ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1545
Скачиваний: 1
§
19.4.
Геометрический смысл модуля якобиана отображения
31
Следствие
1.
Пусть функция
f
непрерывна на элементар
-
ной относительно оси
Oy
области
Ω (4)
.
Тогда справедливо
равенство
(5)
.
З а м е ч а н и е
.
Пусть
Ω (4)
является элементарной не
только относительно оси
Oy
,
но и относительно оси
Ox
,
т
.
е
.
наряду с описанием
(4)
имеет место еще и описание
Ω =
{
(
x, y
) :
c
6
y
6
d,
α
(
y
)
6
x
6
β
(
y
)
}
.
Тогда для непрерывной на
Ω
функции
f
справедливо равенство
Z
b
a
Z
ψ
(
x
)
ϕ
(
x
)
f
(
x, y
)
dy dx
=
Z
d
c
Z
β
(
y
)
α
(
y
)
f
(
x, y
)
dx dy,
(6)
выражающее собой правило перемены порядка интегрирова
-
ния в повторных интегралах
.
Теорема
2
и следствие из нее могут быть распространены
на
n
-
кратные интегралы
.
Определение
2.
Множество
Ω =
{
x
= (
x
1
, . . . , x
n
) = (
x
0
, x
n
) :
x
0
∈
E,
ϕ
(
x
0
)
6
x
n
6
ψ
(
x
0
)
}
,
где
E
⊂
R
n
−
1
—
измеримое замкнутое множество
,
а функции
ϕ
,
ψ
непрерывны на
E
,
называется
элементарной относительно
оси
Ox
n
областью
.
Теорема
3.
Пусть функция
f
непрерывна на элементарной
относительно оси
Ox
n
области
Ω
.
Тогда
Z
Ω
f
(
x
)
dx
=
Z
E
Z
ψ
(
x
0
)
ϕ
(
x
0
)
f
(
x
0
, x
n
)
dx
n
dx
0
.
§
19.4.
Геометрический смысл модуля якобиана
отображения
В этом параграфе изучается отображение
F
:
(
x
=
x
(
u, v
)
,
y
=
y
(
u, v
)
(1)
32
Глава
19.
Кратные интегралы
открытого множества
G
двумерного евклидова пространства
R
2
uv
на открытое множество
G
∗
евклидова пространства
R
2
xy
:
R
2
uv
⊃
G
откр
.
F
G
∗
откр
.
⊂
R
2
xy
со свойствами
:
1.
◦
F
взаимно однозначно отображает
G
на
G
∗
,
2.
◦
F
непрерывно дифференцируемо на
G
,
3.
◦
J
(
u, v
)
B
∂
(
x, y
)
∂
(
u, v
)
6
= 0
на
G
.
Лемма
1.
1
Пусть
E
—
отрезок с концами в точках
(
u
1
, v
1
)
,
(
u
2
, v
2
)
,
E
∈
G
,
max
E
max
|
x
0
u
|
,
|
x
0
v
|
,
|
y
0
u
|
,
|
y
0
v
|
6
κ
.
Тогда
|F
(
u
2
, v
2
)
− F
(
u
1
, v
1
)
|
6
2
κ
|
(
u
2
, v
2
)
−
(
u
1
, v
1
)
|
=
= 2
κ
p
(
u
2
−
u
1
)
2
+ (
v
2
−
v
1
)
2
.
(2)
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
(
x
i
, y
i
) =
F
(
u
i
, v
i
),
i
= 1
,
2.
Тогда в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях
|
x
2
−
x
1
|
=
|
x
[
u
1
+
t
(
u
2
−
u
1
)
,
v
1
+
t
(
v
2
−
v
1
)]
|
1
t
=0
|
=
=
x
0
u
(˜
u,
˜
v
)(
u
2
−
u
1
) +
x
0
v
(˜
u,
˜
v
)(
v
2
−
v
1
)
6
6
√
2
κ
p
(
u
2
−
u
1
)
2
+ (
v
2
−
v
1
)
2
.
Аналогично
|
y
2
−
y
1
|
6
√
2
κ
p
(
u
2
−
u
1
)
2
+ (
v
2
−
v
1
)
2
.
Из двух последних оценок следует
(2).
Лемма
2.
