ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 708
Скачиваний: 5
066.png)
J
−
k
(
x
)
представляет собой другое, линейно независимое от
J
k
(
x
)
,
решение, только в случае нецелых
k
. В случае же целых
k
как
видно они линейно зависимы. Наиболее часто встречаются в при-
ложениях функции Бесселя первого рода нулевого и первого по-
рядков.
66
067.png)
В случае круглой мембраны
решением уравнения (137) яв-
ляется функция Бесселя пер-
вого рода нулевого порядка
U
(
ξ
) =
U
(
λr
) =
J
0
(
λr
)
Из граничного условия
u
(
R, t
) =
0
получаем
U
(
R
) = 0
, отсю-
да находим собственные чис-
ла задачи
J
0
(
λR
) = 0
которыми будут являться ве-
личины
λ
k
=
µ
k
R
,
(151)
где
µ
k
– нули функции Бесселя - корни уравнения
J
0
(
x
) = 0
.
67
068.png)
Теперь решаем уравнения для функции Т:
T
k
(
t
) =
a
k
cos
λ
k
at
+
b
k
sin
λ
k
at
(152)
и, наконец, получаем собственные функции
u
k
(
r, t
) = (
a
k
cos
λ
k
at
+
b
k
sin
λ
k
at
)
J
0
(
λ
k
r
)
(153)
Сумма собственных функций
u
(
r, t
) =
∞
X
k
=1
(
a
k
cos
λ
k
at
+
b
k
sin
λ
k
at
)
J
0
(
λ
k
r
)
(154)
Коэффициенты
a
k
и
b
k
подбираем так, чтобы удовлетворить
начальным условиям
u
(
r,
0) =
∞
X
k
=1
a
k
J
0
µ
k
r
R
=
f
(
r
)
u
t
(
r,
0) =
∞
X
k
=1
aµ
k
R
b
k
J
0
µ
k
r
R
=
F
(
r
)
68
069.png)
В последних равенствах сделаем замену переменных
x
=
r/R
:
∞
X
k
=1
a
k
J
0
(
µ
k
x
) =
f
(
Rx
)
(155)
a
R
∞
X
k
=1
µ
k
b
k
J
0
(
µ
k
x
) =
F
(
Rx
)
(156)
Для нахождения коэффициентов
a
k
и
b
k
надо использовать усло-
вие ортогональности функций
J
0
(
µ
k
x
)
:
1
Z
0
xJ
0
(
µ
k
x
)
J
0
(
µ
n
x
)
dx
=
δ
kn
1
2
J
0
0
2
(
µ
k
)
.
(157)
а также соотношение
J
0
0
(
x
) =
−
J
1
(
x
)
.
(158)
69
070.png)
С учетом этого находим
a
k
=
2
J
2
1
(
µ
k
)
1
Z
0
xJ
0
(
µ
k
x
)
f
(
Rx
)
dx,
b
k
=
2
R
aµ
k
J
2
1
(
µ
k
)
1
Z
0
xJ
0
(
µ
k
x
)
F
(
Rx
)
dx
70