ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1506
Скачиваний: 1
156
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
Пример
3.
RL
2
((
a, b
)) —
линейное пространство из при
-
мера
25.2.5.
Введем
(
f, g
)
B
Z
b
a
f
(
t
)
g
(
t
)
dt,
f, g
∈
RL
2
((
a, b
))
.
Для вещественной функции
(
f, g
)
выполняются все свой
-
ства скалярного произведения
,
за исключением свойства
(
f, f
) = 0
⇒
f
=
~
0 (
т
.
е
.
f
(
t
)
≡
0).
Такую функцию
(
f, g
)
называют полускалярным произведением
.
Полунорма опреде
-
ляется как
k
f
k
L
2
((
a,b
))
=
p
(
f, f
)
.
З а м е ч а н и е
1.
В евклидовом пространстве
для нормы
,
определенной равенством
(1),
выполняется
,
как не
-
трудно проверить
,
равенство
k
x
+
y
k
2
+
k
x
−
y
k
2
= 2(
k
x
k
2
+
k
y
k
2
)
,
(3)
выражающее свойство
:
сумма квадратов длин диагоналей па
-
раллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон
.
Упражнение
1.
Убедиться с помощью
(3),
что нормы в
пространствах
C
([
a, b
]),
CL
1
([
a, b
])
из примеров
25.1.3, 25.2.1
нельзя задать с помощью какого бы то ни было скалярного
произведения
.
Наряду с действительным евклидовым пространством рас
-
сматривают и комплексное линейное пространство со ска
-
лярным произведением
(
комплексное евклидово пространство
).
При этом скалярным произведением называется комплексная
функция
(
x, y
)
с условиями
1.
◦
(
x, y
) = (
y, x
),
2.
◦
(
x
1
+
x
2
, y
) = (
x
1
, y
) + (
x
2
, y
),
3.
◦
(
λx, y
) =
λ
(
y, x
)
∀
λ
∈
C
,
4.
◦
(
x, x
)
>
0, (
x, x
) = 0
⇐⇒
x
=
~
0.
Норма в комплексном евклидовом пространстве определя
-
ется
,
как и в действительном
,
формулой
(1).
Приведем примеры комплексных евклидовых пространств
.
Пример
4.
C
n
—
линейное пространство
,
представляю
-
щее собой совокупность систем
x
= (
x
1
, . . . , x
n
)
n
комплекс
-
ных чисел со сложением и умножением на комплексное число
,
§
25.3.
Евклидовы и гильбертовы пространства
157
определенными по тем же правилам
,
что и для
R
n
,
и скаляр
-
ным произведением
(
x, y
) =
n
X
i
=1
x
i
y
i
.
Пример
5.
Комплексное пространство
CL
2
([
a, b
]) —
ком
-
плексное линейное пространство комплекснозначных непре
-
рывных функций на отрезке
[
a, b
]
со скалярным произведением
(
f, g
) =
Z
b
a
f
(
t
)
g
(
t
)
dt.
Определение
3.
Бесконечномерное евклидово простран
-
ство называется
предгильбертовым
.
Полное
бесконечномерное евклидово пространство
(
т
.
е
.
полное предгильбертово пространство
)
называется
гильберто
-
вым
.
Всякое предгильбертово пространство
,
будучи пополнен
-
ным по его норме
,
превращается в гильбертово
,
если скалярное
произведение распространить на это пополнение по непрерыв
-
ности
.
В связи с этим важна следующая
Лемма
1.
Скалярное произведение
(
x, y
)
в предгильберто
-
вом пространстве непрерывно зависит от
x
,
y
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
k
x
0
−
x
k
< δ <
1,
k
y
0
−
y
k
<
< δ <
1.
Тогда с помощью неравенства Коши
–
Буняковско
-
го
(2)
имеем
|
(
x
0
, y
0
)
−
(
x, y
)
|
6
|
(
x
0
−
x, y
0
)
|
+
|
(
x, y
0
−
y
)
|
6
6
k
x
−
x
0
k · k
y
0
k
+
k
x
k k
y
0
−
y
k
6
6
δ
k
y
0
k
+ (
k
x
0
k
+
δ
)
δ
6
δ
(
k
x
0
k
+
k
y
0
k
+ 1)
.
Следствие
1.
Пусть
R
—
предгильбертово пространство
,
x
k
,
x
,
a
∈
R
.
Тогда
1.
◦
при
k
→ ∞
x
k
→
x
⇒
(
x
k
, a
)
→
(
x, a
)
,
2.
◦
∞
P
j
=1
x
j
=
x
⇒
∞
P
j
=1
(
x
j
, a
) = (
x, a
)
.
158
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
Мы будем рассматривать лишь
сепарабельные
предгиль
-
бертовы и гильбертовы пространства
,
т
.
е
.
такие
,
в которых
существует
счетное
плотное множество
.
Пример
6.
Пространство
l
2
с элементами
x
= (
x
1
, x
2
, . . .
)
,
где
x
i
∈
R
,
∞
X
i
=1
x
2
i
<
∞
,
и скалярным произведением
(
x, y
) =
∞
X
i
=1
x
i
y
i
является сепарабельным гильбертовым
.
Сходимость последнего ряда
(
даже абсолютная сходи
-
мость
)
следует из оценки
∞
X
i
=1
|
x
i
y
i
|
6
1
2
∞
X
i
=1
|
x
2
i
|
+
∞
X
i
=1
|
y
i
|
2
!
.
