ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1502
Скачиваний: 1
§
25.4.
Ортогональные системы и ряды Фурье по ним
161
= (
−
1)
n
−
1
(2
n
−
1)!!
(2
n
)!!
Z
1
−
1
((
x
2
−
1)
n
)
0
x dx
=
= (
−
1)
n
−
1
(2
n
−
1)!!
(2
n
−
2)!!
Z
1
−
1
(
x
2
−
1)
n
−
1
x
2
dx
=
= (
−
1)
n
−
1
(2
n
−
1)!!
(2
n
−
4)!!3
Z
1
−
1
(
x
2
−
1)
n
−
2
x
4
dx
=
. . .
=
Z
1
−
1
x
2
n
dx
2
2
n
+ 1
.
Следовательно
,
k
P
n
k
=
q
2
2
n
+ 1
.
Далее через
R
обозначаем предгильбертово пространство
,
через
k
x
k
=
p
(
x, x
) —
норму его элемента
x
,
через
{
e
j
}
∞
j
=1
—
ортогональную последовательность в нем
.
Напомним
,
что по
определению
k
e
j
k
>
0
∀
j
∈
N
.
Теорема
1.
Пусть
x
∈
R
,
x
=
∞
P
k
=1
α
k
e
k
.
Тогда
α
k
=
(
x, e
k
)
k
e
k
k
2
.
(2)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
В силу леммы скалярное произве
-
дение суммы сходящегося в
R
ряда можно производить по
-
членно
.
Используя свойство ортогональности
,
имеем
(
x, e
s
) =
∞
X
k
=1
α
k
(
e
k
, e
s
) =
α
s
(
e
s
, e
s
)
,
откуда и следует
(2).
Определение
2.
Пусть
x
∈
R
,
{
e
k
}
∞
k
=1
—
ортогональная
последовательность в
R
.
Тогда
α
k
=
(
x, e
k
)
k
e
k
k
2
называются коэф
-
фициентами Фурье элемента
x
по системе
{
e
k
}
∞
k
=1
,
ряд
∞
P
k
=1
α
k
e
k
—
рядом Фурье элемента
x
по системе
{
e
k
}
∞
k
=1
,
S
n
=
S
n
(
x
) =
=
n
P
k
=1
α
k
e
k
—
n
-
й суммой Фурье элемента
x
по системе
{
e
k
}
∞
k
=1
.
162
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
Таким образом
,
каждому элементу
x
∈
R
ставится в соот
-
ветствие его ряд Фурье
:
x
∼
∞
X
k
=1
α
k
e
k
.
(3)
Говорят
,
что элемент
x
разложен в ряд Фурье
,
и пишут
x
=
∞
P
k
=1
α
k
e
k
,
если ряд в
(3)
сходится к
x
в
R
,
т
.
е
.
k
x
−
S
n
(
x
)
k →
0
(
n
→ ∞
)
.
Очевидны следующие свойства частичных сумм ряда Фу
-
рье
:
S
n
(
e
k
) =
e
k
при
1
6
k
6
n,
откуда
S
n
(
T
n
) =
T
n
,
если
T
n
=
n
X
k
=1
c
k
e
k
.
(4)
Лемма
1 (
об ортогональном проектировании
).
(
x
−
S
n
(
x
)
, e
k
) = 0
при
1
6
k
6
n.
(5)
Лемма
2 (
аналог теоремы Пифагора
).
k
x
k
2
=
k
x
−
S
n
(
x
)
k
2
+
k
S
n
(
x
)
k
2
.
(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Используя
(5),
имеем
k
x
k
2
=
k
(
x
−
S
n
) +
S
n
k
2
= ((
x
−
S
n
) +
S
n
,
(
x
−
S
n
) +
S
n
) =
=
k
x
−
S
n
(
x
)
k
2
+
k
S
n
(
x
)
k
2
.
Теорема
2 (
минимальное свойство коэффициентов
Фурье
).
min
c
1
, ..., c
n
x
−
n
X
k
=1
c
k
e
k
=
k
x
−
S
n
(
x
)
k
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
T
n
=
n
P
k
=1
c
k
e
k
.
С помощью
леммы
2
и
(4)
k
x
−
T
n
k
2
=
k
(
x
−
T
n
)
−
S
n
(
x
−
T
n
)
k
2
+
k
S
n
(
x
−
T
n
)
k
2
=
=
k
x
−
S
n
(
x
)
k
2
+
k
S
n
(
x
)
−
T
n
k
2
>
k
x
−
S
n
(
x
)
k
2
.
§
25.4.
Ортогональные системы и ряды Фурье по ним
163
Следствие
1.
k
x
−
S
n
(
x
)
k
6
k
x
−
S
m
(
x
)
k
при
n
>
m.
Теорема
3 (
неравенство Бесселя
).
Пусть
x
∈
R
,
α
k
—
его коэффициенты Фурье по ортогональной системе
{
e
k
}
∞
k
=1
.
Тогда справедливо
неравенство Бесселя
:
∞
X
k
=1
α
2
k
k
e
k
k
2
6
k
x
k
2
.
(7)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Из
(6)
имеем
n
X
k
=1
α
2
k
k
e
k
k
2
=
n
X
k
=1
α
k
e
k
2
=
k
S
n
k
2
6
k
x
k
2
.
