ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 705
Скачиваний: 5
041.png)
Здесь
D
n
– произвольная постоянная. Найденным собственным
значениям соответствуют решения уравнения для функции
T
:
T
n
(
t
) =
A
n
cos
πn
l
at
+
B
n
sin
πn
l
at
(79)
Здесь
A
n
и
B
n
– произвольные постоянные. Таким образом, мы
нашли частные решения исходного уравнения колебаний струны:
u
n
(
x, t
) =
X
n
(
t
)
T
n
(
t
)
(80)
или
u
n
(
x, t
) =
A
n
cos
πn
l
at
+
B
n
sin
πn
l
at
sin
πn
l
x
(81)
Очевидно, что сумма частных решений также будет удовлетво-
рять исходному уравнению и граничным условиям:
u
(
x, t
) =
∞
X
n
=1
A
n
cos
πn
l
at
+
B
n
sin
πn
l
at
sin
πn
l
x
(82)
Неизвестные константы надо определить из начальных условий:
u
(
x,
0) =
ϕ
(
x
)
,
u
t
(
x,
0) =
ψ
(
x
)
.
(83)
41
042.png)
Т.е.,
∞
X
n
=1
A
n
sin
πn
l
x
=
ϕ
(
x
)
(84)
∞
X
n
=1
B
n
πn
l
a
sin
πn
l
x
=
ψ
(
x
)
(85)
Формулы (84) и (85) представляют из себя разложения функций
ϕ
(
x
)
и
ψ
(
x
)
в ряд Фурье. Для нахождения неизвестных констант
умножим левую и правую части уравнения (84) на
sin
πm
l
x
и про-
интегрируем их по
dx
от
0
до
l
:
∞
X
n
=1
A
n
l
Z
0
sin
πn
l
x
sin
πm
l
x dx
=
l
Z
0
ϕ
(
x
) sin
πm
l
x dx
(86)
Для вычисления интеграла в левой части последнего равенства
42
043.png)
воспользуемся тригонометрической формулой
sin
α
sin
β
=
1
2
(cos(
α
−
β
)
−
cos(
α
+
β
))
l
Z
0
sin
πn
l
x
sin
πm
l
x dx
=
=
1
2
l
Z
0
cos
π
(
n
−
m
)
l
x dx
−
1
2
l
Z
0
cos
π
(
n
+
m
)
l
x dx
=
=
1
2
l
π
(
n
−
m
)
sin
π
(
n
−
m
)
l
x
l
0
−
1
2
l
π
(
n
+
m
)
sin
π
(
n
+
m
)
l
x
l
0
=
= 0
,
если
m
6
=
n.
=
1
2
l,
если
m
=
n.
43
044.png)
Таким образом,
l
Z
0
sin
πn
l
x
sin
πm
l
x dx
=
δ
mn
l
2
(87)
Подставляя (87) в (86), получаем
A
m
=
2
l
l
Z
0
ϕ
(
x
) sin
πm
l
x dx
(88)
Аналогично для
B
m
получаем
B
m
=
2
πma
l
Z
0
ψ
(
x
) sin
πm
l
x dx
(89)
44
045.png)
Физическая интерпретация решения
Перепишем функцию
u
n
(
x
)
в другом виде
u
n
(
x, t
) =
A
n
cos
πn
l
at
+
B
n
sin
πn
l
at
sin
πn
l
x
=
=
C
n
sin
πn
l
x
cos
πn
l
a
(
t
+
γ
n
)
(90)
где
C
n
=
q
A
2
n
+
B
2
n
,
πn
l
aγ
n
=
−
arctg
B
n
A
n
Таким образом, каждая определенная точка струны с координа-
той
x
0
колеблется по закону
u
n
(
x
0
, t
) =
C
n
sin
πn
l
x
0
cos
πn
l
a
(
t
+
γ
n
)
(91)
или
z
n
(
t
) =
Z
n
cos
πn
l
a
(
t
+
γ
n
)
(92)
где
Z
n
=
C
n
sin
πn
l
x
0
45