ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 1547

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

§

19.4.

Геометрический смысл модуля якобиана отображения

31

Следствие

1.

Пусть функция

f

непрерывна на элементар

-

ной относительно оси

Oy

области

Ω (4)

.

Тогда справедливо

равенство

(5)

.

З а м е ч а н и е

.

Пусть

Ω (4)

является элементарной не

только относительно оси

Oy

,

но и относительно оси

Ox

,

т

.

е

.

наряду с описанием

(4)

имеет место еще и описание

Ω =

{

(

x, y

) :

c

6

y

6

d,

α

(

y

)

6

x

6

β

(

y

)

}

.

Тогда для непрерывной на

функции

f

справедливо равенство

Z

b

a

Z

ψ

(

x

)

ϕ

(

x

)

f

(

x, y

)

dy dx

=

Z

d

c

Z

β

(

y

)

α

(

y

)

f

(

x, y

)

dx dy,

(6)

выражающее собой правило перемены порядка интегрирова

-

ния в повторных интегралах

.

Теорема

2

и следствие из нее могут быть распространены

на

n

-

кратные интегралы

.

Определение

2.

Множество

Ω =

{

x

= (

x

1

, . . . , x

n

) = (

x

0

, x

n

) :

x

0

E,

ϕ

(

x

0

)

6

x

n

6

ψ

(

x

0

)

}

,

где

E

R

n

1

измеримое замкнутое множество

,

а функции

ϕ

,

ψ

непрерывны на

E

,

называется

элементарной относительно

оси

Ox

n

областью

.

Теорема

3.

Пусть функция

f

непрерывна на элементарной

относительно оси

Ox

n

области

.

Тогда

Z

f

(

x

)

dx

=

Z

E

Z

ψ

(

x

0

)

ϕ

(

x

0

)

f

(

x

0

, x

n

)

dx

n

dx

0

.

§

19.4.

Геометрический смысл модуля якобиана

отображения

В этом параграфе изучается отображение

F

:

(

x

=

x

(

u, v

)

,

y

=

y

(

u, v

)

(1)


background image

32

Глава

19.

Кратные интегралы

открытого множества

G

двумерного евклидова пространства

R

2

uv

на открытое множество

G

евклидова пространства

R

2

xy

:

R

2

uv

G

откр

.

F

G

откр

.

R

2

xy

со свойствами

:

1.

F

взаимно однозначно отображает

G

на

G

,

2.

F

непрерывно дифференцируемо на

G

,

3.

J

(

u, v

)

B

(

x, y

)

(

u, v

)

6

= 0

на

G

.

Лемма

1.

1

Пусть

E

отрезок с концами в точках

(

u

1

, v

1

)

,

(

u

2

, v

2

)

,

E

G

,

max

E

max

|

x

0

u

|

,

|

x

0

v

|

,

|

y

0

u

|

,

|

y

0

v

|

 

6

κ

.

Тогда

|F

(

u

2

, v

2

)

− F

(

u

1

, v

1

)

|

6

2

κ

|

(

u

2

, v

2

)

(

u

1

, v

1

)

|

=

= 2

κ

p

(

u

2

u

1

)

2

+ (

v

2

v

1

)

2

.

(2)

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Пусть

(

x

i

, y

i

) =

F

(

u

i

, v

i

),

i

= 1

,

2.

Тогда в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях

|

x

2

x

1

|

=

|

x

[

u

1

+

t

(

u

2

u

1

)

,

v

1

+

t

(

v

2

v

1

)]

|

1

t

=0

|

=

=


x

0

u

u,

˜

v

)(

u

2

u

1

) +

x

0

v

u,

˜

v

)(

v

2

v

1

)


6

6

2

κ

p

(

u

2

u

1

)

2

+ (

v

2

v

1

)

2

.

Аналогично

|

y

2

y

1

|

6

2

κ

p

(

u

2

u

1

)

2

+ (

v

2

v

1

)

2

.

Из двух последних оценок следует

(2).

Лемма

2.

Пусть ограниченное множество

E

E

G

,

Q

B

{

(

u, v

) :

u

0

6

u

6

u

0

+

h,

v

0

6

v

6

v

0

+

h

} ⊂

G.