Пусть ограниченное множество
E
⊂
E
⊂
G
,
Q
B
{
(
u, v
) :
u
0
6
u
6
u
0
+
h,
v
0
6
v
6
v
0
+
h
} ⊂
G.
Тогда
:
1.
◦
∂
F
(
E
) =
F
(
∂E
)
,
2.
◦
F
(
Q
)
—
замкнутое измеримое множество
,
1
Используется
лишь
при
доказательстве
необязательной
тео
-
ремы
19.5.2.
§
19.4.
Геометрический смысл модуля якобиана отображения
33
3.
◦
если
µE
= 0
,
то
µ
F
(
E
) = 0
,
4.
◦
если
E
—
измеримо
,
то
F
(
E
)
измеримо
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
В силу теоремы о локальном вза
-
имно однозначном соответствии для точек
(¯
u,
¯
v
)
∈
G
и
(¯
x,
¯
y
) =
F
(¯
u,
¯
v
)
существуют их окрестности
,
находящиеся во
взаимно однозначном соответствии
,
причем эти окрестности
можно брать сколь угодно малыми по диаметру
.
Следова
-
тельно
,
точки
(¯
u,
¯
v
)
и
(¯
x,
¯
y
)
лишь одновременно могут являться
внутренними
,
или граничными
,
или предельными точками со
-
ответственно для
E
и
F
(
E
).
Отсюда следует утверждение
1
◦
леммы и замкнутость множества
F
(
Q
).
Ограниченность
F
(
Q
)
следует из теоремы Вейерштрасса об ограниченности непре
-
рывной функции
,
примененной к
x
(
u, v
),
y
(
u, v
).
Заметим
,
что
∂
F
(
Q
) =
F
(
∂Q
)
состоит из четырех гладких кривых
.
Поэтому
µ∂
F
(
Q
) = 0.
В силу критерия измеримости
F
(
Q
)
измеримо и
свойство
2
◦
установлено
.
Свойства
3
◦
и
4
◦
будут использованы лишь при доказатель
-
стве теоремы
19.5.2.
Установим свойство
3
◦
.
Покажем
,
что
µ
F
(
E
) = 0.
Пусть
ρ >
0
такое число
,
что
U
ρ
(
E
)
⊂
G
.
В качестве
ρ
можно взять
ρ
= 1,
если
G
=
R
2
,
и
ρ
=
1
2
dist
{
E
,
R
2
\
G
}
,
если
G
6
=
R
2
.
В последнем случае
ρ >
0
в силу положительно
-
сти расстояния между двумя замкнутыми непересекающимися
множествами
E
и
R
2
\
G
.
Пусть
ε >
0,
B
ε
=
m
P
1
P
k
—
элементарное множество
,
B
ε
⊃
⊃
E
,
µB
ε
< ε
.
П
-
прямоугольник
(
a, b
]
×
(
c, d
]
будем называть
регулярным
,
если
1
2
(
b
−
a
)
6
d
−
c
6
2(
b
−
a
)
.
Можно считать
,
что в представлении
B
ε
=
m
P
1
P
k
все пря
-
моугольники
P
k
регулярны и
diam
P
k
6
ρ
(
если это не так с
самого начала
,
то каждый из
P
k
можно разбить на регулярные
34
Глава
19.
Кратные интегралы
п
-
прямоугольники с диаметром
,
не превосходящим
ρ
,
и отбро
-
сить те из них
,
которые не пересекаются с
E
).
Тогда
B
ε
⊂
U
ρ
(
E
)
⊂
G.
Пусть
κ
= max
U
ρ
(
E
)
max
{|
x
0
u
|
,
|
x
0
v
|
,
|
y
0
u
|
,
|
y
0
v
|}
.
В силу
(2)
образ каждого из п
-
прямоугольников
P
k
с длиной
меньшей стороны
h
k
содержится в квадрате
2
√
5
κ
h
k
,
так что
µ
∗
F
P
k
6
100
κ
2
µP
k
,
откуда в силу монотонности и полуаддитивности верхней
меры
µ
∗
F
E
6
µ
∗
F
B
ε
6
100
κ
2
µB
ε
6
100
κ
2
ε.
В силу произвольности
ε >
0
µ
F
E
=
µ
∗
F
E
= 0
.
Свойство
4
◦
следует из ограниченности
F
(
E
)
⊂ F
(
E
),
вы
-
текающей из теоремы Вейерштрасса
,
свойств
1
◦
, 3
◦
и критерия
измеримости
.
