ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 720
Скачиваний: 1
66
Измеряется
тангенциальное
напряжение
в
тех
же
единицах
,
что
и
давле
-
ние
.
Деформация
сдвига
характеризуется
величиной
относительного
сдвига
.
Чтобы
объяснить
,
что
такое
относительный
сдвиг
,
обратимся
к
рис
. 1.
Выберем
какие
-
нибудь
точки
тела
,
лежащие
на
одной
прямой
,
на
-
пример
,
точки
А
и
В
.
При
деформации
сдвига
величины
смещения
вы
-
бранных
точек
АА
и
ВВ
называются
абсолютным
сдвигом
.
Абсолютный
сдвиг
для
различных
точек
различен
(
АА
ВВ
),
но
отношение
каждого
этого
сдвига
к
расстоянию
до
точки
О
будет
одно
и
то
же
:
tg .
AA
BB
OA
OB
γ
′
′
=
=
Если
деформации
малы
,
то
.
tg
γ
γ
≈
Поэтому
можно
сказать
,
что
относи
-
тельный
сдвиг
есть
измеренный
в
радианах
угол
сдвига
.
По
закону
Гука
для
малых
деформаций
относительный
сдвиг
про
-
порционален
тангенциальному
напряжению
,
т
.
е
.
.
γ
σ
τ
G
=
(2)
Величина
G
называется
модулем
сдвига
.
Таким
образом
,
модуль
сдвига
численно
равен
тангенциальному
напряжению
,
которое
возникло
бы
в
твердом
теле
при
относительном
сдвиге
,
равном
единице
.
В
СИ
модуль
сдвига
измеряется
в
Н
/
м
2
(
Па
),
а
в
системе
СГС
–
в
дин
/
см
2
.
В
данной
лабораторной
работе
модуль
сдвига
оп
-
ределяется
косвенно
–
из
деформации
кручения
.
Рас
-
смотрим
более
подробно
этот
вид
деформации
и
ее
связь
с
деформацией
сдвига
.
Деформация
кручения
возникает
в
образце
(
стержне
,
проволоке
и
т
.
п
.),
если
одно
сечение
образца
закреплено
неподвижно
,
а
во
втором
действуют
две
равные
по
модулю
и
противоположные
по
направле
-
нию
касательные
силы
(
пара
сил
),
момент
M
G
которых
относительно
центра
этого
сечения
направлен
по
оси
образца
(
рис
. 2).
Под
действием
крутящего
момента
M
G
все
попе
-
речные
сечения
стержня
,
изображенного
на
рис
. 2,
поворачиваются
вокруг
оси
ОО
на
некоторые
углы
,
тем
большие
по
величине
,
чем
дальше
эти
сечения
расположены
от
сечения
,
закрепленного
непод
-
вижно
.
Угол
поворота
верхнего
сечения
называют
углом
кручения
.
В
ре
-
зультате
деформации
кручения
возникает
перекос
на
угол
образующих
цилиндрической
поверхности
стержня
.
По
закону
Гука
угол
кручения
связан
с
моментом
M
G
соотношением
,
ϕ
N
M
=
(3)
где
N
–
модуль
кручения
,
который
показывает
,
какой
момент
нужно
при
-
ложить
,
чтобы
закрутить
стержень
на
угол
в
один
радиан
.
Найдем
теперь
M
G
L
0
0`
r
φ
γ
B
Рис
.2
67
связь
между
модулем
сдвига
и
модулем
кручения
.
Для
этого
предположим
,
что
стержень
с
радиусом
r
и
длиной
L
из
материала
,
модуль
сдвига
которо
-
го
G,
закручен
под
действием
момента
M
G
на
угол
(
см
.
рис
. 2).
Это
озна
-
чает
,
что
верхнее
основание
повернуто
относительно
нижнего
на
угол
.
Вырежем
из
стержня
диск
малой
высоты
dL
и
положим
,
что
нижнее
осно
-
вание
этого
диска
при
закручивании
повернулось
на
угол
,
а
верхнее
–
на
угол
+ d .
Из
этого
диска
вырежем
кольцо
с
внутренним
радиусом
r
и
внешним
r + dr
(
рис
. 3
а
).
Все
кубики
,
вырезанные
из
такого
кольца
(
рис
. 3
в
),
будут
иметь
одинако
-
вую
деформацию
сдвига
на
один
и
тот
же
угол
.
Таким
образом
,
дефор
-
мация
кручения
свелась
к
деформации
сдвига
.
Из
рис
. 3
а
видно
,
что
ϕ
γ
rd
dL
=
или
.
dL
d
r
ϕ
γ
=
(4)
Определим
теперь
упругую
касатель
-
ную
силу
,
дейст
-
вующую
на
поверх
-
ность
кольца
,
площадь
которого
rdr
dS
π
2
=
.
Согласно
(1)
и
(2),
.
2
rdr
G
dS
G
dS
dF
γ
π
γ
σ
τ
τ
=
=
=
С
другой
стороны
,
элементарный
момент
dM
равен
.
