ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1500
Скачиваний: 1
176
Глава
26.
Интегралы
,
зависящие от параметра
Если же
X
= [
a, b
],
и
f
(
x, y
)
непрерывна на
[
a, b
]
как функ
-
ция
x
при каждом
y
∈
Y
,
то вместо
M
([
a, b
])
можно взять
C
([
a, b
]).
Так же
,
как для случая равномерной сходимости последо
-
вательности функций
,
доказываются следующие три теоремы
.
Теорема
1 (
критерий Коши
).
Для того чтобы заданная
на
X
×
Y
⊂
R
×
R
функция
f
равномерно на
X
стремилась к
какой
-
либо функции при
Y
3
y
→
y
0
,
необходимо и достаточно
выполнения условия Коши
∀
ε >
0
∃
δ
=
δ
ε
>
0 : sup
x
∈
X
|
f
(
x, y
0
)
−
f
(
x, y
00
)
|
< ε
∀
y
0
, y
00
∈
Y
∩
˚
U
δ
(
y
0
)
.
Теорема
2.
Пусть заданная на
X
×
Y
⊂
R
×
R
функция
f
при каждом фиксированном
y
∈
Y
непрерывна как функция от
x
в точке
x
0
∈
X
(
по
X
)
f
(
x, y
)
⇒
X
ϕ
(
x
)
при
Y
3
y
→
y
0
.
Тогда
ϕ
непрерывна в точке
x
0
(
по
X
).
Теорема
3.
Пусть функция
f
:
[
a, b
]
×
Y
→
R
при каждом
y
∈
Y
непрерывна на
[
a, b
]
как функция
x
.
Пусть
f
(
x, y
)
⇒
[
a,b
]
ϕ
(
x
)
при
Y
3
y
→
y
0
.
Тогда
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
→
Z
b
a
ϕ
(
x
)
dx
при
Y
3
y
→
y
0
.
Теорему
3
называют
теоремой о предельном переходе под
знаком интеграла
,
поскольку она утверждает
,
что
lim
Y
3
y
→
y
0
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
=
Z
b
a
lim
Y
3
y
→
y
0
f
(
x, y
)
dx.
Упражнение
1.
Получить в качестве следствия из тео
-
ремы
3
теорему
26.1.1.
Упражнение
2.
Сравнить теоремы
1, 2, 3
соответственно
с теоремами
16.1.1, 16.3.1, 16.3.2.
§
26.3.
Несобственные интегралы
,
зависящие от параметра
177
Упражнение
3.
Сформулировать и доказать аналог тео
-
ремы
16.3.3.
§
26.3.
Несобственные интегралы
,
зависящие
от параметра
Будем рассматривать несобственные интегралы
I
(
y
) =
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx,
−∞
< a < b
6
+
∞
,
y
∈
Y
(1)
с особенностью на верхнем пределе
,
где
f
: [
a, b
)
×
Y
→
R
,
[
a, b
)
⊂
R
,
Y
⊂
R
m
.
Чаще всего будем считать
m
= 1
и
Y
= [
c, d
].
Напомним
,
что при написании
R
b
a
f
(
x, y
)
dy
предполагается
,
что функция
f
(
x, y
)
интегрируема по
x
по Риману на
∀
[
a, η
]
⊂
⊂
[
a, b
),
т
.
е
.
что интеграл
I
(
y, η
)
B
Z
η
a
f
(
x, y
)
dx,
∀
[
a, η
]
⊂
[
a, b
)
(2)
существует как интеграл Римана
.
Напомним
,
что несобственный интеграл
I
(
y
)
при фиксиро
-
ванном
y
∈
Y
называется
сходящимся
и
I
(
y
) = lim
η
→
b
−
0
Z
η
a
f
(
x, y
)
dx,
если последний предел существует и конечен
.
В против
-
ном случае несобственный интеграл
I
(
y
)
называется
расходя
-
щимся
.
Определение
1.
Говорят
,
что несобственный интеграл
I
(
y
) (1)
сходится равномерно на
Y
,
если
1.
◦
I
(
y
)
сходится на
Y
(
т
.
е
.
при
∀
y
∈
Y
),
2.
◦
sup
y
∈
Y
Z
b
η
f
(
x, y
)
dx
→
0
при
η
→
b
−
0.
Поясним
,
что при выполнении условия
1
◦
при
∀
y
∈
Y
Z
b
η
f
(
x, y
)
dx
→
0
при
η
→
b
−
0
,
(3)
178
Глава
26.
Интегралы
,
зависящие от параметра
однако быстрота этого стремления к нулю может существенно
зависеть от
y
.
Условие же
2
◦
показывает
,
что стремление к
нулю интеграла в
(3)
«в равной мере быстрое» на множестве
точек из
Y
(
точнее говоря
,
имеется стремящаяся к нулю мино
-
ранта скорости этого стремления
).
Пример
1.
I
(
y
) =
Z
∞
0
y e
−
xy
dx,
Y
= (
δ,
+
∞
)
⊂
(0
,
+
∞
)
.
Здесь
sup
y
∈
Y
Z
∞
η
y e
−
xy
dx
= sup
y
∈
Y
Z
∞
ηy
e
−
u
du
=
e
−
ηδ
.
При
δ >
0
lim
η
→
+
∞
e
−
ηδ
= 0,
так что
I
(
y
)
сходится равномерно
на
(
δ,
+
∞
).
При
δ
= 0
e
−
η
0
6→
0 (
η
→
+
∞
),
так что
I
(
y
)
не сходится
равномерно на
(0
,
+
∞
).
З а м е ч а н и е
1.
Условие
2
◦
определения
1
можно
переписать в виде
I
(
y, η
)
⇒
Y
I
(
y
)
при
η
→
b
−
0
.