Теорема
1 (
геометрический смысл модуля якобиана
отображения
).
Пусть
(
u
0
, v
0
)
∈
G
,
h
0
>
0
,
G
⊃
Q
h
B
B
{
(
u, v
) :
u
h
6
u
6
u
h
+
h, v
h
6
v
6
v
h
+
h
} 3
(
u
0
, v
0
)
при всех
h
,
0
< h
6
h
0
.
Тогда
lim
h
→
0+0
µ
F
(
Q
h
)
µQ
h
=
|
J
(
u
0
, v
0
)
|
.
(3)
Доказательство будет дано ниже в виде следствия из тео
-
ремы
19.5.1
о замене переменных в интеграле
.
В конце
§
19.5
будет приведено обобщение теоремы
1
на
n
-
мерный случай
.
Частичное выяснение геометрического смысла модуля якоби
-
ана отображения
(
оценку сверху левой части
(3))
доставляет
Лемма
3.
В условиях теоремы
1
при
h
→
0
µ
F
(
Q
h
)
6
|
J
(
u
0
, v
0
)
|
µQ
h
+
o
(
h
2
)
.
(4)
§
19.4.
Геометрический смысл модуля якобиана отображения
35
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Подчеркнем
,
что точка
(
u
0
, v
0
)
не
-
обязательно является центром
Q
h
.
Отображение
F
дифферен
-
цируемо
,
поэтому
F
:
x
=
x
0
+
a
11
(
u
−
u
0
) +
a
12
(
v
−
v
0
)+
+
ε
1
(
u
−
u
0
, v
−
v
0
)
p
(
u
−
u
0
)
2
+ (
v
−
v
0
)
2
,
y
=
y
0
+
a
21
(
u
−
u
0
) +
a
22
(
v
−
v
0
)+
+
ε
2
(
u
−
u
0
, v
−
v
0
)
p
(
u
−
u
0
)
2
+ (
v
−
v
0
)
2
,
где
a
11
=
x
0
u
(
u
0
, v
0
),
a
12
=
x
0
v
(
u
0
, v
0
),
a
21
=
y
0
u
(
u
0
, v
0
),
a
22
=
=
y
0
v
(
u
0
, v
0
),
ε
i
(
u
−
u
0
, v
−
v
0
)
→
0
при
(
u, v
)
→
(
u
0
, v
0
).
Сравним
F
с линейным отображением
ˆ
F
:
(
x
= ˆ
x
(
u, v
) =
x
0
+
a
11
(
u
−
u
0
) +
a
12
(
v
−
v
0
)
,
y
= ˆ
y
(
u, v
) =
y
0
+
a
21
(
u
−
u
0
) +
a
22
(
v
−
v
0
)
.
Из аналитической геометрии известно
,
что
µ
ˆ
F
(
Q
h
)
µQ
h
=
a
11
a
12
a
21
a
22
=
|
J
(
u
0
, v
0
)
|
.
Сравним параллелограмм
ˆ
F
(
Q
h
)
и криволинейный парал
-
лелограмм
F
(
Q
h
).
Положим
ε
(
h
)
B
sup
|
u
−
u
0
|
6
h
|
v
−
v
0
|
6
h
max
{|
ε
1
|
,
|
ε
2
|}
,
ε
(
h
)
→
0
при
h
→
0
.
Тогда для
(
u, v
)
∈
Q
h
|
x
(
u, v
)
−
ˆ
x
(
u, v
)
|
6
ε
(
h
)
√
2
h,
|
y
(
u, v
)
−
ˆ
y
(
u, v
)
|
6
ε
(
h
)
√
2
h.
Отсюда
,
очевидно
,
следует
,
что
F
(
Q
h
)
⊂
U
3
ε
(
h
)
h
ˆ
F
(
Q
h
)
.
(5)
x
y
0
3
ε
(
h
)
h
3
ε
(
h
)
h
Рис
. 19.2
Поэтому
µ
F
(
Q
h
)
6
µ
∗
U
3
ε
(
h
)
h
ˆ
F
(
Q
h
)
6
6
µ
ˆ
F
(
Q
h
) +
o
(
h
2
) =
=
|
J
(
u
0
, v
0
)
|
h
2
+
o
(
h
2
)
,
и
(4)
установлено
(
рис
. 19.2).