Отсюда следует
(7).
Следствие
2.
Коэффициенты Фурье обладают свойством
α
k
k
e
k
k →
0
(
k
→ ∞
)
,
а если система
{
e
k
}
∞
k
=1
—
ортонормированная
,
то
∞
X
k
=1
α
2
k
<
∞
,
α
k
→
0
(
k
→ ∞
)
.
Упражнение
1.
В условиях теоремы
4 (
см
.
ниже
)
дока
-
зать
,
что
2
◦
⇒
3
◦
с помощью почленного скалярного умноже
-
ния ряда из
2
◦
на
x
.
Теорема
4.
Пусть
{
e
k
}
∞
k
=1
—
ортогональная последова
-
тельность в
R
.
Тогда для каждого элемента
x
∈
R
следу
-
ющие утверждения эквивалентны
(
α
k
—
коэффициент Фурье
элемента
x
):
1.
◦
для
∀
ε >
0
существует полином
n
P
k
=1
c
k
e
k
по системе
{
e
k
}
∞
k
=1
,
для которого
x
−
n
X
k
=1
c
k
e
k
< ε,
164
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
2.
◦
x
=
∞
X
k
=1
α
k
e
k
,
3.
◦
справедливо равенство Парсеваля
:
k
x
k
2
=
∞
X
k
=1
α
2
k
k
e
k
k
2
.
(8)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Покажем
,
что
1
◦
⇐⇒
2
◦
.
В силу
минимальности свойств коэффициентов Фурье
1
◦
эквивалентно
тому
,
что
∀
ε >
0
∃
n
ε
∈
N
:
k
x
−
S
n
ε
(
x
)
k
< ε,
а значит
,
в силу следствия
1 —
тому
,
что
k
x
−
S
n
(
x
)
k
< ε
при
∀
n
>
n
ε
.
Последнее эквивалентно
2
◦
.
Эквивалентность
2
◦
⇐⇒
3
◦
становится очевидной
,
если
переписать
(6)
в виде
k
x
k
2
=
k
x
−
S
n
(
x
)
k
2
+
n
X
k
=1
α
2
k
k
e
k
k
2
.
З а м е ч а н и е
1.
Равенство Парсеваля
(8)
является
бесконечномерным аналогом теоремы Пифагора
.
Определение
3.
Система
{
x
k
}
∞
k
=1
элементов предгиль
-
бертова
(
или линейного нормированного
)
пространства
R
на
-
зывается
полной
в
R
,
если множество
(
конечных
)
линейных
комбинаций ее элементов плотно в
R
.
Теорема
5 (
критерий полноты ортогональной после
-
довательности
).
Пусть
{
e
k
}
∞
k
=1
—
ортогональная последова
-
тельность в
R
.
Тогда следующие три утверждения эквива
-
лентны
:
1.
◦
{
e
k
}
∞
k
=1
полна в
R
,
2.
◦
x
=
∞
P
k
=1
α
k
e
k
∀
x
∈
R
,
3.
◦
k
x
k
2
=
∞
P
k
=1
α
2
k
k
e
k
k
2
∀
x
∈
R
§
25.4.
Ортогональные системы и ряды Фурье по ним
165
(
α
k
—
коэффициенты Фурье элемента
x
).
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Достаточно воспользоваться тео
-
ремой
4
для каждого
x
∈
R
.
Теорема
6 (
Рисса
–
Фишера
).
Пусть
{
e
k
}
∞
k
=1
—
ортого
-
нальная система в гильбертовом пространстве
H
,
и пусть дей
-
ствительные числа
α
1
,
α
2
,
α
3
, . . .
таковы
,
что ряд
∞
X
k
=1
α
2
k
k
e
k
k
2
(9)
сходится
.
Тогда ряд
∞
P
k
=1
α
k
e
k
сходится в
H
к некоторому эле
-
менту
x
∈
H
:
∞
X
k
=1
α
k
e
k
=
x.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
В силу сходимости ряда
(9)
∀
ε >
0
∃
n
ε
∈
N
такое
,
что
n
+
p
X
k
=
n
+1
α
k
e
k
2
=
n
+
p
X
k
=
n
+1
α
2
k
k
e
k
k
2
< ε
∀
n
>
n
ε
,
∀
p
∈
N
,
см
.
теорему
16.1.2 (
критерий Коши сходимости числового
ряда
).
Это значит
,
что последовательность
n
P
k
=1
α
k
e
k
∞
n
=1
является фундаментальной в
H
,
а значит
,
и сходящейся в
H
(
в силу полноты
H
)
к некоторому
x
∈
H
.
Тогда
∞
P
k
=1
α
k
e
k
=
x
по определению суммы ряда в
H
.
Лемма
3.
Пусть
{
e
k
}
∞
k
=1
—
ортогональная система в гиль
-
бертовом пространстве
H
.
Тогда для
∀
x
∈
H
сходится
(
в
H
)
его ряд Фурье по этой системе
:
∞
X
k
=1
α
k
e
k
=
∞
X
k
=1
(
x, e
k
)
k
e
k
k
2
e
k
=
x
0
,
причем
(
x
−
x
0
, e
j
) = 0
∀
j
∈
N
.