ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1503
Скачиваний: 1
166
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Ряд
∞
P
k
=1
α
2
k
k
e
k
k
2
сходится в силу не
-
равенства Бесселя
(7).
Следовательно
,
ряд
∞
P
k
=1
α
k
e
k
сходится
по теореме
6 (
Рисса
–
Фишера
).
Имеем далее при
j
∈
N
(
x
−
x
0
, e
j
) = (
x, e
j
)
−
∞
X
k
=1
α
k
(
e
k
, e
j
) =
= (
x, e
j
)
−
α
j
k
e
j
k
2
= (
x, e
j
)
−
(
x, e
j
) = 0
.
Определение
4.
Ортогональная последовательность
{
e
k
}
∞
k
=1
в предгильбертовом пространстве
R
называется
зам
-
кнутой
,
если для
∀
x
∈
R
(
x, e
j
) = 0
(
∀
j
∈
N
)
⇒
x
=
~
0
,
т
.
е
.
если не существует ненулевого элемента
x
∈
R
,
ортого
-
нального всем элементам системы
{
e
k
}
∞
k
=1
.
Теорема
7.
В гильбертовом пространстве
H
ортогональ
-
ная система
{
e
k
}
∞
k
=1
полна тогда и только тогда
,
когда она
замкнута
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
. 1.
Пусть система
{
e
k
}
∞
k
=1
полна в
H
и
x
∈
H
.
Тогда в силу равенства Парсеваля
k
x
k
2
=
∞
X
k
=1
α
2
k
k
e
k
k
2
=
∞
X
k
=1
(
x, e
k
)
2
k
e
k
k
2
.
Поэтому
,
если
(
x, e
k
) = 0
∀
k
∈
N
,
то
k
x
k
= 0,
т
.
е
.
x
=
~
0.
Следовательно
,
система
{
e
k
}
∞
k
=1
замкнута
.
2.
Пусть система
{
e
k
}
∞
k
=1
замкнута в
H
,
x
∈
H
и
α
k
—
коэффициенты Фурье элемента
x
.
Тогда по лемме
3
ряд
∞
X
k
=1
α
k
e
k
=
∞
X
k
=1
(
x, e
k
)
k
e
k
k
2
e
k
=
x
0
∈
H
сходится к некоторому элементу
x
0
∈
H
,
причем
(
x
−
x
0
, e
k
) = 0
∀
k
∈
N
.
§
25.4.
Ортогональные системы и ряды Фурье по ним
167
Отсюда следует в силу замкнутости системы
,
что
x
−
x
0
=
= 0,
т
.
е
.
x
=
x
0
=
∞
P
k
=1
α
k
e
k
.
Из теоремы
5
следует теперь
,
что система
{
e
k
}
∞
k
=1
полна
.
Обратимся к конкретным примерам
.
Пример
4.
Последовательность одночленов
{
x
k
}
∞
k
=0
полна
в нормированном пространстве функций
C
([
a, b
]):
C
([
a, b
]) =
{
f
:
f
—
непрерывна на
[
a, b
]
,
k
f
k
= max
[
a,b
]
|
f
|}
в силу теоремы
24.3.3
Вейерштрасса о приближении непрерыв
-
ной функции алгебраическими многочленами
.
Пример
5.
Тригонометрическая система
1
2
,
cos
t,
sin
t,
cos 2
t
; sin 2
t,
cos 3
t,
sin 3
t, . . .
(10)
полна в нормированном пространстве функций
:
C
per
=
{
f
:
f
— 2
π
-
периодическая непрерывная функция
,
k
f
k
=
max
(
−∞
,
+
∞
)
|
f
|}
в силу теоремы
24.3.1
Вейерштрасса о приближении непрерыв
-
ных периодических функций тригонометрическими многочле
-
нами
.
Пример
6.
Тригонометрическая система
(10)
полна в про
-
странстве функций
:
C
∗
([
−
π, π
]) =
{
f
:
f
—
непрерывна на
[
−
π, π
]
, f
(
−
π
) =
f
(
π
)
}
в силу теоремы
24.3.1
0
Вейерштрасса
.
Пример
7.
Тригонометрическая система
(10)
не является
полной в пространстве
C
([
−
π, π
]).
