ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 709
Скачиваний: 5
051.png)
3.5
Колебания прямоугольной мембраны
51
052.png)
Рассмотрим мембрану, имеющую в состоянии покоя форму пря-
моугольника, ограниченного прямыми
x
= 0
,
x
=
l
,
y
= 0
,
y
=
m
.
Уравнение колебаний мембраны
u
tt
=
a
2
(
u
xx
+
u
yy
)
,
(108)
начальные условия
u
(
x, y,
0) =
f
(
x, y
)
,
(109)
u
t
(
x, y,
0) =
F
(
x, y
)
,
(110)
граничные условия
u
(0
, y, t
) = 0
,
u
(
l, y, t
) = 0
,
u
(
x,
0
, t
) = 0
,
u
(
x, m, t
) = 0
.
(111)
Будем решать задачу методом Фурье. Для этого будем искать
решение в виде произведения трех функций, каждая из которых
зависит только от одного аргумента:
u
(
x, y, t
) =
X
(
x
)
Y
(
y
)
T
(
t
)
.
(112)
52
053.png)
Из граничных условий (111) следует
X
(0) = 0
,
X
(
l
) = 0
,
Y
(0) = 0
,
Y
(
m
) = 0
.
(113)
Подставляя (112) в (108), получим
XY T
00
=
a
2
(
X
00
Y T
+
XY
00
T
)
.
Разделяя переменные, находим
T
00
a
2
T
=
X
00
X
+
Y
00
Y
.
Анализируя последнее равенство, заключаем
X
00
X
=
−
λ
2
,
Y
00
Y
=
−
µ
2
,
T
00
T
=
−
(
λ
2
+
µ
2
)
(114)
В результате, для функции
X
(
x
)
получаем
X
00
+
λ
2
X
= 0
,
X
(0) =
X
(
l
) = 0
,
(115)
для функции
Y
(
y
)
Y
00
+
µ
2
Y
= 0
,
Y
(0) =
Y
(
m
) = 0
,
(116)
53
054.png)
для функции
T
(
t
)
T
00
+
a
2
(
λ
2
+
µ
2
)
T
= 0
.
(117)
Решение (115) имеет вид
X
(
x
) =
C
1
cos
λx
+
C
2
sin
λx,
(118)
решение (3.5) имеет вид
Y
(
y
) =
D
1
cos
µy
+
D
2
sin
µy.
(119)
Из краевого условия
X
(0) =
X
(
l
) = 0
находим С
1
= 0
и
λl
=
πk,
где
k
– целое число.
Аналогично, из
Y
(0) =
Y
(
m
) = 0
находим
D
1
= 0
и
µm
=
πn,
где
n
– целое число.
В результате получаем собственные числа и собственные функции
λ
k
=
πk
l
,
X
k
(
x
) = sin
πkx
l
,
(120)
µ
n
=
πn
m
,
Y
n
(
y
) = sin
πny
m
.
(121)
54
055.png)
Уравнение для функции
T
(
t
)
принимает вид:
T
00
+
π
2
a
2
k
2
l
2
+
n
2
m
2
!
T
(
t
) = 0
.
(122)
Решение этого уравнения, зависящее от двух параметров
k
и
n
,
имеет вид:
T
kn
(
t
) =
a
kn
cos
ω
kn
t
+
b
kn
sin
ω
kn
t.
(123)
Здесь
ω
kn
=
πa
s
k
2
l
2
+
n
2
m
2
(124)
– собственные частоты колебаний мембраны.
Таким образом, частное решение уравнения колебаний прямо-
угольной мембраны имеет вид
u
kn
(
x, y, t
) = (
a
kn
cos
ω
kn
t
+
b
kn
sin
ω
kn
t
) sin
λ
k
x
sin
µ
n
y
(125)
55