ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 703
Скачиваний: 5
071.png)
4
Уравнения параболического типа
4.1
Основные задачи
4.1.1
Линейная задача о распространении тепла
Рассмотрим однородный стержень, боковая поверхность которого
теплоизолирована, т.е. через боковую поверхность не происходит
теплообмена с окружающей средой. Если стержень в начальный
момент неравномерно нагрет, то вследствие теплопроводности в
нем будет происходить передача тепла от более нагретых частей
к менее нагретым. Если не будет притока тепла извне, т.е. торцы
будут тоже теплоизолированы, то в конечном итоге температура
станет одинаковой у всех точек стержня. Если же может проис-
ходить теплообмен с окружающей средой через торцы, или тепло
будет выделяться в каких-то областях самого стержня, то распре-
деление температуры станет значительной сложнее.
71
072.png)
Мы будем рассматривать линейную задачу о распространении
тепла, поэтому стержень будем считать настолько тонким, что в
каждый момент времени температуры всех точек в одном попе-
речном сечении будут одинаковы.
Пусть стержень распо-
лагается вдоль оси
x
, то-
гда
u
(
x, t
)
– температура
в сечении стержня с абс-
циссой
x
в момент вре-
мени
t
. Производная
∂u
∂x
будет определять скорость изменения температуры вдоль оси
x
.
Сформулируем основные физические закономерности, на кото-
рые мы будем опираться при выводе уравнения теплопроводности.
Количество тепла
Q
1
, которое необходимо сообщить однородно-
72
073.png)
му телу, чтобы повысить его температуру на
∆
u
, равно
Q
=
cρV
∆
u,
где
c
– удельная теплоемкость тела,
ρ
– плотность тела,
V
– объем
тела.
Количество тепла
Q
, протекающего через поперечное сечение
стержня за время
∆
t
, пропорционально площади сечения, ско-
рости изменения температуры в направлении, перпендикулярном
сечению, и времени
∆
t
:
Q
=
−
kS
∂u
∂x
∆
t
Здесь
k
– коэффициент теплопроводности.
Рассмотрим участок стержня, ограниченный поперечными сече-
ниями с координатами
x
и
x
+ ∆
x
. Запишем для него уравнение
теплового баланса. Количество тепла, проходящее через левое по-
73
074.png)
перечное сечение:
Q
1
=
−
kS
∂u
∂x
∆
t
Для нахождения тепла, проходящего через правое поперечное се-
чение, заметим, что с точностью до бесконечно малых высших
порядков,
f
(
x
+ ∆
x, t
) =
f
(
x
) +
∂f
∂x
∆
x
или если положить
f
(
x, t
) =
∂u
∂x
(
x, t
)
∂u
∂x
(
x
+ ∆
x, t
) =
∂u
∂x
+
∂
2
u
∂x
2
∆
x
Тогда находим
Q
2
=
−
kS
∂u
∂x
+
∂
2
u
∂x
2
∆
x
!
∆
t
Количество теплоты, сообщенное выбранному участку стержня
74
075.png)
за время
∆
t
:
∆
Q
=
Q
1
−
Q
2
∆
Q
=
−
kS
∂u
∂x
∆
t
+
kS
∂u
∂x
+
∂
2
u
∂x
2
∆
x
!
∆
t
∆
Q
=
kS
∂
2
u
∂x
2
∆
x
∆
t
С другой стороны,
∆
Q
=
с
ρS
∆
x
∆
u
=
с
ρS
∆
x
∂u
∂t
∆
t
Приравнивая выражения для
∆
Q
, находим
cρ
∂u
∂t
=
k
∂
2
u
∂x
2
(159)
Введем обозначение
a
2
=
k
cρ
75