ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 722
Скачиваний: 1
41
РАБОТА
№
5–1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
МОМЕНТОВ
ИНЕРЦИИ
ТВЕРДЫХ
ТЕЛ
ПРИ
ПОМОЩИ
КРУТИЛЬНЫХ
КОЛЕБАНИЙ
Приборы
и
принадлежности
:
крутильный
маятник
,
набор
тел
.
Описание
установки
Общий
вид
крутильного
маятника
показан
на
рис
. 1.
Крутильный
маятник
состоит
из
рамки
1,
подвешенной
с
помощью
стальной
проволоки
2
к
кронштейнам
3
и
4.
На
кронштейне
5
закреплена
стальная
плита
,
которая
служит
основанием
фотоэлектрическому
датчику
7
и
угловой
шкале
8.
Элек
-
тромагнит
7
может
изменять
положение
на
плите
,
а
его
положение
относи
-
тельно
фотоэлектрического
датчика
указывает
по
угло
-
вой
шкале
стрелка
9,
притя
-
гиваемая
к
электромагниту
.
Фотоэлектрический
датчик
и
электромагнит
соединены
электронным
секундомером
11.
Конструкция
рамки
позволяет
закреплять
ис
-
следуемые
тела
10,
значи
-
тельно
отличающиеся
друг
от
друга
по
внешним
раз
-
мерам
.
Тела
крепятся
при
помощи
подвижной
балки
12,
которая
перемеща
-
ется
по
направляющим
между
неподвижными
балками
.
Подвижная
балка
закрепляется
путем
затягивания
гаек
на
зажимных
втулках
.
Описание
метода
определения
моментов
инерции
твердых
тел
При
отклонении
рамки
от
положения
равновесия
возникает
момент
сил
упругости
(
кручения
)
проволоки
,
пропорциональной
по
закону
Гука
углу
закручивания
и
направленный
в
противоположную
сторону
:
M= k
, (1)
где
k
–
коэффициент
упругости
проволоки
.
Тормозящим
моментом
сил
трения
,
который
будет
в
нашем
случае
мал
по
сравнению
с
моментом
уп
-
ругости
,
можно
пренебречь
.
Таким
образом
,
основной
закон
динамики
для
возникших
крутиль
-
ных
колебаний
M = J
с
учетом
формулы
углового
ускорения
β
α
=
2
2
dt
d
запишется
следующим
образом
:
α
α
k
dt
d
J
−
=
2
2
или
0
2
2
=
+
α
α
k
dt
d
J
, (2)
3
5
4
7
10
Рис
. 1
11
1
2
4
6
8
121
9
10
3
42
где
2
2
d
dt
α
–
угловое
ускорение
,
а
J
–
момент
инерции
рамки
.
Уравнение
(2)
представляет
собой
дифференциальное
уравнение
гармони
-
ческих
колебаний
.
Решением
его
,
как
известно
,
является
функция
(
)
ϕ
ω
α
α
+
=
t
cos
0
,
(3)
где
0
–
амплитуда
, –
собственная
циклическая
частота
, –
начальная
фаза
колебаний
.
Частота
может
быть
найдена
подстановкой
решения
(3)
в
уравнение
(2):
J
k
=
ω
. (4)
Тогда
период
колебаний
Т
будет
равен
:
k
J
T
π
ω
π
2
2
=
=
. (5)
Таким
образом
,
нахождение
моментов
инерции
тел
можно
свести
к
определению
периода
крутильных
колебаний
при
известном
коэффициен
-
те
упругости
проволоки
k
.
Обозначим
через
J
k
момент
инерции
исследуемого
тела
.
Если
коэф
-
фициент
упругости
k
неизвестен
,
то
найти
J
k
,
определив
период
колеба
-
ний
Т
эт
,
некоторого
эталонного
тела
,
имеющего
известный
момент
инер
-
ции
J
эт
.
В
качестве
эталонного
тела
можно
взять
любое
тело
,
имеющее
правильные
геометрические
размеры
,
момент
инерции
которого
легко
рас
-
считывается
по
известным
формулам
(
см
.
главу
5,
рис
. 5).
Итак
,
обозначим
через
J
0
момент
инерции
ненагруженной
рамки
.
Тогда
период
ее
колебаний
будет
равен
k
J
T
0
0
2
π
=
, (6)
а
период
колебаний
рамки
с
эталонным
телом
:
k
J
J
T
эт
0
эт
2
+
=
π
. (7)
Очевидно
,
что
период
колебания
рамки
с
исследуемым
телом
k
J
J
T
х
0
х
2
+
=
π
.
(8)
Исключая
из
(6–8)
коэффициент
k
,
получим
формулу
для
определе
-
ния
момента
инерции
исследуемого
тела
:
2
0
2
эт
2
0
2
эт
T
T
T
T
J
J
x
x
−
−
=
.
(9)
Выполнение
работы
1.
Подключить
прибор
к
сети
.