Например
,
никакую непре
-
рывную на
[
−
π, π
]
функцию
f
при
f
(
−
π
)
6
=
f
(
π
)
нельзя с высо
-
кой точностью приблизить никаким тригонометрическим мно
-
гочленом
,
т
.
к
.
для всякого тригонометрического многочлена
T
n
выполнено условие
T
n
(
−
π
) =
T
n
(
π
).
Пример
8.
Последовательность одночленов
{
x
k
}
∞
k
=0
полна
в пространствах
CL
1
([
a, b
]),
CL
2
([
a, b
]),
RL
1
([
a, b
]),
RL
2
([
a, b
]),
L
1
([
a, b
]),
L
2
([
a, b
])
в силу примера
4
и плотности множества
168
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
непрерывных на
[
a, b
]
функций в указанных пространствах
(
см
.
лемму
25.2.1
и примеры
25.2.6, 25.2.7).
Пример
9.
Тригонометрическая система функций
(10)
полна в пространствах
CL
1
([
−
π, π
]),
CL
2
([
−
π, π
]),
RL
1
((
−
π, π
)),
RL
2
((
−
π, π
)),
L
1
([
−
π, π
]),
L
2
([
−
π, π
])
в силу при
-
мера
6
и плотности в указанных пространствах множества
C
0
([
−
π, π
]) =
{
f
:
f
—
непрерывна на
[
−
π, π
]
,
f
(
−
π
) =
f
(
π
) = 0
}
.
Упражнение
2.
Показать
,
что система
(10)
не полна в
RL
1
((
−
π, π
+
δ
))
при
δ >
0.
Пример
10.
Пусть
f
∈
L
2
([
−
π, π
]).
Тогда
f
раскладыва
-
ется в тригонометрический ряд Фурье
:
f
(
x
) =
a
0
2
+
∞
X
k
=1
a
k
cos
kx
+
b
k
sin
kx
(
сходящийся к
f
по норме в
L
2
([
−
π, π
]),
т
.
е
.
в смысле среднего
квадратичного
),
и справедливо равенство Парсеваля
1
π
Z
π
−
π
f
2
(
x
)
dx
=
a
2
0
2
+
∞
X
k
=1
a
2
k
+
b
2
k
.
Здесь
a
k
,
b
k
—
коэффициенты Фурье по тригонометриче
-
ской системе
,
вычисляемые по формулам
(24.1.2).
Утверждение вытекает из полноты системы
(10)
в
L
2
([
−
π, π
]) (
см
.
пример
9)
и теоремы
5.
В частности
,
сформулированные свойства верны для про
-
извольной непрерывной или кусочно непрерывной на
[
−
π, π
]
функции
f
.
Пример
11.
Пусть
f
∈
L
2
([
−
1
,
1]).
Тогда
f
раскладыва
-
ется в ряд Фурье по полиномам Лежандра
:
f
(
x
) =
∞
X
n
=0
α
n
P
n
,
α
n
=
2
n
+ 1
2
Z
1
−
1
f
(
x
)
P
n
(
x
)
dx
(
сходящийся по норме в
L
2
([
−
1
,
1]),
т
.
е
.
в смысле среднего
квадратичного
),
и справедливо равенство Парсеваля
.
§
25.4.
Ортогональные системы и ряды Фурье по ним
169
Сказанное верно
,
в частности
,
для произвольной непрерыв
-
ной или кусочно непрерывной на отрезке
[
−
1
,
1]
функции
f
.
Обоснование то же
,
что в примере
10.
Определение
5.
Пусть
R
—
нормированное простран
-
ство
.
Последовательность
{
e
j
}
∞
j
=1
,
e
j
∈
R
∀
j
∈
N
,
называется
базисом
в
R
,
если
1.
◦
для
∀
x
∈
R
справедливо представление
x
=
∞
X
j
=1
λ
j
e
j
,
λ
j
∈
R
;
2.
◦
указанное представление единственно
.
Упражнение
3.
Показать
,
что система
{
e
j
}
∞
j
=1
элементов
базиса линейно независима
.
Базис является
,
очевидно
,
полной системой в
R
.
Обратное
не верно
.
