ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 707
Скачиваний: 5
061.png)
u
t
(
r,
0) =
F
(
r
)
.
Будем искать решение в виде
u
(
r, t
) =
U
(
r
)
T
(
t
)
.
(134)
Из краевого условия сразу находим
U
(
R
) = 0
.
Подставляя (134) в уравнение, получаем
T
00
a
2
T
=
U
00
+
U
0
/r
U
=
−
λ
2
(135)
В результате приходим к уравнениям
T
00
+
λ
2
a
2
T
= 0
,
(136)
U
00
+
1
r
U
0
+
λ
2
U
= 0
.
(137)
В последнем уравнении сделаем замену
ξ
=
λr
:
U
0
=
dU
dr
=
dU
dξ
dξ
dr
=
λ
dU
dξ
61
062.png)
U
00
=
dU
0
dr
=
dU
0
dξ
dξ
dr
=
λ
dU
0
dξ
=
λ
2
d
2
U
dξ
2
Подставляя в наше уравнение, получаем
d
2
U
dξ
2
+
1
ξ
dU
dξ
+
U
= 0
.
(138)
Получившееся уравнение является частным случаем уравнения
Бесселя:
y
00
+
1
x
y
0
+
1
−
k
2
x
2
!
y
= 0
(139)
Решениями последнего уравнения при заданном
k
называются
бесселевыми функциями порядка
k
(цилиндрическими функци-
ями).
Найдем решение уравнения (139). Очевидно, что оно имеет осо-
бую точку при
x
= 0
, поэтому его решение будем искать в виде
степенного ряда. Для этого преобразуем его к виду:
x
2
y
00
+
xy
0
+ (
x
2
−
k
2
)
y
= 0
(140)
62
063.png)
Записываем ряд:
y
(
x
) =
x
γ
(
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
...
+
a
l
x
l
+
...
)
(141)
Подставляя (141) в (140) и приравнивая коэффициенты при каж-
дой степени
x
нулю, получим систему уравнений
a
0
(
γ
2
−
k
2
) = 0
,
a
1
[(
γ
+ 1)
2
−
k
2
] = 0
,
a
2
[(
γ
+ 2)
2
−
k
2
] +
a
0
= 0
,
(142)
...........................
a
l
[(
γ
+
l
)
2
−
k
2
] +
a
l
−
2
= 0
где
l
= 2
,
3
....
Предполагая, что
a
0
6
= 0
, находим
γ
2
−
k
2
= 0
⇒
γ
=
±
k
Из второго уравнения (142) находим, что
a
1
= 0
. Преобразуем
l
-е
63
064.png)
уравнение в системе (142)
(
γ
+
l
+
k
)(
γ
+
l
−
k
)
a
l
+
a
l
−
2
= 0
(143)
Отсюда получаем рекуррентную формулу:
a
l
=
−
a
l
−
2
(
γ
+
l
+
k
)(
γ
+
l
−
k
)
(144)
С учетом найденного
a
1
= 0
делаем вывод, что все нечетные коэф-
фициенты равны нулю. Очевидно, что при
γ
=
−
k
решение обра-
щается в бесконечность при
x
= 0
. Будем рассматривать случай
γ
=
k
. В результате, для четных коэффициентов получаем
a
2
m
=
−
a
2
m
−
2
1
2
2
m
(
m
+
k
)
(145)
Применяя эту формулу
m
−
1
раз, получим
a
2
m
= (
−
1)
m
a
0
2
2
m
m
!(
k
+ 1)(
k
+ 2)(
k
+ 3)
...
(
k
+
m
)
(146)
Полагая,
a
0
=
1
2
k
k
!
64
065.png)
получаем
a
2
m
= (
−
1)
m
1
2
2
m
+
k
m
!(
m
+
k
)!
(147)
В результате, полученное решение
y
(
x
)
≡
J
k
(
x
)
называется функ-
цией Бесселя первого рода
k
-го порядка и имеет вид
J
k
(
x
) =
∞
X
m
=0
(
−
1)
m
1
m
!(
m
+
k
)!
x
2
2
m
+
k
.
(148)
В случае
γ
=
−
k
, получаем
J
−
k
(
x
) =
∞
X
m
=
k
(
−
1)
m
1
m
!(
m
−
k
)!
x
2
2
m
−
k
.
(149)
Делая замену
m
=
k
+
n
,
n
= 0
,
1
,
2
...
, получаем
J
−
k
(
x
) =
∞
X
n
=0
(
−
1)
k
+
n
1
(
k
+
n
)!(
n
)!
x
2
2
n
+
k
= (
−
1)
k
J
k
(
x
)
(150)
65