ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1499
Скачиваний: 1
Глава
26
ИНТЕГРАЛЫ
,
ЗАВИСЯЩИЕ
ОТ ПАРАМЕТРА
§
26.1.
Интегралы Римана
,
зависящие
от параметра
Интегралы Римана вида
I
(
y
) =
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx,
J
(
y
) =
Z
ψ
(
y
)
ϕ
(
y
)
f
(
x, y
)
dx
называются интегралами
,
зависящими от параметра
.
Здесь
будут изучены такие их свойства
,
как непрерывность
,
инте
-
грирование и дифференцирование по параметру
y
.
Теорема
1.
Пусть функция
f
непрерывна на
[
a, b
]
×
[
c, d
]
.
Тогда интеграл
I
(
y
) =
R
b
a
f
(
x, y
)
dx
непрерывен на
[
c, d
]
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
y
∈
[
c, d
],
y
+ ∆
y
∈
[
c, d
].
Тогда
|
I
(
y
+ ∆
y
)
−
I
(
y
)
|
=
Z
b
a
f
(
x, y
+ ∆
y
)
dx
−
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
6
6
Z
b
a
|
f
(
x, y
+ ∆
y
)
−
f
(
x, y
)
|
dx
6
(
b
−
a
)
ω
(
|
∆
y
|
, f
)
,
где
ω
(∆
, f
) —
модуль непрерывности функции
f
.
В силу не
-
прерывности
,
а значит
,
и равномерной непрерывности функ
-
ции
f
на
[
a, b
]
×
[
c, d
]
ω
(
δ, f
)
→
0
при
δ
→
0,
откуда и следует
утверждение теоремы
.
Теорема
2.
Пусть функции
ϕ
,
ψ
непрерывны на
[
c, d
]
,
ϕ
(
y
)
6
ψ
(
y
)
при
y
∈
[
c, d
]
,
G
=
{
(
x, y
)
:
ϕ
(
y
)
6
x
6
ψ
(
y
)
,
c
6
y
6
d
}
.
Пусть
f
—
непрерывна на
G
.
Тогда интеграл
J
(
y
) =
=
R
ψ
(
y
)
ϕ
(
y
)
f
(
x, y
)
dx
непрерывен на
[
c, d
]
.
172
Глава
26.
Интегралы
,
зависящие от параметра
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
С помощью замены
J
(
y
) =
Z
1
0
f
(
ϕ
(
y
)+
t
(
ψ
(
y
)
−
ϕ
(
y
)))(
ψ
(
y
)
−
ϕ
(
y
))
dt
C
Z
1
0
g
(
t, y
)
dt.
Подынтегральная функция
g
непрерывна на
[0
,
1]
×
[
c, d
]
по
теореме о непрерывности композиции непрерывных функций
.
По теореме
1
интеграл
J
(
y
)
непрерывен на
[
c, d
].
Теорема
3 (
об интегрировании под знаком инте
-
грала
).
Пусть
1.
◦
функция
f
интегрируема на
[
a, b
]
×
[
c, d
]
,
2.
◦
интеграл
I
(
y
) =
R
b
a
f
(
x, y
)
dx
существует при каждом
y
∈
[
c, d
]
,
3.
◦
интеграл
R
d
c
f
(
x, y
)
dy
существует при каждом
x
∈
[
a, b
]
.
Тогда существуют оба повторных интеграла и
Z
d
c
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx dy
=
Z
b
a
Z
d
c
f
(
x, y
)
dy dx.
Эта теорема вытекает из теорем
19.3.1, 19.3.1
0
.
Последняя формула справедлива
,
в частности
,
если функ
-
ция
f
непрерывна на
[
a, b
]
×
[
c, d
].
Теорема
4 (
правило Лейбница
).
Пусть
f
и
∂f
∂y
непре
-
рывны на
[
a, b
]
×
[
c, d
]
.
Тогда функция
I
(
y
) =
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
дифференцируема на
[
c, d
]
и
dI
(
y
)
dy
=
Z
b
a
∂
∂y
f
(
x, y
)
dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
y
∈
[
c, d
],
y
+ ∆
y
∈
[
c, d
].
