ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 706
Скачиваний: 5
046.png)
– амплитуда колебаний. Т.е. все точки струны колеблются в оди-
наковой фазе, но с разными амплитудами. Такое движение стру-
ны представляет из себя стоячую волну. Точки, у которых ампли-
туда колебаний равна нулю называются узлами стоячей волны,
точки у которых амплитуда максимальная – пучности стоячей
волны. Частоты колебаний всех точек струны одинаковы и равны
ω
n
=
πn
l
a
(93)
и носят название собственных частот колебаний струны.
Самая низкая частота (
n
= 1
) или самый низкий тон называется
основным тоном струны:
ω
1
=
π
l
a ,
(94)
остальные тона, соответствующие частотам, кратным
ω
1
, называ-
ются обертонами.
46
047.png)
Вынужденные колебания струны
Метод разделения переменных позволяет решить задачу о вы-
нужденных колебаниях струны, уравнение которых имеет вид:
a
2
u
xx
+
f
(
x, t
) =
u
tt
(95)
Начальные и краевые условия:
u
(0
, t
) = 0
,
u
(
l, t
) = 0
(96)
u
(
x,
0) =
ϕ
(
x
)
,
u
t
(
x,
0) =
ψ
(
x
)
.
(97)
Будем искать решение в виде суммы двух функций
u
(
x, t
) =
v
(
x, t
) +
w
(
x, t
)
При этом функция
v
(
x, t
)
будет решением однородного уравнения
a
2
v
xx
=
v
tt
с начальными и краевыми условиями
v
(0
, t
) = 0
,
v
(
l, t
) = 0
(98)
47
048.png)
v
(
x,
0) =
ϕ
(
x
)
,
v
t
(
x,
0) =
ψ
(
x
)
.
(99)
а функция
w
(
x, t
)
должна удовлетворять неоднородному уравне-
нию
a
2
w
xx
+
f
(
x, t
) =
w
tt
(100)
с нулевыми начальными и граничными условиями
w
(0
, t
) =
w
(
l, t
) = 0
w
(
x,
0) =
w
t
(
x,
0) = 0
Функция
v
(
x, t
)
описывает свободные колебания струны, проис-
ходящие вследствие начального возмущения,
w
(
x, t
)
– вынужден-
ные колебания без начальных возмущений. Решение
v
(
x, t
)
нам
уже известно.
w
(
x, t
)
будем искать в виде ряда по собственным
функциям однородной задачи:
w
(
x, t
) =
∞
X
k
=1
γ
k
(
t
) sin
πk
l
x
(101)
48
049.png)
Очевидно, что при таком выборе решения граничные условия удо-
влетворяются автоматически. Для того, чтобы удовлетворить на-
чальным условиям, надо потребовать
γ
k
(0) =
γ
0
k
(0) = 0
Перепишем уравнение (100) в виде
w
tt
−
a
2
w
xx
=
f
(
x, t
)
(102)
и подставляя сюда (101) получаем
∞
X
k
=1
"
γ
00
(
t
) +
π
2
k
2
a
2
l
2
γ
k
(
t
)
#
sin
πk
l
x
=
f
(
x, t
)
(103)
Разлагая функцию
f
(
x, t
)
в ряд по той же системе функций, по-
лучим
f
(
x, t
) =
∞
X
k
=1
β
k
(
t
) sin
πk
l
x
(104)
49
050.png)
где
β
k
(
t
) =
2
l
l
Z
0
f
(
x, t
) sin
πk
l
x dx
(105)
Подставляя (104) в (102) и приравнивая коэффициенты при оди-
наковых собственных функциях получим обыкновенные диффе-
ренциальные уравнения для нахождения неизвестных функций
γ
k
(
t
)
:
γ
00
k
(
t
) +
π
2
k
2
a
2
l
2
γ
k
(
t
) =
β
k
(
t
)
(106)
Общее решение этого неоднородного уравнения представляется в
виде сумму общего решения однородного уравнения и частного
решения неоднородного уравнения:
γ
k
(
t
) =
A
k
cos
πka
l
t
+
B
k
sin
πka
l
t
+
γ
но
k
(
t
)
(107)
50