По
очереди
нажать
кнопки
«
сеть
»
и
«
сброс
».
На
цифровом
табло
должны
высвечиваться
нули
.
2.
Отклонить
рамку
прибора
таким
образом
,
чтобы
стрелка
9
при
-
близилась
к
сердечнику
электромагнита
7,
который
зафиксирует
рамку
в
заданном
положении
.
Положение
электромагнита
задается
преподавателем
.
43
3.
Нажать
кнопку
«
пуск
».
При
этом
освобожденная
рамка
начнет
со
-
вершать
крутильные
колебания
.
На
цифровом
табло
будет
высвечиваться
число
полных
колебаний
n
и
соответствующее
им
время
колебаний
.
После
завершения
10–20
колебаний
нажать
кнопку
«
стоп
».
Записать
соответст
-
вующие
показания
n
и
t
.
По
формуле
T
0
= t/n
определить
период
колеба
-
ний
ненагруженной
рамки
.
Измерения
проделать
не
менее
трех
раз
и
найти
среднее
значение
T
0
.
4.
Поместить
эталонное
тело
между
неподвижной
и
подвижной
бал
-
ками
рамки
.
Затягивая
гайки
12
на
зажимных
втулках
,
проверить
надеж
-
ность
крепления
эталонного
тела
.
В
нашей
работе
в
качестве
эталонных
тел
используются
сплошные
металлические
цилиндры
,
момент
инерции
которых
относительно
оси
цилиндра
равен
2
2
1
mr
J
эт
=
,
где
m
–
масса
ци
-
линдра
.
Масса
эталонных
тел
указана
с
точностью
m =
0.1
г
,
а
геометри
-
ческие
размеры
цилиндра
измеряются
штангенциркулем
.
Тогда
окончательная
расчетная
формула
для
определения
момента
инерции
будет
иметь
следующий
вид
:
2
0
2
2
0
2
2
2
1
T
T
T
T
mr
J
эт
x
x
−
−
=
. (10)
5.
Повторяя
последовательно
пункты
1, 2, 3,
определить
период
ко
-
лебаний
Т
эт
рамки
с
эталонным
телом
.
6.
Заменить
в
рамке
эталонное
тело
на
тело
с
неизвестным
моментом
инерции
(
по
указанию
преподавателя
)
и
в
соответствии
с
п
. 5
определить
период
колебаний
Т
х
рамки
с
телом
,
момент
инерции
которого
необходимо
определить
.
7.
По
формуле
(10)
определить
неизвестный
момент
инерции
,
под
-
ставив
в
нее
значения
Т
0
,
Т
эт
,
Т
х
и
рассчитанное
значение
J
эт
.
8.
Определить
моменты
инерции
того
же
тела
относительно
других
осей
вращения
,
для
чего
поменять
положение
тела
в
рамке
и
повторить
п
. 6
и
7.
9.
Для
одного
из
полученных
неизвестных
моментов
инерции
необ
-
ходимо
оценить
абсолютную
и
относительную
погрешности
измерений
.
Контрольные
вопросы
1.
Что
называется
моментом
инерции
тела
относительно
оси
враще
-
ния
?
В
каких
единицах
измеряется
момент
инерции
?
2.
Может
ли
твердое
тело
иметь
несколько
моментов
инерции
?
3.
Как
связаны
между
собой
момент
силы
и
момент
инерции
тела
?
4.
Каким
образом
объясняется
вращение
фигуристов
в
пируэте
?
РАБОТА
№
5–2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
МОМЕНТОВ
ИНЕРЦИИ
ТВЕРДЫХ
ТЕЛ
С
ПОМОЩЬЮ
МАЯТНИКА
МАКСВЕЛЛА
Приборы
и
принадлежности
:
установка
с
маятником
Максвелла
и
электронным
блоком
управления
,
набор
сменных
колец
.
44
Описание
установки
и
метода
измерений
Маятник
Максвелла
представляет
собой
массивный
диск
(
маховик
),
насаженный
на
вал
(
рис
. 1).
Диск
подвешен
на
двух
тонких
нерастяжимых
нитях
,
наматываемых
на
вал
,
а
на
этот
диск
наде
-
ваются
толстостенные
металлические
кольца
.
При
раскручивании
нитей
маятник
опускается
под
действием
силы
тяжести
с
постоянным
уско
-
рением
a,
совершая
одновременно
вращательное
и
поступательное
движения
.
Как
известно
,
закон
сохранения
механиче
-
ской
энергии
для
тела
массы
m,
одновременно
вращающегося
с
угловой
скоростью
и
движущегося
поступательно
со
скоростью
,
имеет
вид
:
const
П
W
W
пост
вр
=
+
+
, (1)
где
П
= mgh –
потенциальная
энергия
тела
массы
m,
поднятого
на
высоту
h
в
поле
силы
тяжести
;
2
2
ω
J
W
вр
=
–
кинетическая
энергия
вращающегося
тела
,
где
J –
момент
инерции
этого
тела
;
2
2
ϑ
m
W
пост
=
–
кинетическая
энергия
тела
,
движущегося
поступательно
.
