ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 704
Скачиваний: 5
036.png)
Будем искать решение в виде произведения функции зависящей
только от
x
и только от
t
:
u
(
x, t
) =
X
(
x
)
T
(
t
)
(73)
Подставляя (73) в (70) получаем
X
00
T
=
1
a
2
T
00
X
Разделим левую и правую часть нашего равенства на произведе-
ние
XT
:
X
00
X
=
1
a
2
T
00
T
(74)
В (74) левая часть является функцией только
x
, правая часть –
только
t
, причем оно должно выполняться во всей области значе-
ний переменных. Это возможно только в том случае если правая
и левая часть равны некой константе:
X
00
X
=
1
a
2
T
00
T
=
−
λ
(75)
36
037.png)
В результате получаем ОДУ для нахождения неизвестных функ-
ций
X
и
T
:
X
00
+
λX
= 0
(76)
T
00
+
a
2
λT
= 0
(77)
Из граничных условий
u
(0
, t
) =
X
(0)
T
(
t
) = 0
⇒
X
(0) = 0
u
(
l, t
) =
X
(
l
)
T
(
t
) = 0
⇒
X
(
l
) = 0
Таким образом для нахождения функции
X
(
x
)
мы получили за-
дачу на собственные функции и собственные значения (задачу
Штурма-Лиувилля):
найти значения параметра
λ
(собственные значения), при кото-
рых существуют нетривиальные решения задачи
X
00
+
λX
= 0
(78)
X
(0) =
X
(
l
) = 0
37
038.png)
а также соответствующие им решения – собственные функции.
Рассмотрим возможные значения параметра
λ
.
1.
λ <
0
В этом случае общее решение уравнения (78) ищем в виде:
X
=
Ce
αx
Тогда:
X
0
=
Cαe
αx
X
00
=
Cα
2
e
αx
Подставляем в (78):
Cα
2
e
αx
+
λCe
αx
= 0
Отсюда
α
2
+
λ
= 0
α
=
±
√
−
λ
И в результате общее решение имеет вид
X
(
x
) =
C
1
e
√
−
λx
+
C
2
e
−
√
−
λx
38
039.png)
Из граничных условий
X
(0) =
C
1
+
C
2
= 0
X
(
l
) =
C
1
e
√
−
λl
+
C
2
e
−
√
−
λl
=
C
1
e
β
+
C
2
e
−
β
= 0
Из первого уравнения находим
C
1
=
−
C
2
, подставляем во второе
C
1
(
e
β
−
e
−
β
) = 0
Отсюда получаем
C
1
= 0
, тогда и
C
2
= 0
.
Таким образом, мы показали, что при
λ <
0
задача не имеет
нетривиальных решений.
2.
λ
= 0
. В этом случае тоже не возникает нетривиальных ре-
шений.
Упражнение. Доказать, что при
λ
= 0
рассматриваемая задача
не имеет нетривиальных решений.
3.
λ >
0
. В этом случае общее решение имеет вид
X
(
x
) =
D
1
cos
√
λx
+
D
2
sin
√
λx
39
040.png)
Из граничных условий находим
X
(0) =
D
1
= 0
X
(
l
) =
D
2
sin
√
λl
= 0
Отсюда
sin
√
λl
= 0
√
λ
=
πn
l
где
n
любое целое число.
Таким образом нетривиальные решения нашей задачи возмож-
ны лишь при значениях
λ
n
=
πn
l
2
Таким образом, мы нашли собственные значения, им будут соот-
ветствовать собственные функции
X
n
(
x
) =
D
n
sin
πn
l
x.
40