f
ε
(
x
)
−
ϕ
(
x
)
|
dx <
ε
2
2
M
.
При этом
,
как видно из построения
,
можно считать
,
что
|
ϕ
|
6
M
.
Тогда
Z
b
a
|
f
ε
(
x
)
−
ϕ
(
x
)
|
2
dx
6
2
M
Z
b
a
|
f
ε
(
x
)
−
ϕ
(
x
)
|
dx < ε
2
,
k
f
−
ϕ
k
L
2
((
a,b
))
6
k
f
−
f
ε
k
L
2
((
a,b
))
+
k
f
ε
−
ϕ
k
L
2
((
a,b
))
<
2
ε.
Можно показать
,
что пространства
RL
1
((
a, b
)),
RL
2
((
a, b
))
не являются полными
(
см
.,
например
,
§
19.7
учебника С
.
М
.
Ни
-
кольского «Курс математического анализа»
;
Т
. 2.
М
.:
На
-
ука
, 1973).
Мы не будем приводить доказательства
,
поскольку
оно требует привлечения теории интеграла Лебега
.
Укажем
лишь последовательность
{
f
k
}
∞
k
=1
функций
,
фундаментальную
в
RL
1
((0
,
1)),
но не имеющую предела в
RL
1
((0
,
1)).
Перенумеруем все рациональные точки интервала
(0
,
1)
и
покроем
k
-
ю из них интервалом
I
k
⊂
(0
,
1)
с центром в этой
точке и длиной
µI
k
< ε
2
−
k
(0
< ε <
1,
k
= 1, 2, . . . ).
Пусть
f
k
(
t
) =
1
,
t
∈
k
S
j
=1
I
j
,
0
,
t
∈
(0
,
1)
\
k
S
j
=1
I
j
.
152
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
Очевидно
,
что последовательность
{
f
k
}
∞
k
=1
фундамен
-
тальна в
RL
1
((0
,
1)).
Можно показать
,
что она не имеет пре
-
дела в
RL
1
((0
,
1)).
Упражнение
1.
Показать
,
что в пространствах
RL
1
((
a, b
)),
RL
2
((
a, b
))
счетное множество финитных ступен
-
чатых функций с рациональными параметрами
(
начало и ко
-
нец ступени
,
высота ступени
)
является плотным
.
У к а з а н и е
.
Использовать теорему
14.8.3.
Для
описания
пополнений
пространств
RL
1
((
a, b
)),
RL
2
((
a, b
))
придется ввести понятия меры и интеграла
Лебега
.
Мы лишь коснемся этих понятий
,
избегая точных
определений
.
Понятие измеримости множества по Лебегу
шире понятия измеримости по Жордану
:
всякое множество
,
измеримое по Жордану
,
является измеримым по Лебегу и его
мера Лебега совпадает с мерой Жордана
.
Множество всех рациональных точек отрезка
[0
,
1]
изме
-
римо по Лебегу
(
и имеет лебегову меру нуль
),
но не измеримо
по Жордану
.
Рассмотрим для примера определенную на отрезке
[
a, b
]
функцию
f
со значениями
,
лежащими на отрезке
[
A, B
].
Эту
функцию будем считать
измеримой
,
т
.
е
.
такой
,
что множество
{
x
∈
[
a, b
]:
f
(
x
)
6
α
}
измеримо по Лебегу при
∀
α
∈
R
.
Поделим отрезок
[
A, B
]
на
k
равных частей точками
A
=
=
y
0
< y
1
< . . . < y
k
=
B
и составим интегральную сумму
k
X
j
=1
y
k
mes
e
k
,
e
k
=
{
x
: 0
6
x
6
1
, y
k
−
1
< f
(
x
)
6
y
k
}
,
(3)
где
mes
e
k
—
мера Лебега
.
Тогда
lim
k
→∞
k
X
j
=1
y
k
mes
e
k
называется
интегралом Лебега
функции
f
по отрезку
[
a, b
].
Как видим
,
при построении интегральной суммы
(3)
в каче
-
стве «представителя» функции
f
на множестве
e
k
выступает
§
25.2.
Пространства
CL
1
,
CL
2
,
RL
1
,
RL
2
,
L
1
,
L
2
153
число
y
k
,
близкое к значениям
f
в любой точке
e
k
.
В то же
время при построении интегральной суммы Римана
k
X
i
=1
f
(
ξ
i
)(
x
i
−
x
i
−
1
)
,
ξ
i
∈
[
x
i
−
1
, x
i
]
,
представителем функции
f
на отрезке
[
x
i
−
1
, x
i
]
выступает чи
-
сло
f
(
ξ
i
) —
значение функции
f
в одной из точек отрезка
.
Та
-
кой представитель может считаться удачным
,
если
f
мало ме
-
няется на отрезке разбиения
(
например
,
если
f
непрерывна на
[
a, b
]).
В общем же случае
,
число
f
(
ξ
i
)
не обязательно является
удачным представителем значений
f
на
[
x
i
−
1
, x
i
].
Естественно ожидать
(
и легко показывается
),
что функция
,
интегрируемая по Риману
,
интегрируема и по Лебегу
,
и эти
интегралы совпадают
.
С другой стороны
,
функция
f
: [0
,
1]
→
R
,
(
1
,
если
x
рационально
,
0
,
если
x
иррационально
интегрируема по Лебегу
(
и ее интеграл Лебега равен нулю
),
но не интегрируема по Риману
.
Таким образом
,
понятие инте
-
грала Лебега шире понятия интеграла Римана
.
Пример
6.