Аксиомы гильбертова пространства проверяются непосред
-
ственно
.
Плотным в
l
2
является счетное множество всех его
элементов
x
со всеми рациональными координатами
x
i
.
Пример
7.
Пространство
CL
2
([
a, b
])
из примера
2
явля
-
ется сепарабельным предгильбертовым пространством
.
Упражнение
2.
Доказать
,
что плотным множеством в
CL
2
([
a, b
])
является множество всех многочленов с рациональ
-
ными коэффициентами
.
Это можно сделать с помощью те
-
оремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции
многочленами
.
Пример
8.
Пространство
L
2
((
a, b
)), (
a, b
)
⊂
(
−∞
,
+
∞
),
из
примера
25.2.7
является гильбертовым
,
если под элементами
L
2
((
a, b
))
понимать функции и не различать две функции
,
от
-
личающиеся лишь на множестве лебеговой меры нуль
.
Счетным плотным множеством в
L
2
((
a, b
))
является мно
-
жество финитных ступенчатых функций с рациональными па
-
раметрами
.
§
25.4.
Ортогональные системы и ряды Фурье по ним
159
§
25.4.
Ортогональные системы
и ряды Фурье по ним
В этом параграфе
R
будет обозначать предгильбертово
пространство
.
Определение
1.
Элементы
x, y
∈
R
называют ортого
-
нальными
(
друг другу
),
если
(
x, y
) = 0.
Последовательность ненулевых элементов
{
e
j
}
∞
j
=1
про
-
странства
R
называют
ортогональной системой
или
орто
-
гональной последовательностью
,
если
(
e
j
, e
k
) = 0
∀
j, k
∈
N
,
j
6
=
k.
Если при этом
k
e
j
k
= 1
∀
j
∈
N
,
то ортогональная система
(
последовательность
)
называется
ортонормированной
.
Если каждый элемент ортогональной системы поделить на
его норму
,
получим ортонормированную систему
.
Если
{
e
j
}
∞
j
=1
—
ортогональная система
,
то
k
e
j
k
>
0
∀
j
(
согласно определе
-
нию
),
и при любом
k
∈
N
векторы
{
e
j
}
k
j
=1
линейно независимы
.
Установим последнее
.
Допустив противное
,
имеем при не
-
котором
k
∈
N
и при некоторых
λ
j
∈
R
,
не всех равных нулю
,
k
X
j
=1
λ
j
e
j
=
~
0
.
Если при этом
λ
s
6
= 0,
то
,
умножая последнее равенство
скалярно на
e
s
и пользуясь ортогональностью
,
получаем
,
что
λ
s
k
e
s
k
2
= 0.
Отсюда
e
s
=
~
0,
что противоречит принадлежно
-
сти
e
s
ортогональной последовательности
.
Приведем примеры ортогональных систем
.
Пример
1.
Последовательность
1
2
, cos
x
, sin
x
, cos 2
x
,
sin 2
x
, . . .
ортогональна относительно скалярного произведе
-
ния
(
f, g
) =
Z
π
−
π
f
(
x
)
g
(
x
)
dx.
160
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
Пример
2.
Последовательность комплекснозначных функ
-
ций
{
e
ikx
}
+
∞
k
=
−∞
ортогональна относительно скалярного произ
-
ведения
(
f, g
) =
Z
2
π
0
f
(
x
)¯
g
(
x
)
dx.
Пример
3.
Последовательность
{
P
n
}
∞
n
=0
многочленов Ле
-
жандра ортогональна относительно скалярного произведения
(
f, g
) =
Z
1
−
1
f
(
x
)
g
(
x
)
dx.
Здесь
P
0
(
x
) = 1,
P
n
(
x
) =
1
2
n
n
!
d
n
(
x
2
−
1)
n
dx
n
,
n
∈
N
.
Покажем
,
что полином Лежандра
P
n
ортогонален любому
многочлену
Q
m
степени
m < n
.
Учитывая
,
что
(
x
2
−
1)
(
k
)
при
0
6
k
6
n
−
1
обращается в
нуль в точках
x
=
±
1,
с помощью интегрирования по частям
получаем
Z
1
−
1
Q
m
(
x
)
d
n
(
x
2
−
1)
n
dx
n
dx
=
−
Z
1
−
1
Q
0
m
(
x
)
d
n
−
1
(
x
2
−
1)
n
dx
n
−
1
dx
=
=
Z
1
−
1
Q
00
m
(
x
)
d
n
−
2
(
x
2
−
1)
n
dx
n
−
2
dx
=
. . .
=
= (
−
1)
m
Q
(
m
)
m
(
x
)
d
n
−
m
−
1
(
x
2
−
1)
n
dx
n
−
m
−
1
1
−
1
= 0
.
(1)
В частности
,
R
1
−
1
P
m
(
x
)
P
n
(
x
)
dx
= 0, 0
6
m < n
.
Вычислим норму многочлена Лежандра
P
n
(
x
) =
(2
n
−
1)!!
n
!
x
n
+
Q
n
−
1
(
x
)
,
где
Q
n
−
1
—
многочлен степени не выше
n
−
1.
Используя
(1)
и интегрируя несколько раз по частям
,
получаем
Z
1
−
1
P
2
n
(
x
)
dx
=
(2
n
−
1)!!
n
!
Z
1
−
1
P
n
(
x
)
x
n
dx
=
=
(2
n
−
1)!!
n
!(2
n
)!!
Z
1
−
1
d
n
(
x
2
−
1)
n
dx
n
x
n
dx
=