Тогда

:

1.

F

(

E

) =

F

(

∂E

)

,

2.

F

(

Q

)

замкнутое измеримое множество

,

1

Используется

лишь

при

доказательстве

необязательной

тео

-

ремы

19.5.2.


background image

§

19.4.

Геометрический смысл модуля якобиана отображения

33

3.

если

µE

= 0

,

то

µ

F

(

E

) = 0

,

4.

если

E

измеримо

,

то

F

(

E

)

измеримо

.

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

В силу теоремы о локальном вза

-

имно однозначном соответствии для точек

u,

¯

v

)

G

и

x,

¯

y

) =

F

u,

¯

v

)

существуют их окрестности

,

находящиеся во

взаимно однозначном соответствии

,

причем эти окрестности

можно брать сколь угодно малыми по диаметру

.

Следова

-

тельно

,

точки

u,

¯

v

)

и

x,

¯

y

)

лишь одновременно могут являться

внутренними

,

или граничными

,

или предельными точками со

-

ответственно для

E

и

F

(

E

).

Отсюда следует утверждение

1

леммы и замкнутость множества

F

(

Q

).

Ограниченность

F

(

Q

)

следует из теоремы Вейерштрасса об ограниченности непре

-

рывной функции

,

примененной к

x

(

u, v

),

y

(

u, v

).

Заметим

,

что

F

(

Q

) =

F

(

∂Q

)

состоит из четырех гладких кривых

.

Поэтому

µ∂

F

(

Q

) = 0.

В силу критерия измеримости

F

(

Q

)

измеримо и

свойство

2

установлено

.

Свойства

3

и

4

будут использованы лишь при доказатель

-

стве теоремы

19.5.2.

Установим свойство

3

.

Покажем

,

что

µ

F

(

E

) = 0.

Пусть

ρ >

0

такое число

,

что

U

ρ

(

E

)

G

.

В качестве

ρ

можно взять

ρ

= 1,

если

G

=

R

2

,

и

ρ

=

1

2

dist

{

E

,

R

2

\

G

}

,

если

G

6

=

R

2

.

В последнем случае

ρ >

0

в силу положительно

-

сти расстояния между двумя замкнутыми непересекающимися
множествами

E

и

R

2

\

G

.

Пусть

ε >

0,

B

ε

=

m

P

1

P

k

элементарное множество

,

B

ε

E

,

µB

ε

< ε

.

П

-

прямоугольник

(

a, b

]

×

(

c, d

]

будем называть

регулярным

,

если

1

2

(

b

a

)

6

d

c

6

2(

b

a

)

.

Можно считать

,

что в представлении

B

ε

=

m

P

1

P

k

все пря

-

моугольники

P

k

регулярны и

diam

P

k

6

ρ

(

если это не так с

самого начала

,

то каждый из

P

k

можно разбить на регулярные


background image

34

Глава

19.

Кратные интегралы

п

-

прямоугольники с диаметром

,

не превосходящим

ρ

,

и отбро

-

сить те из них

,

которые не пересекаются с

E

).

Тогда

B

ε

U

ρ

(

E

)

G.

Пусть

κ

= max

U

ρ

(

E

)

max

{|

x

0

u

|

,

|

x

0

v

|

,

|

y

0

u

|

,

|

y

0

v

|}

.

В силу

(2)

образ каждого из п

-

прямоугольников

P

k

с длиной

меньшей стороны

h

k

содержится в квадрате

2

5

κ

h

k

,

так что

µ

F

P

k

6

100

κ

2

µP

k

,

откуда в силу монотонности и полуаддитивности верхней
меры

µ

F

E

6

µ

F

B

ε

6

100

κ

2

µB

ε

6

100

κ

2

ε.

В силу произвольности

ε >

0

µ

F

E

=

µ

F

E

= 0

.

Свойство

4

следует из ограниченности

F

(

E

)

⊂ F

(

E

),

вы

-

текающей из теоремы Вейерштрасса

,

свойств

1

, 3

и критерия

измеримости

.