2
2
dr
r
G
rdF
dM
γ
π
τ
=
=
Тогда
для
всего
стержня
полный
момент
М
равен
∫
∫
∫
=
=
=
r
r
r
dr
r
dL
d
G
dr
r
G
dM
M
0
0
0
3
2
2
2
ϕ
π
γ
π
.
После
интегрирования
получим
:
4
2
4
r
dL
d
G
M
ϕ
π
=
.
Очевидно
,
что
для
одно
-
родного
стержня
L
dL
d
ϕ
ϕ
=
.
Тогда
ϕ
π
ϕ
π
L
G
Д
L
r
G
M
32
2
4
4
=
=
, (5)
где
Д
=2r -
диаметр
стержня
.
Подставляя
(5)
в
(3),
получим
соотношение
между
модулем
круче
-
ния
N
и
модулем
сдвига
G:
L
G
Д
N
32
4
π
=
. (6)
Описание
установки
и
вывод
расчетной
формулы
Экспериментальная
установка
состоит
из
длинной
вертикально
ви
-
сящей
проволоки
,
к
нижнему
концу
которой
прикреплен
горизонтальный
металлический
стержень
с
двумя
симметрично
расположенными
грузами
(
рис
. 4).
Их
положение
на
стержне
можно
фиксировать
.
Верхний
конец
проволоки
зажат
в
цангу
кронштейна
и
с
помощью
специального
приспо
-
r
dL
d
φ
γ
а
dL
γ
dr
б
Рис
. 3
68
собления
вместе
с
цангой
может
поворачиваться
вокруг
вертикальной
оси
.
Таким
образом
,
в
системе
можно
возбуждать
крутильные
колебания
.
К
данной
системе
может
быть
применен
основной
закон
динамики
враща
-
тельного
движения
2
2
dt
d
J
M
ϕ
=
, (7)
где
М
–
вращающий
момент
относительно
оси
ОО
, J –
мо
-
мент
инерции
стержня
с
гру
-
зами
относительно
той
же
оси
,
–
угол
поворота
стержня
.
Если
амплитуда
коле
-
баний
невелика
,
то
для
опре
-
деления
момента
сил
М
мож
-
но
воспользоваться
законом
Гука
в
форме
(3).
Вращаю
-
щий
момент
М
в
этом
случае
вызван
деформацией
проволоки
и
стремится
уменьшить
,
а
не
увеличить
угол
.
Поэтому
в
формуле
(3)
необходимо
пе
-
ременить
знак
.
Тогда
после
подстановки
(3)
формула
(7)
приобретает
вид
ϕ
ϕ
N
dt
d
J
−
=
=
2
2
или
0
2
2
2
=
+
ϕ
ω
ϕ
dt
d
, (8)
где
J
N
=
2
ω
.
Из
уравнения
(8)
видно
,
что
в
рассматриваемом
движении
ус
-
корение
2
2
dt
d
ϕ
пропорционально
смещению
и
направлено
противополож
-
но
ему
,
а
это
есть
существенный
признак
гармонического
колебательного
движения
.
Решением
уравнения
(8),
как
известно
,
является
периодическая
функция
,
изменяющаяся
по
закону
синуса
или
косинуса
.
Таким
образом
,
является
циклической
частотой
крутильных
коле
-
баний
стержня
,
период
которых
Т
равен
N
J
T
π
ω
π
2
2
=
=
, (9)
где
J –
момент
инерции
всей
системы
.
Момент
инерции
крутильного
маят
-
ника
J
складывается
из
момента
инерции
стержня
J
о
и
момента
инерции
двух
грузов
2
2
A
m
относительно
оси
вращения
системы
.
Тогда
для
двух
положений
грузов
1–1
и
2–2 (
см
.
рис
. 4)
имеем
:
2
2
1
2
1
2
2
2
2
и
2
o
o
J
m
J
m
T
T
N
N
π
π
+
+
=
=
A
A
. (10)
Исключая
из
этих
формул
J
o
,
находим
N:
(
)
2
2
2
1
2
2
2
1
2
8
T
T
m
N
−
−
=
A
A
π
. (11)
Сравнивая
(6)
и
(11),
получим
формулу
для
определения
модуля
сдвига
G:
2 1
1
1
A
2
0`
1
A
2
A
2
A
m
m
m
m
Рис
. 4
69
(
)
(
)
2
2
2
1
4
2
2
2
1
256
T
T
Д
Lm
G
−
−
=
A
A
π
. 12)
Выполнение
работы
1.
Устанавливают
грузы
в
положения
1–1,
приводят
систему
в
крутиль
-
ные
колебания
,
избегая
маятникообразных
качаний
в
сторону
,
и
,
пропустив
2–3
колебания
,
по
секундомеру
определяют
не
менее
3-
х
раз
время
30–50
пол
-
ных
колебаний
системы
,
наблюдая
прохождение
зайчика
от
зеркальца
через
вертикальную
черту
на
задней
стенке
ящика
.