Тогда
,
используя формулу конечных приращений Лагранжа
,
имеем
I
(
y
+ ∆
y
)
−
I
(
y
)
∆
y
−
Z
b
a
∂
∂y
f
(
x, y
)
dx
=
=
Z
b
a
f
(
x, y
+ ∆
y
)
−
f
(
x, y
)
∆
y
−
∂f
∂y
(
x, y
)
6
§
26.1.
Интегралы Римана
,
зависящие от параметра
173
6
Z
b
a
∂f
∂y
(
x, y
+
θ
∆
y
)
−
∂f
∂y
(
x, y
)
dx
6
(
b
−
a
)
ω
|
∆
y
|
,
∂f
∂y
,
где
ω
δ,
∂f
∂y
—
модуль непрерывности функции
∂f
∂y
на
[
a, b
]
×
×
[
c, d
].
В силу непрерывности
,
а значит
,
и равномерной непре
-
рывности
∂f
∂y
на
[
a, b
]
×
[
c, d
]
ω
|
y
|
,
∂f
∂y
→
0
при
|
∆
y
| →
0
.
Из приведенных оценок получаем теперь
,
что существует
dI
(
y
)
dy
B
lim
∆
y
→
0
I
(
y
+ ∆
y
)
−
I
(
y
)
∆
y
=
Z
b
a
∂f
∂y
(
x, y
)
dx,
что и требовалось доказать
.
Теорема
5.
Пусть функции
f
и
∂f
∂y
непрерывны на
[
a, b
]
×
[
c, d
]
,
ϕ
,
ψ
—
непрерывно дифференцируемы на
[
c, d
]
,
a
6
ϕ
(
y
)
6
ψ
(
y
)
6
b
при
y
∈
[
c, d
]
.
Тогда на отрезке
[
c, d
]
существует производная
dJ
(
y
)
dy
=
d
dy
Z
ψ
(
y
)
ϕ
(
y
)
f
(
x, y
)
dx
=
=
Z
ψ
(
y
)
ϕ
(
y
)
∂f
∂y
f
(
x, y
)
dx
+
f
(
ψ
(
y
)
, y
)
dψ
dy
(
y
)
−
f
(
ϕ
(
y
)
, y
)
dϕ
dy
(
y
)
.
(1)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Определим на
[
c, d
]
×
[
a, b
]
×
[
a, b
]
функцию
F
(
y, u, v
)
B
Z
v
u
f
(
x, y
)
dx.
Тогда
J
(
y
) =
F
(
y, ϕ
(
y
)
, ψ
(
y
))
.
Формула
(1)
получается
,
очевидно
,
при дифференцирова
-
нии последнего равенства в соответствии с правилами диф
-
ференцирования интеграла с переменным верхним
(
нижним
)
пределом и дифференцирования сложной функции
.
Для об
-
174
Глава
26.
Интегралы
,
зависящие от параметра
основания последнего достаточно убедиться в непрерывности
на
[
c, d
]
×
[
a, b
]
×
[
a, b
]
производных
F
0
u
(
y, u, v
) =
−
f
(
u, y
)
,
F
0
v
(
y, u, v
) =
f
(
v, y
)
,
F
0
y
(
y, u, v
) =
Z
v
u
∂f
∂y
(
x, y
)
dx.
Производные
F
0
u
,
F
0
v
непрерывны в силу непрерывности
функции
f
.
Производная
F
0
y
,
вычисленная по правилу Лейбница
(
тео
-
рема
4),
с помощью замены переменной в интеграле записыва
-
ется в виде
F
0
y
(
y, u, v
) =
Z
1
0
∂f
∂y
(
u
+ (
v
−
u
)
t, y
)(
v
−
u
)
dt
C
Z
1
0
h
(
y, u, v, t
)
dt.
(2)
По теореме о непрерывности композиции непрерывных
функций подынтегральная функция
h
непрерывна на
[
c, d
]
×
×
[
a, b
]
×
[
a, b
]
×
[0
,
1].