Обозначим через
L
((
a, b
)) =
L
1
((
a, b
))
полунор
-
мированное пространство интегрируемых по Лебегу на
(
a, b
)
⊂
⊂
(
−∞
,
+
∞
)
функций с полунормой
(1),
интеграл в которой
понимается как интеграл Лебега
.
Тогда можно показать
,
что
пространство
L
1
((
a, b
))
является полным и что
RL
1
((
a, b
)),
а
значит
,
в силу леммы
1
и
C
0
L
1
((
a, b
))
плотны в нем
.
Согласно
определению пополнения
,
пространство
L
1
((
a, b
))
является по
-
полнением как пространства
RL
1
((
a, b
)),
так и пространства
C
0
L
1
((
a, b
)).
Пример
7.
Обозначим через
L
2
((
a, b
))
полунормирован
-
ное пространство измеримых по Лебегу на
(
a, b
)
∈
(
−∞
,
+
∞
)
функций
,
квадрат которых интегрируем по Лебегу
.
Полу
-
норму в нем зададим равенством
(2),
интеграл в котором по
-
нимается как интеграл Лебега
.
Можно показать
,
что про
-
154
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
странство
L
2
((
a, b
))
является полным и что
RL
2
((
a, b
)),
а зна
-
чит
(
в силу леммы
1),
и
C
0
L
2
((
a, b
))
плотны в нем
.
Согласно
определению пополнения
,
пространство
L
2
((
a, b
))
является по
-
полнением как пространства
RL
2
((
a, b
)),
так и пространства
C
0
L
2
((
a, b
)).
З а м е ч а н и е
2.
В случае конечных
a
,
b
вместо
L
p
((
a, b
))
можно писать
L
p
([
a, b
]),
p
= 1, 2.
З а м е ч а н и е
3.
Часто
,
допуская некоторую воль
-
ность
,
пространства
L
1
((
a, b
)),
L
2
((
a, b
))
называют нормиро
-
ванными пространствами функций
,
в которых отождествлены
функции
,
отличающиеся между собой лишь на множестве ле
-
беговой меры нуль
.
Придерживаясь точных формулировок
,
следовало бы гово
-
рить о нормированных пространствах
˜
L
1
((
a, b
))
и
˜
L
2
((
a, b
)) ,
элементами которых являются классы эквивалентных
(
т
.
е
.
от
-
личающихся на множестве лебеговой меры нуль
)
функций с
соответственно введенными операциями сложения и умноже
-
ния на число и нормой
(
ср
.
пространства
g
RL
1
,
g
RL
2
из приме
-
ров
5, 6).
§
25.3.
Евклидовы и гильбертовы пространства
Определение
1.
Скалярным произведением
в действи
-
тельном линейном пространстве
R
называется вещественная
функция
(
x, y
),
определенная для каждой пары элементов
x, y
∈
∈
R
и удовлетворяющая условиям
:
1.
◦
(
x, y
) = (
y, x
),
2.
◦
(
x
1
+
x
2
, y
) = (
x
1
, y
) + (
x
2
, y
),
3.
◦
(
λx, y
) =
λ
(
x, y
)
∀
λ
∈
R
,
4.
◦
(
x, x
)
>
0, (
x, x
) = 0
⇐⇒
x
=
~
0.
Определение
2.
Действительное линейное пространство
с фиксированным скалярным произведением называется
евкли
-
довым
пространством
.
В евклидовом пространстве вводится норма формулой
k
x
k
=
p
(
x, x
)
.
(1)
§
25.3.
Евклидовы и гильбертовы пространства
155
Выполнение для
k
x
k
всех аксиом нормы очевидно
,
за ис
-
ключением неравенства треугольника
.
Установим его
,
дока
-
зав предварительно
неравенство Коши
–
Буняковского
:
|
(
x, y
)
|
6
k
x
k · k
y
k
.
(2)
Рассмотрим квадратный трехчлен
(
tx
+
y, tx
+
y
)
2
=
t
2
(
x, x
) + 2(
x, y
) + (
y, y
) =
=
k
x
k
2
t
2
+ 2(
x, y
)
t
+
k
y
k
2
.
Так как он неотрицателен
(
по свойству
4
◦
скалярного про
-
изведения
),
то его дискриминант
4
|
(
x, y
)
|
2
−
4
k
x
k
2
· k
y
k
2
6
0,
откуда и следует
(2).
С помощью
(2)
получаем неравенство
k
x
+
y
k
2
= (
x
+
y, x
+
y
) =
k
x
k
2
+ 2(
x, y
) +
k
y
k
2
6
6
k
x
k
2
+ 2
k
x
k · k
y
k
+
k
y
k
2
= (
k
x
k
+
k
y
k
)
2
,
равносильное неравенству треугольника
:
k
x
+
y
k
6
k
x
k
+
k
y
k
.
Приведем примеры евклидовых пространств
.
Пример
1.
Пространство
R
n
точек
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
с
вещественными координатами и скалярным произведением
(
x, y
) =
n
X
i
=1
x
i
y
i
(
где
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
, y
= (
y
1
, . . . , y
n
))
.
Пример
2.
CL
2
([
a, b
]) —
линейное пространство непре
-
рывных на отрезке
[
a, b
]
функций со скалярным произведением
(
f, g
) =
R
b
a
f
(
t
)
g
(
t
)
dt
,
где
f, g
: [
a, b
]
→
R
.
Вводя норму
k
f
k
=
k
f
k
L
2
([
a,b
])
=
p
(
f, f
) =
s
Z
b
a
f
(
t
)
2
dt,
получаем
,
что
CL
2
([
a, b
])
совпадает с линейным нормирован
-
ным пространством
CL
2
([
a, b
])
из примера
25.2.2.