Число
колебаний
n
указывается
преподавателем
.
Вычисляют
период
колебаний
n
t
T
/
1
1
=
.
2.
Переместив
грузы
в
положения
2–2,
определяют
период
колеба
-
ний
Т
2
.
3.
С
помощью
микрометра
измеряют
в
нескольких
местах
диаметр
проволоки
.
4.
С
помощью
линейки
определяют
расстояние
между
грузами
1
2
A
и
2
2
A
.
5.
Все
данные
заносят
в
таблицу
и
по
формуле
(2)
находят
модуль
сдвига
материала
проволоки
.
Для
данной
установки
L = (131 0,1)
см
и
m = (270 0,1)
г
.
№
n/n
Д
,
мм
n
1
2
A
,
мм
t
1
,
c
Т
1
,
с
2
2
A
,
мм
t
2
,
c
T
2
,
c
G,
Н
/
м
2
G,
Н
/
м
2
%
100
G
G
Δ
1
2
3
Ср
.
Контрольные
вопросы
1.
Что
называется
деформацией
сдвига
?
Кручения
?
2.
Запишите
закон
Гука
для
этих
видов
деформаций
.
3.
От
чего
зависит
величина
модуля
сдвига
?
Единица
его
измерения
?
4.
Объясните
,
как
деформацию
кручения
можно
свести
к
деформа
-
ции
сдвига
?
5.
От
чего
зависит
период
крутильных
колебаний
?
6.
РАБОТА
№
11
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
КОЭФФИЦИЕНТА
ВЯЗКОСТИ
ЖИДКОСТИ
ПО
МЕТОДУ
СТОКСА
Принадлежности
:
стеклянный
сосуд
,
наполненный
вязкой
жидко
-
стью
,
шарики
из
свинца
,
секундомер
,
измерительный
микроскоп
,
мас
-
штабная
линейка
.
70
Краткая
теория
Реальная
жидкость
,
в
отличие
от
идеальной
,
обладает
вязкостью
(
внутренним
трением
),
обусловленной
сцеплением
(
взаимодействием
)
ме
-
жду
ее
молекулами
.
При
движении
жидкости
между
ее
слоями
возникают
силы
внутреннего
трения
,
действующие
таким
образом
,
чтобы
уравнять
скорости
всех
слоев
.
Природа
этих
сил
заключается
в
том
,
что
слои
,
дви
-
жущиеся
с
разными
скоростями
,
обмениваются
молекулами
.
Молекулы
из
более
быстрого
слоя
передают
более
медленному
некоторое
количество
движения
,
вследствие
чего
последний
начинает
двигаться
быстрее
.
Моле
-
кулы
из
более
медленного
слоя
получают
в
быстром
слое
некоторое
коли
-
чество
движения
(
или
импульса
),
что
приводит
к
его
торможению
.
Таким
образом
,
при
переносе
импульса
от
слоя
к
слою
происходит
изменение
импульса
этих
слоев
(
уве
-
личение
или
уменьшение
).
Это
зна
-
чит
,
что
на
каждый
из
этих
слоев
действует
сила
,
равная
изменению
импульса
в
единицу
времени
(
второй
закон
Ньютона
).
Эта
сила
называется
силой
трения
между
слоями
жидко
-
сти
,
движущимися
с
различными
скоростями
(
внутреннее
трение
).
Рассмотрим
жидкость
,
движущуюся
в
направлении
оси
Х
(
рис
. 1).
Пусть
слои
жидкости
движутся
с
разными
скоростями
.
На
оси
Z
возьмем
две
точки
,
находящиеся
на
расстоянии
dz.
Скорости
потока
отличаются
в
этих
точках
на
величину
dx
.
Отношение
dz
d
υ
называется
градиентом
скоро
-
сти
–
векторная
величина
,
численно
равная
изменению
скорости
на
едини
-
цу
длины
в
направлении
,
перпендикулярном
скорости
,
и
направленная
в
сторону
возрастания
скорости
.
Сила
внутреннего
трения
(
вязкости
)
по
Ньютону
,
действующая
меж
-
ду
двумя
слоями
жидкости
,
пропорциональна
площади
соприкасающихся
слоев
Δ
S
и
градиенту
скорости
:
F
=
–
dz
d
υ
η
Δ
S. (1)
Знак
минус
означает
,
что
импульс
движения
переносится
в
направлении
уменьшения
скорости
,
η
–
коэффициент
внутреннего
трения
,
или
коэффициент
вязкости
.
Иногда
коэффициент
вязкости
η
,
определяемый
формулой
(1),
называют
коэффициентом
динамической
вязкости
в
отличие
от
кэффициента
кинематической
вязкости
,
равного
отношению
η
/
ρ
,
где
ρ
–
плотность
жидкости
.
Физический
смысл
коэффициента
вязкости
η
заключается
в
том
,
что
он
численно
равен
силе
внутреннего
трения
,
возникающей
на
единице
Z
X
Y
dZ
υ
υ
d
+
υ
Δ
S
Рис
. 1