Например
,
система одночленов
{
x
k
}
∞
k
=0
,
являясь пол
-
ной в
C
([
−
1
,
1]) (
см
.
пример
4),
не является в этом простран
-
стве базисом
.
В самом деле
,
если
f
(
x
) =
∞
P
k
=0
λ
k
x
k
,
причем ряд
сходится в
C
([
−
1
,
1]),
т
.
е
.
равномерно на
[
−
1
,
1],
то его сумма
f
является бесконечно дифференцируемой на
(
−
1
,
1),
но не про
-
извольной функцией из
C
([
−
1
,
1]).
Известно
,
что тригонометрическая система
(10)
не является
базисом в
C
∗
([
−
π, π
]),
являясь в этом пространстве полной си
-
стемой
(
пример
6).
Теорема
8.
Пусть
{
e
k
}
∞
k
=1
—
ортогональная система в
предгильбертовом пространстве
R
.
Если
{
e
k
}
∞
k
=1
—
полная
система
,
то она является базисом в
R
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
{
e
k
}
∞
k
=1
—
полная система
в предгильбертовом пространстве
R
и
x
∈
R
.
Тогда в силу
теоремы
5
x
=
∞
X
k
=1
α
k
e
k
,
α
k
=
(
x, e
k
)
k
e
k
2
,
т
.
е
.
x
совпадает с суммой своего ряда Фурье
.
Такое предста
-
вление единственно по теореме
1.
Следовательно
,
{
e
k
}
∞
k
=1
—
базис в
R
.
170
Глава
25.
Метрические
,
нормированные и гильбертовы пр
-
ва
Теорема
9 (
об ортогонализации
).
Пусть
{
x
k
}
∞
k
=1
—
линейно независимая система элементов в предгильбертовом
пространстве
R
.
Тогда в
R
существует система элементов
{
e
k
}
∞
k
=1
,
удовлетворяющая следующим условиям
:
1.
◦
система
{
e
k
}
∞
k
=1
ортогональная и нормированная
,
2.
◦
при каждом
n
∈
N
e
n
=
a
n
1
x
1
+
. . .
+
a
nn
x
n
,
a
nn
6
= 0
.
Каждый элемент системы
{
e
k
}
∞
k
=1
определяется условиями
1
◦
,
2
◦
однозначно с точностью до множителя
±
1
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Элемент
e
1
ищется в виде
e
1
=
=
a
11
x
1
;
при этом
a
11
определяется из условия
(
e
1
, e
1
) =
a
2
11
(
x
1
, x
1
) = 1
,
т
.
е
.
a
11
=
±
1
k
x
1
k
2
.
Пусть элементы
e
k
(
∀
k
6
n
−
1),
удовлетворяющие усло
-
виям
1
◦
, 2
◦
,
уже построены
.
Ищем элемент
e
n
в виде
e
n
=
a
nn
(
x
n
−
b
n
1
e
1
−
. . .
−
b
n,n
−
1
e
n
−
1
)
.
Здесь виден геометрический смысл выражения
x
n
−
b
n,
1
e
1
−
. . .
−
b
n,n
−
1
e
n
−
1
,
состоящий в том
,
что из элемента
x
n
вычитается его проекция
на подпространство
,
натянутое на элементы
e
1
, . . . ,
e
n
−
1
.
Из требований ортогональности
(
e
n
, e
k
) = 0
при
k < n
по
-
лучаем
,
что
b
n
k
= (
x
n
, e
k
)
(
k
= 1
, . . . , n
−
1)
.
Из требования нормированности получаем
,
что
(
e
n
, e
n
) =
a
2
nn
k
x
n
−
b
n
1
e
1
−
. . .
−
b
n,n
−
1
e
n
−
1
k
2
= 1
,
откуда
a
nn
(
а значит
,
и
e
n
)
определяется с точностью до мно
-
жителя
±
1.
Переход от системы
{
x
k
}
∞
k
=1
к системе
{
e
k
}
∞
k
=1
,
удовлетво
-
ряющей условиям
1
◦
, 2
◦
,
называется
процессом ортогонализа
-
ции
.
Ясно
,
что системы
{
x
k
}
∞
k
=1
и
{
e
k
}
∞
k
=1
полны или не полны
в
R
одновременно
.