Теорема
1 (
критерий Коши равномерной сходимо
-
сти несобственного интеграла
).
Для того чтобы несоб
-
ственный интеграл
(1)
сходился равномерно на
Y
,
необходимо
и достаточно выполнения условия Коши
:
∀
ε >
0
∃
η
∈
[
a, b
) : sup
y
∈
Y
Z
η
00
η
0
f
(
x, y
)
dx
< ε
∀
η
0
, η
00
∈
[
η
ε
, b
)
.
(4)
Д о к а з а т е л ь с т в о
необходимости основывается на
равенстве
Z
η
00
η
0
f
(
x, y
)
dx
=
Z
b
η
0
f
(
x, y
)
dx
−
Z
b
η
00
f
(
x, y
)
dx,
а достаточности
—
на критерии Коши сходимости несобствен
-
ного интеграла
(
теорема
14.7.1)
и предельном переходе при
η
00
→
b
−
0
в неравенстве
|
R
η
00
η
0
f
(
x, y
)
dx
|
< ε
.
§
26.3.
Несобственные интегралы
,
зависящие от параметра
179
З а м е ч а н и е
2.
Доказательство теоремы
1
можно
получить в качестве следствия теоремы
26.2.1,
используя за
-
мечание
1.
Упражнение
1.
Доказать
,
что несобственный интеграл
I
(
y
) =
Z
∞
0
e
−
yx
sin
x dx,
Y
=
Y
δ
= (
δ,
+
∞
)
а
)
сходится равномерно на множестве
Y
δ
при
δ >
0;
б
)
сходится
,
но не равномерно на
Y
0
.
Упражнение
2.
Доказать
,
что несобственный интеграл
I
(
y
) =
Z
∞
0
e
−
yx
sin
x
x
dx,
y
>
0
,
сходится равномерно на
Y
= [0
,
+
∞
).
Теорема
2 (
признак сравнения
).
Пусть функции
f, g
:
[
a, b
)
×
Y
→
R
,
[
a, b
)
⊂
R
,
Y
⊂
R
m
.
Пусть при некотором
M >
>
0
|
f
(
x, y
)
|
6
M g
(
x, y
)
при
(
x, y
)
∈
[
a, b
)
×
Y
и несобственный
интеграл
J
(
y
) =
Z
b
a
g
(
x, y
)
dx
сходится равномерно на
Y
.
Тогда несобственный интеграл
I
(
y
) =
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx
сходится равномерно на
Y
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
ε >
0.
Тогда в силу равно
-
мерной сходимости
J
(
y
)
и критерия Коши
∃
η
ε
∈
[
a, b
) : sup
y
∈
Y
Z
η
00
η
0
g
(
x, y
)
dx
< ε
∀
η
0
, η
00
∈
[
η
ε
, b
)
.
Тогда
sup
y
∈
Y
Z
η
00
η
0
f
(
x, y
)
dx
< M ε
∀
η
0
, η
00
∈
[
η
ε
, b
)
.
В силу критерия Коши несобственный интеграл
I
(
y
)
схо
-
дится равномерно на
Y
.
Частным случаем признака сравнения
(
теоремы
2)
явля
-
ется
180
Глава
26.
Интегралы
,
зависящие от параметра
Теорема
3 (
признак Вейерштрасса равномерной
сходимости несобственного интеграла
).
Пусть
f
: [
a, b
)
×
Y
→
R
,
ϕ
: [
a, b
)
→
R
,
|
f
(
x, y
)
|
6
ϕ
(
x
)
при
(
x, y
)
∈
[
a, b
)
×
Y.
Пусть несобственный интеграл
R
b
a
ϕ
(
x
)
dx
сходится
.
Тогда не
-
собственный интеграл
R
b
a
f
(
x, y
)
dx
сходится равномерно на
Y
.
Упражнение
3.
Доказать
,
что несобственный интеграл
Y
(
y
) =
Z
∞
0
cos
yx
1 +
x
2
dx
сходится равномерно на
(
−∞
,
+
∞
).
Установим достаточные условия непрерывности несоб
-
ственного интеграла
I
(
y
) (1),
возможности его интегрирова
-
ния и дифференцирования под знаком интеграла
.
Теорема
4.
Пусть функция
f
непрерывна на
[
a, b
)
×
Π
,
Π = [
c
1
, d
1
]
×
. . .
×
[
c
m
, d
m
]
,
и интеграл
I
(
y
) =
Z
b
a
f
(
x, y
)
dx,
y
∈
Π
,
(5)
сходится равномерно на
Π
.
Тогда
I
(
y
)
непрерывен на
Π
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
ε >
0
и
η
ε
∈
[
a, b
)
таково
,
что
sup
Π
Z
b
η
ε
f
(
x, y
)
dx
< ε.
Пусть
y
,
y
+ ∆
y
∈
Π.
Тогда
|
I
(
y
+ ∆
y
)
−
I
(
y
)
|
6
Z
η
ε
a
|
f
(
x, y
+ ∆
y
)
−
f
(
x, y
)
|
dx
+
+
Z
b
η
ε
f
(
x, y
+ ∆
y
)
dx
+
Z
b
η
ε
f
(
x, y
)
dx
6
6
(
η
ε
−
a
)
ω
(
|
∆
y
|
, f,
Π
ε
) +
ε
+
ε,
где
ω
(
δ, f,
Π
ε
) —
модуль непрерывности функции
f
на замкну
-
том прямоугольнике
Π
ε
B
[
a, η
ε
]
×
Π,
который
(
при фиксиро
-
ванном
ε >
0)
стремится к нулю при
δ
→
0.
Следовательно
,