ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 710
Скачиваний: 5
056.png)
Оно может быть приведено к виду
u
kn
(
x, y, t
) =
F
kn
sin(
ω
kn
t
+
ϕ
kn
) sin
λ
k
x
sin
µ
n
y,
(126)
где
F
kn
=
q
a
2
kn
+
b
2
kn
,
tg
ϕ
kn
=
a
kn
b
kn
.
Отсюда видно, что каждая точка мембраны с координатами
(
x, y
)
совершает простое гармоническое колебание с частотой
ω
kn
и ам-
плитудой
F
kn
sin
λ
k
x
sin
µ
n
y
. Все точки колеблются в одной фазе.
Точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям
sin
λ
k
x
= 1
,
sin
µ
n
y
= 1
будут колебаться с наибольшей амплитудой называются пучно-
стями. Линии, точки которых не колеблются (амплитуда равна
нулю), называются узловыми линиями.
Общее решение нашей задачи о колебаниях мембраны представ-
56
057.png)
ляется как сумма частных
u
(
x, y, t
) =
∞
X
k
=1
∞
X
n
=1
(
a
kn
cos
ω
kn
t
+
b
kn
sin
ω
kn
t
) sin
λ
k
x
sin
µ
n
y
(127)
Неизвестные коэффициенты
a
и
b
ищутся из начальных условий:
u
(
x, y,
0) =
∞
X
k
=1
∞
X
n
=1
a
kn
sin
πk
l
x
sin
πn
m
y
=
f
(
x, y
)
(128)
u
t
(
x, y,
0) =
∞
X
k
=1
∞
X
n
=1
ω
kn
b
kn
sin
πk
l
x
sin
πn
m
y
=
F
(
x, y
)
(129)
Формулы (128) и (129) представляют собой разложение функции
двух переменных в двойной ряд Фурье. Коэффициенты этого раз-
ложения находятся аналогично коэффициентам однократного ря-
57
058.png)
да и имеют вид
a
kn
=
4
lm
l
Z
0
m
Z
0
f
(
x, y
) sin
πk
l
x
sin
πn
m
y dxdy
(130)
b
kn
=
4
lmω
kn
l
Z
0
m
Z
0
F
(
x, y
) sin
πk
l
x
sin
πn
m
y dxdy
(131)
58
059.png)
3.6
Колебания круглой мембраны
Применим метод решения за-
дачи о колебаниях прямо-
угольной мембраны к коле-
баниям круглой мембраны.
Пусть мембрана в состоянии
покоя занимает круг радиуса
R
с центром в начале коорди-
нат. Введем полярные коорди-
наты
r
и
ϕ
:
x
=
r
cos
ϕ,
y
=
r
sin
ϕ.
Выполняя замену переменных
u
(
x, y, t
)
→
u
(
r, ϕ, t
)
уравнение ко-
лебаний мембраны приводится к виду
u
tt
=
a
2
u
rr
+
1
r
u
r
+
1
r
2
u
ϕϕ
.
(132)
59
060.png)
Граничное условие будет иметь вид
u
(
R, ϕ, t
) = 0
начальные условия
u
(
r, ϕ,
0) =
f
(
r, ϕ
)
,
u
t
(
r, ϕ,
0) =
F
(
r, ϕ
)
.
Будем рассматривать только осесимметричные колебания мем-
браны, т.е. начальные условия не должны зависеть от угла
ϕ
.
Очевидно, что и в любой момент времени скорости и отклонения
точек не будут зависеть от угла, поэтому наша задача упрощает-
ся:
u
tt
=
a
2
u
rr
+
1
r
u
r
,
(133)
граничные условия
u
(
R, t
) = 0
начальные условия
u
(
r,
0) =
f
(
r
)
,
60