Теорема

1 (

геометрический смысл модуля якобиана

отображения

).

Пусть

(

u

0

, v

0

)

G

,

h

0

>

0

,

G

Q

h

B

B

{

(

u, v

) :

u

h

6

u

6

u

h

+

h, v

h

6

v

6

v

h

+

h

} 3

(

u

0

, v

0

)

при всех

h

,

0

< h

6

h

0

.

Тогда

lim

h

0+0

µ

F

(

Q

h

)

µQ

h

=

|

J

(

u

0

, v

0

)

|

.

(3)

Доказательство будет дано ниже в виде следствия из тео

-

ремы

19.5.1

о замене переменных в интеграле

.

В конце

§

19.5

будет приведено обобщение теоремы

1

на

n

-

мерный случай

.

Частичное выяснение геометрического смысла модуля якоби

-

ана отображения

(

оценку сверху левой части

(3))

доставляет

Лемма

3.

В условиях теоремы

1

при

h

0

µ

F

(

Q

h

)

6

|

J

(

u

0

, v

0

)

|

µQ

h

+

o

(

h

2

)

.

(4)


background image

§

19.4.

Геометрический смысл модуля якобиана отображения

35

Д о к а з а т е л ь с т в о

.

Подчеркнем

,

что точка

(

u

0

, v

0

)

не

-

обязательно является центром

Q

h

.

Отображение

F

дифферен

-

цируемо

,

поэтому

F

:

x

=

x

0

+

a

11

(

u

u

0

) +

a

12

(

v

v

0

)+

+

ε

1

(

u

u

0

, v

v

0

)

p

(

u

u

0

)

2

+ (

v

v

0

)

2

,

y

=

y

0

+

a

21

(

u

u

0

) +

a

22

(

v

v

0

)+

+

ε

2

(

u

u

0

, v

v

0

)

p

(

u

u

0

)

2

+ (

v

v

0

)

2

,

где

a

11

=

x

0

u

(

u

0

, v

0

),

a

12

=

x

0

v

(

u

0

, v

0

),

a

21

=

y

0

u

(

u

0

, v

0

),

a

22

=

=

y

0

v

(

u

0

, v

0

),

ε

i

(

u

u

0

, v

v

0

)

0

при

(

u, v

)

(

u

0

, v

0

).

Сравним

F

с линейным отображением

ˆ

F

:

(

x

= ˆ

x

(

u, v

) =

x

0

+

a

11

(

u

u

0

) +

a

12

(

v

v

0

)

,

y

= ˆ

y

(

u, v

) =

y

0

+

a

21

(

u

u

0

) +

a

22

(

v

v

0

)

.

Из аналитической геометрии известно

,

что

µ

ˆ

F

(

Q

h

)

µQ

h

=





a

11

a

12

a

21

a

22





=

|

J

(

u

0

, v

0

)

|

.

Сравним параллелограмм

ˆ

F

(

Q

h

)

и криволинейный парал

-

лелограмм

F

(

Q

h

).

Положим

ε

(

h

)

B

sup

|

u

u

0

|

6

h

|

v

v

0

|

6

h

max

{|

ε

1

|

,

|

ε

2

|}

,

ε

(

h

)

0

при

h

0

.

Тогда для

(

u, v

)

Q

h

|

x

(

u, v

)

ˆ

x

(

u, v

)

|

6

ε

(

h

)

2

h,

|

y

(

u, v

)

ˆ

y

(

u, v

)

|

6

ε

(

h

)

2

h.

Отсюда

,

очевидно

,

следует

,

что

F

(

Q

h

)

U

3

ε

(

h

)

h

ˆ

F

(

Q

h

)

.

(5)

x

y

0

3

ε

(

h

)

h

3

ε

(

h

)

h

Рис

. 19.2

Поэтому

µ

F

(

Q

h

)

6

µ

U

3

ε

(

h

)

h

ˆ

F

(

Q

h

)

6

6

µ

ˆ

F

(

Q

h

) +

o

(

h

2

) =

=

|

J

(

u

0

, v

0

)

|

h

2

+

o

(

h

2

)

,

и

(4)

установлено

(

рис

. 19.2).