Обозначая
натяжение
каждой
нити
через
Т
/2,
можно
записать
уравне
-
ния
основного
закона
динамики
для
этих
двух
движений
:
ma
T
mg
=
−
и
β
J
d
T
=
2
, (2)
где
m
–
масса
маятника
, g –
ускорение
свободного
падения
, –
угловое
ус
-
корение
маятника
, d –
диаметр
вала
.
Выражение
2
d
T
представляет
собой
момент
силы
относительно
вала
.
Из
кинематики
вращательного
движения
известно
,
что
угловое
уско
-
рение
связано
с
линейным
ускорением
a
соотношением
a = r (
для
наше
-
го
случая
2
d
r
=
–
радиус
вала
).
Очевидно
,
что
при
раскручивании
нитей
маятник
будет
опускаться
с
некоторой
высоты
h
по
закону
кинематики
равноускоренного
движения
2
1
.
2
h
a t
=
(3)
Исключая
из
системы
(2) T,
учитывая
связь
между
величинами
a
и
,
а
также
уравнение
(3),
получим
формулу
для
определения
момента
маятника
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
1
2
4
2
2
h
gt
md
J
,
где
t –
время
падения
маятника
с
высоты
h.
Поскольку
h
gt
2
2
>>1,
то
h
gt
md
J
8
2
2
≈
.
(4)
Рис
. 1
45
Таким
образом
,
для
нахождения
момента
инерции
маятника
нужно
измерить
время
его
падения
t
с
определенной
высоты
h.
Схема
экспериментальной
установки
изображена
на
рис
. 2.
Подвес
маятника
смонтирован
на
вертикальной
стойке
1,
на
которой
закреплены
два
кронштейна
–
верхний
2
и
нижний
3
с
фотоэлектрическими
датчиками
.
В
верхнем
положении
маятник
удерживается
электромагнитом
4.
Указа
-
тель
на
нижнем
кронштейне
позволяет
измерить
высоту
,
с
которой
падает
маятник
,
по
миллиметровой
шкале
на
стойке
прибора
.
Время
падения
ма
-
ятника
измеряется
электронным
секундомером
,
находящимся
в
блоке
управления
5.
Измерения
моментов
инерции
проводятся
с
тремя
кольцами
,
надеваемыми
на
диск
маятника
.
Выполнение
работы
1.
Надеть
на
диск
одно
из
колец
.
В
нижнем
положении
маятник
с
кольцом
должен
быть
примерно
на
2
мм
ниже
оси
фотоэлектрического
датчика
(
перекрывать
его
).
Высота
падения
h
указыва
-
ется
преподавателем
.
2.
После
включения
установки
в
сеть
нажать
на
клавишу
«
СЕТЬ
»,
при
этом
на
табло
электронного
се
-
кундомера
должны
высвечиваться
нули
.
При
отжатой
клавише
«
ПУСК
»
намотать
равномерно
на
вал
маятни
-
ка
нить
,
виток
к
витку
.
В
верхнем
положении
маятник
должен
удерживаться
электромагнитом
.
3.
При
нажатии
на
клавишу
«
ПУСК
»,
маятник
начнет
двигаться
вниз
.
После
окончания
падения
се
-
кундомер
выключается
автоматически
.
Показания
се
-
кундомера
следует
занести
в
таблицу
.
4.
Для
проведения
измерений
с
другим
кольцом
нужно
отжать
клавишу
«
ПУСК
»
и
нажать
на
клавишу
«
СБРОС
»,
при
этом
секундомер
обнуляется
.
С
каждым
кольцом
необходимо
провести
не
менее
пяти
измерений
и
найти
среднее
значение
времени
падения
маятника
.
5.
По
формуле
(4)
рассчитать
момент
инерции
J
системы
с
каждым
кольцом
.
В
нашем
случае
масса
маятника
равна
сумме
масс
вала
,
диска
и
кольца
,
т
.
е
. m = m
в
+ m
д
+ m
к
.
Их
величины
Диаметр
вала
d=(10
±
0,1)
мм
.
6.
Измеренные
значения
моментов
инерции
маятника
сравнить
с
теоретическими
,
рассчитанными
исходя
из
того
,
что
элементы
маятника
–
вал
,
диск
и
кольца
–
считаются
телами
простой
геометрической
формы
(
см
.
рис
. 5).
Внутренний
и
внешний
диаметры
колец
соответственно
равны
(86
±
0,1)
мм
и
(105
±
0,1)
мм
.
Очевидно
,
что
диаметр
диска
равен
внутрен
-
нему
диаметру
колец
.
7.
Для
одного
из
измеренных
моментов
инерции
необходимо
оце
-
нить
абсолютную
и
относительную
погрешность
измерений
.
Рис
.2