Отсюда следует
,
что интеграл
R
1
0
h
(
y, u, v, t
)
dt
непрерывен на
[
c, d
]
×
[
a, b
]
×
[
a, b
].
Послед
-
нее свойство можно установить с помощью непосредственной
оценки
:
Z
1
0
h
(
y
+ ∆
y, u
+ ∆
u, v
+ ∆
v, t
)
dt
−
Z
1
0
h
(
y, u, v, t
)
dt
6
6
Z
1
0
|
h
(
y
+ ∆
y, u
+ ∆
u, v
+ ∆
v, t
)
−
h
(
y, u, v, t
)
|
dt
6
ω
(
δ, h
)
,
где
ω
(
δ, h
) —
модуль непрерывности функции
h
, (∆
y
)
2
+(∆
u
)
2
+
+ (∆
v
)
2
6
δ
2
.
§
26.2.
Равномерная сходимость на множестве
Определение
1.
Пусть
X
⊂
R
,
Y
⊂
R
,
y
0
—
предельная
точка множества
Y
(
не исключается
y
0
= +
∞
,
−∞
,
∞
).
Пусть заданы функции
f
:
X
×
Y
→
R
,
ϕ
:
X
→
R
.
Говорят
,
что функция
f
равномерно на
X
стремится
к
ϕ
при
Y
3
y
→
→
y
0
,
и пишут
f
(
x, y
)
⇒
X
ϕ
(
x
)
при
Y
3
y
→
y
0
,
§
26.2.
Равномерная сходимость на множестве
175
если
sup
x
∈
X
|
f
(
x, y
)
−
ϕ
(
x
)
| →
0
при
Y
3
y
→
y
0
.
(1)
Можно сформулировать определение равномерного стре
-
мления
f
к
ϕ
,
эквивалентное определению
1,
если вместо усло
-
вия
(1)
написать
:
∀
ε >
0
∃
U
(
y
0
) :
|
f
(
x, y
)
−
ϕ
(
y
)
|
< ε
∀
y
∈
Y
∩
˚
U
(
y
0
)
.
В последней формулировке вместо
U
(
y
0
)
можно написать
U
δ
(
y
0
),
где
δ
=
δ
(
ε
)
>
0.
Пример
1.
Пусть функция
f
непрерывна на
[
a, b
]
×
[
c, d
],
y
0
∈
[
c, d
].
Тогда
f
(
x, y
)
⇒
f
(
x, y
0
)
.
В самом деле
,
из равномерной непрерывности функции
f
на
[
a, b
]
×
[
c, d
]
следует
,
что для
∀
ε >
0
∃
δ
=
δ
(
ε
)
>
0 :
|
f
(
x, y
)
−
f
(
x, y
0
)
|
< ε
при
|
y
−
y
0
|
< δ.
В случае
Y
=
N
,
y
0
= +
∞
значения функции
f
на
X
×
×
Y
можно записать как
f
n
(
x
)
B
f
(
x, n
).
Тогда понятие рав
-
номерного стремления
f
(
x, n
)
⇒
X
ϕ
(
x
)
при
n
→ ∞
совпадает с
изученным понятием равномерной на
X
сходимости последо
-
вательности
{
f
n
(
x
)
}
∞
n
=1
:
f
n
(
x
)
⇒
X
ϕ
(
x
)
при
n
→ ∞
.
З а м е ч а н и е
1.
Введем нормированное простран
-
ство ограниченных на
X
функций
:
M
(
X
) =
{
g
:
g
—
ограничена на
X,
k
g
k
M
= sup
X
|
g
|}
.
Тогда равномерное стремление
f
(
x, y
)
⇒
Y
3
y
→
y
0
ϕ
(
x
)
на
X
со
-
впадает
,
очевидно
,
с понятием стремления по норме
:
k
f
(
·
, y
)
−
ϕ
(
·
)
k
M
→
0
при
Y
3
y
→
y
0
,
а
понятие
равномерной
сходимости
последовательности
f
n
(
x
)
⇒
ϕ
(
x
) —
со сходимостью этой последовательности по
норме
:
k
f
n
−
ϕ
k
M
→
0
при
Y
3
y
→
y
0
.